ドメイン（数学的解析）

数学的解析において、定義域または領域とは、位相空間における空でない連結した開集合のことである。特に、実座標空間R ⁿまたは複素座標空間C ⁿの空でない連結した開部分集合のことである。座標空間の連結した開部分集合は、関数の定義域としてよく使われる。^[a]

空間の連結部分集合という基本的な考え方は19世紀に遡りますが、概念が発展し、用語がドイツ語、フランス語、英語の著作間で翻訳されたため、正確な定義は世代ごと、著者ごと、版ごとにわずかに異なります。英語では、著者によっては「ドメイン」という用語を使用し、 [ ^1] 「領域」という用語を使用し、^[2] 「領域」という用語を使用する著者もいます。両方の用語を互換的に使用する著者もいます。 ^[3]また、2つの用語をわずかに異なる定義で使用している著者もいます。^{[4]また、曖昧さを避けるために、} 「空でない連結開部分集合」などの語句にこだわる著者もいます。^[5]

一般的な慣例の1つは、ドメインを連結された開集合として定義するのに対し、領域をドメインとその極限点の一部またはすべてとの和集合として定義することです。^[6]閉領域または閉ドメインは、ドメインとそのすべての極限点との和集合です。

積分定理（グリーンの定理、ストークスの定理）、ソボレフ空間の特性、境界上の測度やトレースの空間（境界上で定義される一般化関数）の定義など、領域上で定義される関数のさまざまな特性が成り立つためには、領域の境界のさまざまな程度の滑らかさが必要です。一般的に考慮される領域の種類には、連続境界を持つ領域、リプシッツ境界、C ¹境界などがあります。

有界領域は、有界である、つまり何らかの球体に含まれる 領域です。有界領域も同様に定義されます。外部領域または外部ドメインは、補領域が有界である領域です。境界に滑らかさの条件が課されることもあります。

複素解析において、複素領域（または単に領域）は、複素平面 Cの連結した開部分集合です。たとえば、複素平面全体は領域であり、開単位円、開上半平面なども領域です。複素領域は、正則関数の定義領域としてよく使用されます。複数の複素変数の研究では、領域の定義は、 C ⁿの連結した開部分集合を含むように拡張されます。

ユークリッド空間では、1 次元、2 次元、3 次元の領域は曲線、面、立体であり、その範囲はそれぞれ長さ、面積、体積と呼ばれます。

定義. 開集合は、2 つの開集合の和として表現できない場合は連結である。連結された開集合はドメインと呼ばれる。

ドイツ語: Eine offene Punktmenge heißt zusammenhängend, wenn man sie nicht als Summe von zwei offenen Punktmengen darstellen kann。 Eine offene zusammenhängende Punktmenge heißt ein Gebiet。

— コンスタンティン・カラテオドリ（カラテオドリ 1918、222 ページ）

ハンス・ハーンによると、^[7]開連結集合としてのドメインの概念は、コンスタンティン・カラテオドリが彼の有名な著書 (Carathéodory 1918) で導入した。この定義では、カラテオドリは明らかに空でない 分離集合を考慮している。ハーンは、「ドメイン」という単語が以前は開集合の同義語として時々使用されていたとも述べている。^[8] 大まかな概念はもっと古い。19世紀から20世紀初頭にかけて、ドメインと領域という用語は明確な定義なしに非公式に (時には互換的に) 使用されることが多かった。^[9]

しかし、「ドメイン」という用語は、密接に関連しているがわずかに異なる概念を識別するために時々使用されました。たとえば、楕円偏微分方程式に関する影響力のあるモノグラフで、カルロ・ミランダは「領域」という用語を開連結集合を識別するために使用し、^{[10] [11]} 、以前の師であるマウロ・ピコーネに従って、内部連結された^[12]完全集合（各点は内部点の集積点）を識別するために「ドメイン」という用語を予約しました。^{[ 10]}この慣例によれば、集合Aが領域である場合、その閉包Aはドメインです。^[10]

• 解析多面体 – 解析関数で囲まれた複素n次元空間のサブセット
• カチョポリ集合 – 有限測度の境界を持つ領域
• エルミート対称空間#古典領域 – 反転対称性を持つ多様体
• 区間（数学）  – 与えられた2つの数値の間にあるすべての数値
• リプシッツドメイン
• ホワイトヘッドの点自由幾何学 – 領域に基づく幾何学理論

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