基本（トポロジー）

数学において、位相空間の基底（または基底群；複数形：基底群）$\displaystyle \tau }$位相空間の${\displaystyle (X,\tau )}$家族です$\displaystyle {\mathcal {B}}}$の開部分集合の${\displaystyle X}$位相のすべての開集合は、ある部分族の和集合に等しい。$\displaystyle {\mathcal {B}}}$例えば、実数直線上のすべての開区間の集合。${\displaystyle \mathbb {R} }$はユークリッド位相の基底である${\displaystyle \mathbb {R} }$なぜなら、すべての開区間は開集合であり、またすべての開部分集合は${\displaystyle \mathbb {R} }$これは、ある開区間族の和集合として表すことができる。

基底は位相幾何学において遍在する。位相幾何学の基底に含まれる集合は基本開集合と呼ばれ、任意の開集合よりも記述や使用が容易な場合が多い。^{[ 1 ]}連続性や収束性といった多くの重要な位相幾何学的定義は、任意の開集合ではなく基本開集合のみを用いて検証できる。位相幾何学によっては、特定の有用な性質を持つ開集合の基底を持つものもあり、そのような位相幾何学的定義の検証が容易になる場合がある。

集合の部分集合のすべての族が${\displaystyle X}$トポロジーの基盤を形成する${\displaystyle X}$以下に詳述するいくつかの条件下では、部分集合の族が（一意の）トポロジーの基底を形成します。${\displaystyle X}$部分族の可能なすべての和集合を取ることによって得られる。このような集合の族は、位相を定義するために非常に頻繁に使用される。基底に関連するより弱い概念は、位相の部分基底である。位相の基底は、近傍基底とも密接に関連している。

位相空間が与えられた場合${\displaystyle (X,\tau )}$トポロジーの基底^{[ 2 ]}（または基底^{[ 3 ]}）$\displaystyle \tau }$（基地とも呼ばれる）${\displaystyle X}$トポロジーが理解されている場合）はファミリーです$\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$位相のすべての開集合が、ある部分族の和集合として表せるような開集合の集合。$\displaystyle {\mathcal {B}}}$[ 注^{1 ]​}$\displaystyle {\mathcal {B}}}$これらは基本開集合と呼ばれます。同様に、族$\displaystyle {\mathcal {B}}}$サブセットの${\displaystyle X}$トポロジーのベースとなる$\displaystyle \tau }$かつその場合に限り$\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$そしてすべての開集合に対して${\displaystyle U}$で${\displaystyle X}$そしてポイント${\displaystyle x\in U}$基本的な開集合が存在する${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$そのため${\displaystyle x\in B\subseteq U}$。

例えば、実数直線上のすべての開区間の集合は、実数上の標準位相の基底を形成します。より一般的には、距離空間では${\displaystyle M}$すべてのオープンボールのコレクションは、${\displaystyle M}$トポロジーの基盤を形成する。

一般に、位相空間${\displaystyle (X,\tau )}$多くの基底を持つことができる。全体のトポロジー$\displaystyle \tau }$は常にそれ自身のベースである（つまり、$\displaystyle \tau }$は、$\displaystyle \tau }$実数直線の場合、すべての開区間の集合が位相の基底となります。同様に、例えば、有理数の端点を持つすべての開区間の集合、あるいは無理数の端点を持つすべての開区間の集合も基底となります。異なる2つの基底は、共通の基本開集合を持つ必要はないことに注意してください。空間の位相的性質の1つは、${\displaystyle X}$は、そのトポロジーの基底の最小濃度であり、重みと呼ばれます。${\displaystyle X}$そして、${\displaystyle w(X)}$上記の例から、実数直線は可算な重みを持つことがわかる。

もし$\displaystyle {\mathcal {B}}}$トポロジーのベースとなる$\displaystyle \tau }$空間の${\displaystyle X}$、以下の特性を満たします。^{[ 4 ]}

（B1）$\displaystyle {\mathcal {B}}}$カバー${\displaystyle X}$つまり、すべてのポイント${\displaystyle x\in X}$のいくつかの要素に属する$\displaystyle {\mathcal {B}}}$。

