ゴロド・シャファレビッチの定理

数学において、ゴロド＝シャファレビッチの定理は、 1964年にエフゲニー・ゴロドとイゴール・シャファレビッチによって証明された。これは非可換ホモロジー代数における定理であり、類体タワーが無限になり得ることを示すことで、類体タワー問題を解決するものである。

A = K ⟨ x ₁ , ..., x _n ⟩を、n = d + 1 個の非可換変数x _i に関する体K上の自由代数とする。  

J を次数d _jのAの同次元f _jによって生成されるAの 2 面イデアルとする。

2 ≤ d ₁ ≤ d ₂ ≤ ...

ここでd _{j は}無限大に近づく。r i_をd _jがiに等しい数とする。

B = A / Jを次数付き代数とする。b j = dim B _jとする。

ゴロドとシャファレビッチの根本的な不等式は、

${\displaystyle b_{j}\geq nb_{j-1}-\sum _{i=2}^{j}b_{ji}r_{i}.}$

その結果：

• Bは無限次元である。$\displaystyle r_{i}\leq d^{2}/4}$私が

この結果は、組合せ群論において重要な応用を持つ。

• Gが非自明な有限p 群である場合、${\displaystyle r>d^{2}/4}$ どこ${\displaystyle d=\dim H^{1}(G,\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )}$そして${\displaystyle r=\dim H^{2}(G,\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )}$（ Gのmod pコホモロジー群）。特に、Gが最小生成子数dを持つ有限p 群であり、与えられた表示でr個の関係子を持つ場合、${\displaystyle r>d^{2}/4}$。
• 各素数pに対して、 3 つの要素から生成される無限群Gが存在し、各要素の位数はpのべき乗である。群Gは、一般化されたバーンサイド予想に対する反例となる。すなわち、有限生成無限ねじれ群であるが、その要素の位数には一様な上限がない。

クラス体理論では、数体Kのクラス体タワーは、ヒルベルトクラス体構成を繰り返すことによって作成されます。クラス体タワー問題は、このタワーが常に有限であるかどうかを問うものです。ハッセ (1926) はこの問題をフルトヴェングラーに帰属させましたが、フルトヴェングラーはシュライアーから聞いたと述べています。ゴロド・シャファレビッチの定理のもう 1 つの帰結は、このようなタワーが無限である可能性があるということです(言い換えれば、常にそのヒルベルトクラス体と同じ体で終了するとは限りません)。具体的には、

• Kを判別式が少なくとも6つの素因数を持つ虚二次体とする。このとき、 Kの最大非分岐2-拡大は無限次数を持つ。

より一般的に言えば、判別式に十分な数の素因数を持つ数体は、無限類体タワーを持つ。

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• Golod、ES (1964)、「ゼロ代数と有限近似 p 群について」、Izv。アカド。ナウクSSSR 、28 : 273–276（ロシア語） MR 0161878 
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