導体判別式

数学において、導手判別式公式あるいは総統判別式公式は、アーベル拡大についてはハッセ (1926, 1930) によって、 ガロア拡大についてはアルティン(1931) によって導入され、ガロア群の既約指標のアルティン導手からの局所体または大域体の有限ガロア拡大の相対判別式 を計算する公式である。 ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle \mathrm {Irr} (G)}$ ${\displaystyle G=G(L/K)}$

をガロア群 を持つ大域体の有限ガロア拡大とする。このとき判別式は ${\displaystyle L/K}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\mathfrak {d}}_{L/K}=\prod _{\chi \in \mathrm {Irr} (G)}{\mathfrak {f}}(\chi )^{\chi ( 1)},}$

ここで は の全体アルティン伝導体に等しい。^[1]${\displaystyle {\mathfrak {f}}(\chi )}$${\displaystyle \chi}$

を有理数の円分拡大とします。ガロア群は に等しいです。は唯一の有限素数分岐であるため、大域アルティン導体は局所アルティン導体に等しいです。はアーベルであるため、すべての非自明な既約指標は次数 です。すると、 の局所アルティン導体はの -進完備化の導体に等しくなります。つまり、 はとなる最小の自然数です。 の場合、ガロア群はの位数 の巡回であり、局所類体理論と を使用することで、が の原始指標を介して因数分解される場合、 であることが簡単にわかります。の原始指標があるため、式 から指数は 次のようになります。${\displaystyle L=\mathbf {Q} (\zeta _{p^{n}})/\mathbf {Q} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle (\mathbf {Z} /p^{n})^{\times }}$${\displaystyle (p)}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}(\chi )}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{(p)}(\chi )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \chi}$${\displaystyle 1=\chi (1)}$${\displaystyle \chi}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle L^{\chi }=L^{\mathrm {ker} (\chi )}/\mathbf {Q} }$${\displaystyle (p)^{n_{p}}}$${\displaystyle n_{p}}$${\displaystyle U_{\mathbf {Q} _{p}}^{(n_{p})}\subseteq N_{L_{\mathfrak {p}}^{\chi }/\mathbf {Q} _{p }}(U_{L_{\mathfrak {p}}^{\chi }})}$${\displaystyle p>2}$${\displaystyle G(L_{\mathfrak {p}}/\mathbf {Q} _{p})=G(L/\mathbf {Q} _{p})=(\mathbf {Z} /p^{ n})^{\回 }}$${\displaystyle \varphi (p^{n})}$${\displaystyle U_{\mathbf {Q} _{p}}/U_{\mathbf {Q} _{p}}^{(k)}=(\mathbf {Z} /p^{k})^{ \回 }}$${\displaystyle \chi}$${\displaystyle (\mathbf {Z} /p^{i})^{\times }}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{(p)}(\chi )=p^{i}}$${\displaystyle \varphi (p^{i})-\varphi (p^{i-1})}$${\displaystyle (\mathbf {Z} /p^{i})^{\times }}$${\displaystyle {\mathfrak {d}}_{L/\mathbf {Q} }=(p^{\varphi (p^{n})(n-1/(p-1))})}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(\varphi (p^{i})-\varphi (p^{i-1}))i=n\varphi (p^{n}) -1-(p-1)\sum _{i=0}^{n-2}p^{i}=n\varphi (p^{n})-p^{n-1}.}$

• Artin, Emil (1931)、「Die gruppentheoretische Struktur der Diskriminanten algebraischer Zahlkörper.」、Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (ドイツ語)、1931 (164): 1–11、doi :10.1515/crll.1931.164.1、ISSN  0075-4102、S2CID  117731518、Zbl  0001.00801
• Hasse, H. (1926)、「Bericht über neuere Untersuhungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper. I: Klassenkörpertheorie.」、Jahresbericht der Deutschen Mathematikar-Vereinigung (ドイツ語)、35 : 1–55
• Hasse, H. (1930)、「Führer, Diskriminante und Verzweigungskörper relativ-Abelscher Zahlkörper.」、Journal für die reine und angewandte Mathematik (ドイツ語)、1930 (162): 169–184、doi :10.1515/crll.1930.162.169、ISSN  0075-4102、S2CID  199546442
• ノイキルヒ、ユルゲン(1999)。代数学ザーレン理論。Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 322. ベルリン: Springer-Verlag。ISBN 978-3-540-65399-8. MR  1697859. Zbl  0956.11021.