（B2）${\displaystyle B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}}$そしてすべてのポイント${\displaystyle x\in B_{1}\cap B_{2}}$いくつか存在する${\displaystyle B_{3}\in {\mathcal {B}}}$そのため${\displaystyle x\in B_{3}\subseteq B_{1}\cap B_{2}}$。

特性（B1）は、${\displaystyle X}$は開集合である。性質（B2）は、${\displaystyle B_{1}\cap B_{2}}$は開集合である。

逆に、${\displaystyle X}$はトポロジーを持たない単なる集合であり、$\displaystyle {\mathcal {B}}}$は、 の部分集合のファミリーです。${\displaystyle X}$（B1）および（B2）の特性を満たす。$\displaystyle {\mathcal {B}}}$は、それが生成するトポロジーの基底である。より正確には、$\displaystyle \tau }$すべての部分集合の族である${\displaystyle X}$サブファミリーの連合である$\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ それから$\displaystyle \tau }$はトポロジーである${\displaystyle X}$そして$\displaystyle {\mathcal {B}}}$は、$\displaystyle \tau }$[ ^{5 ] (} スケッチ:$\displaystyle \tau }$構成上任意の和集合の下で安定であり、(B2)により有限の交差の下で安定であるため、トポロジーを定義します。${\displaystyle X}$(B1)により、空集合は、空部分族の和集合として含まれる。$\displaystyle {\mathcal {B}}}$家族$\displaystyle {\mathcal {B}}}$では、$\displaystyle \tau }$（構成上）このような集合の族は、位相を定義する非常に一般的な方法です。

一般的に、もし${\displaystyle X}$セットであり、$\displaystyle {\mathcal {B}}}$は、の任意のサブセットの集合です。${\displaystyle X}$最小のトポロジーは（一意に）存在する。$\displaystyle \tau }$の上${\displaystyle X}$含む$\displaystyle {\mathcal {B}}}$（このトポロジーは、上のすべてのトポロジーの交差です。）${\displaystyle X}$含む$\displaystyle {\mathcal {B}}}$）トポロジー$\displaystyle \tau }$は、によって生成されるトポロジーと呼ばれます。$\displaystyle {\mathcal {B}}}$、 そして$\displaystyle {\mathcal {B}}}$はサブベースと呼ばれます$\displaystyle \tau }$トポロジー$\displaystyle \tau }$構成する${\displaystyle X}$要素の有限な交差のすべての任意の和集合とともに$\displaystyle {\mathcal {B}}}$（サブベースに関する記事を参照してください。）さて、もし$\displaystyle {\mathcal {B}}}$また、(B1)と(B2)の特性も満たし、によって生成されるトポロジーは$\displaystyle {\mathcal {B}}}$交点を考慮せずに、よりシンプルな方法で説明できます。$\displaystyle \tau }$は、 の要素のすべての和集合です。$\displaystyle {\mathcal {B}}}$（そして$\displaystyle {\mathcal {B}}}$は、$\displaystyle \tau }$その場合）。

条件(B2)を確認する簡単な方法がよくあります。$\displaystyle {\mathcal {B}}}$それ自体は$\displaystyle {\mathcal {B}}}$または空の場合、条件(B2)は自動的に満たされます(${\displaystyle B_{3}=B_{1}\cap B_{2}}$例えば、平面上のユークリッド位相では、水平方向と垂直方向の辺を持つすべての開いた長方形の集合を基底として受け入れ、そのような2つの基本開集合の空でない共通部分も基本開集合となります。しかし、同じ位相の別の基底はすべての開いた円盤の集合であり、ここでは完全な(B2)条件が必要です。

