立方体フィールド

数学、特に代数的数論の分野において、 3次体とは3次代数体です。

K が有理数Qの次数[ K : Q ] = 3の体拡大である場合、K は3 次体と呼ばれます。このような体は、次の形式の体に 同型です。

${\displaystyle \mathbf {Q} [x]/(f(x))}$

ここでf はQに係数を持つ既約な 3 次多項式です。f に3 つの実根がある場合、K は完全実 3 次体と呼ばれ、完全実体の例となります。 一方、f に非実根がある場合、K は複素 3 次体と呼ばれます。

3 次体K は、その生成多項式fの 3 つの根をすべて含む場合、巡回 3 次体と呼ばれます。同様に、Kが巡回 3次体であるとは、それがQのガロア拡大である場合です。この場合、Q上のガロア群は3 次巡回です。これは、 K が全実数である場合にのみ発生します。3次体の集合が判別式の順序になっている場合、判別式の境界が無限大に近づくにつれて、巡回である 3 次体の割合が 0 に近づくという意味で、これはまれなことです。^[1]

3 次体は、立方体でない正の整数nの実数3 次根を有理数体Qに付加することによって得られる場合、純粋 3 次体と呼ばれます。各正数には 2 つの複素非実数 3 次根 があるため、このような体は常に複素 3 次体です。 ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{n}}}$

• 2の実数3乗根を有理数に付加すると、3次体が得られます。これは純粋な3次体の例であり、したがって複素3次体の例です。実際、すべての純粋な3次体の中で、これは最小の判別式（絶対値）を持ち、つまり-108です。^[2]${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$
• Qにx ³ + x ² − 1の根を付加して得られる複素三次体は純粋ではない。これはすべての三次体の中で最小の判別式（絶対値）を持ち、つまり−23である。^[3]
• x ³ + x ² − 2 x − 1の根をQに付加すると巡回三次体、つまり全実三次体が得られる。これは全実三次体の中で最小の判別式、つまり 49 を持つ。^[4]
• Qにx ³ + x ² − 3 x − 1の根を付加して得られる体は、巡回しない全実3次体の例である。その判別式は148であり、巡回しない全実3次体の最小の判別式である。^[5]
• 円分体には3次関数がない。円分体の次数はφ( n )に等しいからである。ここでφはオイラーのトーシェント関数であり、 φ(1) = φ(2) = 1の場合を除き、偶数値のみをとる。

巡回 3 次体Kはそれ自身のガロア閉包であり、ガロア群 Gal( K / Q )は位数 3 の巡回群と同型です。ただし、その他の 3 次体K はQの非ガロア拡大であり、そのガロア閉包として次数 2 の体拡大N を持ちます。ガロア群 Gal( N / Q ) は、3 つの文字上の対称群 S ₃と同型です。

3 次体Kの判別式は、 d を基本判別式としてdf ²と一意に記述できます。この場合、d = 1 のときのみKが巡回的であり 、その場合Kの唯一の部分体はQ自身です。 d ≠ 1 の場合、 Kの ガロア閉包Nには、判別式がdである一意の2 次体kが含まれます( d = 1の場合 、部分体Qは判別式 1 の「退化した」2 次体と見なされることがあります)。k上のNの導体はfであり、f ^{2 は}K上のNの相対判別式です。 Nの判別式はd ³ f ⁴です。^{[6] [7]}

体Kが純粋な3次体であるため の必要十分条件は、d = −3である。これは、 Kのガロア閉包に含まれる2次体が1の3乗根の円分体である場合である。^[7]

数体Kの判別式の符号は(−1) ^{r ₂}であり、ここでr _2はKのCへの複素埋め込みの共役ペアの数であるため、3次体の判別式は、体が完全に実数である場合に正になり、複素3次体の場合は負になります。

ある実数N > 0に対して、判別式D _Kが| D _K | ≤  Nを満たす3次体Kは 有限個しか存在しない。^[9] D _Kの素分解を計算する公式は知られており、明示的に計算することができる。^[10]

