アルティン指揮者

数学において、アルティン伝導体は、局所体または大域体のガロア群のキャラクターに関連付けられた数またはイデアルであり、エミール・アルティン(1930, 1931) によってアルティン L 関数の関数方程式 に現れる表現として導入されました。

L が局所体Kの有限ガロア拡大で、ガロア群G を持つと仮定する。 がGの指標である場合、 のアルティン伝導体は数 ${\displaystyle \chi}$${\displaystyle \chi}$

${\displaystyle f(\chi )=\sum _{i\geq 0}{\frac {g_{i}}{g_{0}}}(\chi (1)-\chi (G_{i})) }$

ここで、G _{i は}、 g _{i の}位数のi番目の分岐群（低い番号で）であり、 χ( G _i ) はG _i上のの平均値です。^[1] アルティンの結果により、局所導体は整数です。^{[2] [3]}経験的に、アルティン導体は、より高次の分岐群の作用が自明であることからどれだけ離れているかを測定します。特に、 χ が非分岐である場合、そのアルティン導体はゼロです。したがって、L がK上で非分岐である場合、すべての χ のアルティン導体はゼロです。 ${\displaystyle \chi}$

この文字の 野生不変量^[3]またはスワン導体^[4]は

${\displaystyle f(\chi )-(\chi (1)-\chi (G_{0})),}$

言い換えれば、 i > 0 の高次項の合計です。

大域体の有限拡大L / Kのガロア群Gの表現の大域アルティン伝導体は、次のように定義される Kのイデアルである。${\displaystyle \chi}$

${\displaystyle {\mathfrak {f}}(\chi )=\prod _{p}p^{f(\chi ,p)}}$

ここで積はKの素数pについてであり、f (χ, p ) はp上にあるLの素数の分解群への制限の局所アルティン伝導体です。^[2] 局所アルティン伝導体は非分岐素数ではゼロなので、上記の積はL / Kで分岐する素数についてのみ取ればよいことになります。 ${\displaystyle \chi}$

L が局所体Kの有限ガロア拡大で、ガロア群 Gを持つと仮定する。Gのアルティン指標 a _Gは指標

${\displaystyle a_{G}=\sum _{\chi }f(\chi )\chi }$

そしてアルティン表現 A _{G は}、この特徴を持つGの複素線型表現である。Weil (1946) はアルティン表現の直接的な構成を求めた。Serre (1960) は、アルティン表現は、留数特性pに等しくない任意の素数lに対して、局所体Q _l上で実現できることを示した。Fontaine (1971) は、それが対応するウィットベクトルの環上で実現できることを示した。一般には有理数上または局所体Q _p上で実現できないため、アルティン表現を明示的に構築する簡単な方法はないことを示している。^[5]

スワン文字 sw G_は次のように表される。

${\displaystyle sw_{G}=a_{G}-r_{G}+1}$

ここでr _gは正規表現の指標であり、1 は自明表現の指標である。^[6]スワン指標はGの表現の指標である。スワン(1963) は、指標がスワン指標であるl進整数上のGの唯一の射影表現 が存在することを示した。

アルティン導体は、大域体の判別式に対する導体判別式に現れる。 ^[5]

セールのモジュラリティ予想における最適レベルは、アルティン導体の観点から表現されます。

アルティン導体はアルティンL関数の関数方程式に現れます。

アルティン表現とスワン表現は、楕円曲線またはアーベル多様体の導体を定義するために使用されます。

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• Artin, Emil (1931)、「Die gruppentheoretische Struktur der Diskriminanten algebraischer Zahlkörper.」、Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (ドイツ語)、1931 (164): 1–11、doi :10.1515/crll.1931.164.1、ISSN  0075-4102、S2CID  117731518、Zbl  0001.00801
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