基底ではない開集合の集合の例としては、次の集合がある。${\displaystyle S}$すべての半無限区間の形式${\displaystyle (-\infty ,a)}$そして${\displaystyle (a,\infty )}$と${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$生成されたトポロジー${\displaystyle S}$すべての開区間を含む${\displaystyle (a,b)=(-\infty ,b)\cap (a,\infty )}$したがって${\displaystyle S}$実数線上に標準トポロジーを生成する。しかし${\displaystyle S}$これはトポロジーのサブベースであって、ベースではない。有限の開区間である。${\displaystyle (a,b)}$要素を一切含まない${\displaystyle S}$（言い換えれば、性質（B2）は成り立たない。）

セット${\displaystyle \Gamma }$すべての開区間のうち${\displaystyle \mathbb {R} }$ユークリッド位相の基礎を形成する${\displaystyle \mathbb {R} }$。

集合の空でない部分集合の族${\displaystyle X}$これは、2 つ以上の集合の有限な共通部分に関して閉じているものであり、${\displaystyle \pi }$-システムオン${\displaystyle X}$は、必然的にトポロジーの基底となる。${\displaystyle X}$カバーする場合に限り${\displaystyle X}$定義により、すべてのσ代数、すべてのフィルタ（したがって特にすべての近傍フィルタ）、およびすべてのトポロジーは被覆である。${\displaystyle \pi }$-システムであり、トポロジーの基盤でもある。実際、${\displaystyle \Gamma }$フィルターは${\displaystyle X}$それから${\displaystyle \{\varnothing \}\cup \Gamma }$はトポロジーである${\displaystyle X}$そして${\displaystyle \Gamma }$は、その基礎です。トポロジーの基底は、有限の交差に関して閉じている必要はなく、多くの基底は閉じていません。しかし、それでもなお、多くのトポロジーは、有限の交差に関しても閉じている基底によって定義されます。たとえば、次の各部分集合の族は、${\displaystyle \mathbb {R} }$有限交点に関して閉じているため、それぞれが何らかのトポロジーの基底を形成する。${\displaystyle \mathbb {R} }$:

• セット${\displaystyle \Gamma }$すべての有界開区間のうち${\displaystyle \mathbb {R} }$通常のユークリッド位相を生成する${\displaystyle \mathbb {R} }$。
• セット${\displaystyle \Sigma }$すべての有界閉区間のうち${\displaystyle \mathbb {R} }$離散トポロジーを生成する${\displaystyle \mathbb {R} }$したがって、ユークリッド位相はこの位相の部分集合である。これは、${\displaystyle \Gamma }$は の部分集合ではない${\displaystyle \Sigma }$結果として、によって生成されるトポロジーは${\displaystyle \Gamma }$これは、上のユークリッド位相である。${\displaystyle \mathbb {R} }$は、によって生成されるトポロジーよりも粗い。${\displaystyle \Sigma }$実際、それは厳密にはより粗い。${\displaystyle \Sigma }$ユークリッド位相において決して開集合にならない、空でないコンパクト集合を含む。
• セット$\displaystyle \Gamma _{\mathbb {Q} }}$すべての区間のうち${\displaystyle \Gamma }$区間の両端が有理数であるようなものは、同じトポロジーを生成します。${\displaystyle \Gamma }$。これは、シンボルの各インスタンスが${\displaystyle \Gamma }$に置き換えられます${\displaystyle \Sigma }$。
• ${\displaystyle \Sigma _{\infty }=\{[r,\infty ):r\in \mathbb {R} \}}$は、によって生成されるトポロジーよりも厳密に粗いトポロジーを生成します。${\displaystyle \Sigma }$要素なし${\displaystyle \Sigma _{\infty }}$ユークリッド位相において開いている${\displaystyle \mathbb {R} }$。
• ${\displaystyle \Gamma _{\infty }=\{[r,\infty ):r\in \mathbb {R} \}}$ユークリッド位相と、によって生成される位相の両方よりも厳密に粗い位相を生成する${\displaystyle \Sigma _{\infty }}$セット${\displaystyle \Sigma _{\infty }}$そして${\displaystyle \Gamma _{\infty }}$互いに分離しているが、それでも${\displaystyle \Gamma _{\infty }}$は、によって生成されたトポロジーのサブセットです。${\displaystyle \Sigma _{\infty }}$。