2次体とは異なり、同型でない3次体K ₁、...、K _{m は}同じ判別式D を共有することがあります。これらの体の数m は判別式Dの重複度^[11]と呼ばれます。いくつかの小さな例としては、D   = −1836、3969の場合はm  = 2 、 D   = −1228、22356の場合はm =  3 、 D  = −3299、32009 の場合は m = 4、D   = −70956、3054132 の 場合はm  = 6 です。

任意の3次体Kは、既約多項式の根である数θに対して K  =  Q (θ)の形をとる。

${\displaystyle f(X)=X^{3}-aX+b}$

ここで、aとbは整数です。fの判別式はΔ = 4 a ³  − 27 b ²です。Kの判別式をDで表すと、θのインデックスi (θ)はΔ =  i (θ) ² Dで定義されます。

非巡回三次体Kの場合、この指数式は導体式D = f ² dと組み合わせて、多項式判別式 Δ = i (θ) ² f ² dを積i (θ) fの平方と三次体Kに関連付けられた二次体kの判別式dに分解することができます。ここでd は可能な因数 2 ²または 2 ³まで平方自由です。Georgy Voronoy は、 Δ の平方部分でi (θ) とf を分離する方法を示しました。^[12]

判別式が与えられた境界より小さい三次体の個数に関する研究は、現在行われている研究分野である。判別式の絶対値がXで制限される実数 (複素数) 三次体の個数をN ⁺ ( X ) (またはN ⁻ ( X )) で表す。1970 年代初頭、Harold DavenportとHans Heilbronn はN ^± ( X ) (つまり、X が無限大に近づくにつれて)の漸近挙動の最初の項を決定した。 ^{[13] [14]}新谷ゼータ関数の留数の解析と、Karim Belabas がまとめた三次体の表 (Belabas 1997) およびいくつかのヒューリスティックスの研究を組み合わせることで、David P. Roberts はより正確な漸近式を推測した。 ^[15]

${\displaystyle N^{\pm }(X)\sim {\frac {A_{\pm }}{12\zeta (3)}}X+{\frac {4\zeta ({\frac {1}{3 }})B_{\pm }}{5\ガンマ ({\frac {2}{3}})^{3}\ゼータ ({\frac {5}{3}})}}X^{\frac {5}{6}}}$

ここで、A _±  = 1 または 3、B _±  = 1 または（全実数または複素数の場合）、ζ( s ) はリーマンゼータ関数、Γ( s ) はガンマ関数です。この公式の証明は、Bhargava の以前の研究に基づく方法を使用して Bhargava、Shankar、Tsimerman (2013) によって公開されています。また、Shintani ゼータ関数に基づいて Taniguchi & Thorne (2013) によっても公開されています。 ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

ディリクレの単位定理によれば、r _{1 個}の実埋め込みとr ₂個の共役複素埋め込みを持つ代数体Kの捩れのない単位階数r は、式r = r ₁ + r _{2 − 1 で決定される。したがって、} r ₁ = 3、r ₂ = 0の全実 3 次体K は2 つの独立した単位 ε ₁、 ε _{2を持ち、} r ₁ = r ₂ = 1の複素 3 次体Kは単一の基本単位 ε _{1を持つ。これらの基本単位系は、}ボロノイ^{[16]による一般化}連分数アルゴリズムによって計算することができ、これはDeloneとFaddeev ^[17]によって幾何学的に解釈されている。

• Şaban Alaca、Kenneth S. Williams、「Introductory algebraic number theory」、Cambridge University Press、2004年。
• Belabas, Karim (1997)、「立方体を計算するための高速アルゴリズム」、Mathematics of Computation、66 (219): 1213–1237、doi : 10.1090/s0025-5718-97-00846-6、MR  1415795
• Bhargava, Manjul ; Shankar, Arul ; Tsimerman, Jacob (2013)、「Davenport–Heilbronn 定理と 2 次項について」、Inventiones Mathematicae、193 (2): 439–499、arXiv : 1005.0672、Bibcode :2013InMat.193..439B、doi :10.1007/s00222-012-0433-0、MR  3090184、S2CID  253738365
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