• トポロジー$\displaystyle \tau _{2}}$トポロジーよりも細かい$\displaystyle \tau _{1}}$各${\displaystyle x\in X}$そして各基本開集合${\displaystyle B}$の$\displaystyle \tau _{1}}$含む${\displaystyle x}$基本的なオープンセットがあります$\displaystyle \tau _{2}}$含む${\displaystyle x}$そして中に含まれる${\displaystyle B}$。
• もし$\displaystyle {\mathcal {B}}_{1},\ldots ,{\mathcal {B}}_{n}}$トポロジーの基盤となる$\displaystyle \tau _{1},\ldots ,\tau _{n}}$そして、すべてのセット製品のコレクション$\displaystyle B_{1}\times \cdots \times B_{n}}$それぞれ${\displaystyle B_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}}$製品のトポロジーの基盤となる$\displaystyle \tau _{1}\times \cdots \times \tau _{n}.}$無限積の場合も、これは当てはまりますが、有限個を除くすべての基底要素が空間全体でなければなりません。
• させて$\displaystyle {\mathcal {B}}}$拠点となる${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$の部分空間である${\displaystyle X}$。次に、各要素を交差させると、$\displaystyle {\mathcal {B}}}$と${\displaystyle Y}$結果として得られる集合の集合は部分空間の基底となる。${\displaystyle Y}$。
• 関数が${\displaystyle f:X\to Y}$すべての基本開集合をマッピングします${\displaystyle X}$開いた集合に${\displaystyle Y}$、それは開写像である。同様に、基本開集合のすべての逆像が${\displaystyle Y}$オープンしています${\displaystyle X}$、 それから${\displaystyle f}$連続的である。
• $\displaystyle {\mathcal {B}}}$位相空間の基底である${\displaystyle X}$要素のサブコレクションが$\displaystyle {\mathcal {B}}}$含まれる${\displaystyle x}$現地拠点を形成${\displaystyle x}$任意の時点において${\displaystyle x\in X}$。

閉集合は空間の位相を記述するのに同様に優れている。したがって、位相空間の閉集合の基底という双対的な概念が存在する。位相空間が与えられた場合${\displaystyle X,}$家族​$\displaystyle {\mathcal {C}}}$閉集合の基底を形成するのは、各閉集合について${\displaystyle A}$そして各ポイント${\displaystyle x}$ない${\displaystyle A}$要素が存在する$\displaystyle {\mathcal {C}}}$含む${\displaystyle A}$ただし含まない${\displaystyle x.}$ 家族$\displaystyle {\mathcal {C}}}$は、閉集合の基底である。${\displaystyle X}$双対である場合に限り${\displaystyle X,}$それが家族です${\displaystyle \{X\setminus C:C\in {\mathcal {C}}\}}$の補数のメンバー$\displaystyle {\mathcal {C}}}$は、 の開集合の基底である。${\displaystyle X.}$

させて$\displaystyle {\mathcal {C}}}$閉集合の基底となる${\displaystyle X.}$それから

1. ${\displaystyle \bigcap {\mathcal {C}}=\varnothing }$
2. 各${\displaystyle C_{1},C_{2}\in {\mathcal {C}}}$組合${\displaystyle C_{1}\cup C_{2}}$は、あるサブファミリーの交差です。$\displaystyle {\mathcal {C}}}$（つまり、どんな${\displaystyle x\in X}$ない${\displaystyle C_{1}{\text{ または }}C_{2}}$いくつかあります${\displaystyle C_{3}\in {\mathcal {C}}}$含む${\displaystyle C_{1}\cup C_{2}}$含まない${\displaystyle x}$)

集合の部分集合の任意の集合${\displaystyle X}$これらの性質を満たすことは、位相の閉集合の基礎を形成する。${\displaystyle X.}$この位相の閉集合は、まさに以下の要素の交差である。${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

場合によっては、開集合の基底ではなく閉集合の基底を使用する方が便利なことがあります。たとえば、空間が完全に正則であるのは、零集合が閉集合の基底を形成する場合のみです。任意の位相空間が与えられた場合、${\displaystyle X,}$零集合は、ある位相の閉集合の基底を形成する。${\displaystyle X.}$このトポロジーは、最も優れた完全な正則トポロジーとなるでしょう。${\displaystyle X}$元のものより粗い。同様に、ザリスキー位相は${\displaystyle A^{n}}$は、多項式関数の零点集合を閉集合の基底として定義される。

私たちは（Engelking 1989 、p. 12、pp. 127-128）で確立された概念に基づいて作業を進めます。

修理${\displaystyle X}$位相空間。ここで、ネットワークはファミリーである。$\displaystyle {\mathcal {N}}}$集合の、すべての点について${\displaystyle x}$そして、Uを含むオープンな近隣地域${\displaystyle x}$存在する${\displaystyle B}$で$\displaystyle {\mathcal {N}}}$そのために${\displaystyle x\in B\subseteq U.}$基底とは異なり、ネットワーク内の集合は必ずしも開集合である必要はないことに注意してください。

重みを定義します。${\displaystyle w(X)}$基底の最小濃度として、ネットワークの重みを定義します。${\displaystyle nw(X)}$ネットワークの最小カーディナリティ、ポイントの特性、${\displaystyle \chi (x,X),}$近隣基底の最小カーディナリティとして${\displaystyle x}$で${\displaystyle X}$; そしてその性格${\displaystyle X}$である $${\displaystyle \chi (X)\triangleq \sup\{\chi (x,X):x\in X\}.}$$

文字と重みを計算する目的は、どのような種類の基底と局所基底が存在し得るかを判断できるようにすることです。以下の事実がわかっています。

• ${\displaystyle nw(X)\leq w(X)}$。
• もし${\displaystyle X}$離散的である場合、${\displaystyle w(X)=nw(X)=|X|}$。
• もし${\displaystyle X}$ハウスドルフなら、${\displaystyle nw(X)}$有限であるのは、${\displaystyle X}$有限離散的である。
• もし${\displaystyle B}$は基礎となる${\displaystyle X}$そうすれば基礎が${\displaystyle B'\subseteq B}$サイズの${\displaystyle |B'|\leq w(X).}$
• もし${\displaystyle N}$近隣の基盤${\displaystyle x}$で${\displaystyle X}$次に、地域に基づいた考え方があります。${\displaystyle N'\subseteq N}$サイズの${\displaystyle |N'|\leq \chi (x,X).}$
• もし${\displaystyle f:X\to Y}$連続全射である場合、${\displaystyle nw(Y)\leq w(X)}$（単純に${\displaystyle Y}$-ネットワーク${\displaystyle fB\triangleq \{f(U):U\in B\}}$各基準について${\displaystyle B}$の${\displaystyle X}$）
• もし${\displaystyle (X,\tau )}$ハウスドルフ位相が存在するならば、より弱いハウスドルフ位相が存在する。${\displaystyle (X,\tau ')}$となることによって${\displaystyle w(X,\tau ')\leq nw(X,\tau ).}$だからなおさら、もし${\displaystyle X}$もコンパクトであるため、そのようなトポロジーは一致し、したがって、最初の事実と組み合わせると、${\displaystyle nw(X)=w(X)}$。
• もし${\displaystyle f:X\to Y}$コンパクトな距離化可能な空間からハウスドルフ空間への連続的な全射写像、${\displaystyle Y}$コンパクトに計量可能である。

最後の事実は以下から導き出される${\displaystyle f(X)}$コンパクトなハウスドルフであるため、${\displaystyle nw(f(X))=w(f(X))\leq w(X)\leq \aleph _{0}}$（コンパクト距離化可能空間は必然的に第二可算空間であるため）また、コンパクトハウスドルフ空間が距離化可能であるのは、それが第二可算空間である場合に限るという事実も挙げられます。（例えば、ハウスドルフ空間内のすべての経路はコンパクト距離化可能である、という応用例があります。）

• エセニン＝ヴォルピンの定理
• 接着公理
• 近隣システム