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ユークリッド幾何学において、モール・マスケローニの定理は、コンパスと定規を用いて行うことができる幾何学的作図は、コンパスのみを用いて行うことができると述べている。
この定理は、定規なしでは直線を描くことができないため、点と円のみを含む幾何学的作図に関するものです。ただし、直線自体が描かれていなくても、その直線上の2つの異なる点が与えられているか作図されている場合は、その直線が決定されているとみなされます。[ 1 ]
定規を使うことで作図が格段に楽になる場合もあるが、この定理は定規を使わなくても作図が可能であることを示しています。つまり、定規の唯一の用途は直線を描く際の美観のためだけであり、作図の目的においては機能的に不要ということです。
この結果はもともと1672年にゲオルク・モールによって発表されましたが[ 2 ]、彼の証明は1928年まで知られずに埋もれていました[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]。この定理は1797年にロレンツォ・マスケローニ によって独自に発見され、モールの研究が再発見されるまでマスケローニの定理として知られていました[ 6 ] 。
この結果の証明はいくつか知られている。マスケローニの1797年の証明は、直線に関する反射を主要なツールとして用いるという考え方に基づいていた。モールの解法は異なっていた。[ 3 ] 1890年、アウグスト・アドラーは反転変換を用いた証明を発表した。[ 7 ]
代数的なアプローチでは、ユークリッド平面と実座標空間の間の同型性を利用する。このようにして、1990年に定理のより強力なバージョンが証明されました。[ 8 ]また、この定理がアルキメデスの公理に依存していることも示しています（これは一階述語論理では定式化できません）。
モール・マスケローニの定理を証明するには、コンパスと定規の基本的な作図がそれぞれコンパスのみで可能であることを示せば十分である。なぜなら、これらは他のすべての作図の基礎となるからである。すべての作図は、次の5つの基本的な作図を含む一連の手順として記述できる。
作図（2）と（5）はコンパスのみで行うことができます。作図（1）では、任意の2点によって直線が与えられるとみなされます。直線自体は定規なしでは描けないことは周知の事実であるため、定理の証明は、作図（3）と（4）がコンパスのみで可能であることを示すことにあります。これができれば、定理の制約の下で、すべてのコンパスと定規による作図が可能であることがわかります。
本稿では、以下の表記法を用いる。中心が点Uにあり、点Vを通る円はU ( V )と表記する。中心がUで半径が数値rで指定される円、または線分AB は、それぞれU ( r )またはU ( AB )と表記する。[ 9 ]
上記の構成（3）と（4）を証明するために、頻繁に使用され参照されるいくつかの必要な中間構成についても以下で説明します。これらもコンパスのみによる構成です。
固定式の（非折りたたみ式の）開口部を持つ 現代のコンパスは、距離を直接測定できるのに対し、折りたたみ式のコンパスではそれができません。コンパス等価定理は、「現代のコンパス」はより高性能な計器のように見えますが、折りたたみ式のコンパスだけでも同様の効果が得られることを示しています。このことから、この定理の証明には、「固定コンパス」を用いた動作（異なる場所に所定の半径の円を描く動作）が正当化されます。
点A、B、Cが与えられたとき、折りたたみ式コンパスのみを使用して、Aを中心とする半径BCの円を作図しなさい。
2点AとBによって定義される直線ABと任意の点Cが与えられたとき、この直線に関してCを反射させた像を作図せよ。
2点AとBによって決定される直線ABが与えられたとき、 Bが線分ACの中点となるような点Cを直線上に作図せよ。[ 12 ]
この作図は、任意の正の整数nに対して、線分AQの長さが線分ABの長さのn倍になるような点Qを見つけるために、必要なだけ繰り返すことができます。
半径r (黒)の円B ( r )と点D (≠ B )が与えられたとき、円に関するDの反転である点Iを構成します。 [ 13 ]当然、点D = Bには反転はありません。
この点I は直線DB上にあり、DB · IB = r 2を満たします。
上記の作図が失敗した場合（つまり、赤い円と黒い円が2点で交わらない場合）、[ 12 ]線分BD上に点Qを見つけ、線分BQの長さがBDの長さの正の整数倍（例えばn ）であり、かつr /2より大きいようにします。円B（r）内のQの逆点Q'を上記のように見つけます（今度は赤い円と黒い円が2点で交わる必要があります）。点Iは、 BI = n ⋅ BQ'となるようにBQ'を延長することによって得られます。
このような整数nの存在はアルキメデスの公理に基づいています。そのため、この構成ではrとBDの比率に応じて、無限の反復が必要になる場合があります。
3 つの非共線点A、B、Cが与えられたとき、それらが決定する円の中心Oを構成します。 [ 14 ]
3つ目の基本的な作図方法は、平行でない2本の直線の交点に関するものです。
点A、B、C、Dによって決定される平行でない直線ABとCDが与えられたとき、それらの交点Xを構築します。[ 14 ]
4つ目の基本的な作図は、直線と円の交点に関するものです。以下の作図は、円の中心が直線と同一線上にあるか、そうでないかによって2つのケースに分かれます。
円の中心は直線上にないものとします。
円C ( r ) (黒) と直線ABが与えられたとき、それらの交点PとQを構築します (存在する場合)。 [ 15 ] [ 3 ]
円反転を用いた別の構成方法も示すことができる。[ 14 ]
中心Cが直線AB上にある円C ( r )が与えられたとき、円と直線の交点である点PとQを作図せよ。 [ 17 ]
5つの基本作図法すべてがコンパスのみで実現可能であることが示されたため、これはモール・マスケローニの定理を証明するものである。コンパスと定規を用いたあらゆる作図法は、その作図手順を5つの基本作図法に基づいて記述することで、コンパスのみで実現できる。
ドノ・キジネは、モール・マスケローニの定理は根本的にアルキメデスの公理に基づいていると指摘している。その結果、モール・マスケローニの定理の証明には必然的に無限のステップが含まれることになる。[ 18 ]これは、有効な幾何学的構成とは何かという疑問を提起する。
ほとんどの幾何学的作図は、「直線プログラム」、つまり固定されたステップ数を持つ一連の基本命令として考えることができる。このモデルでは、モール・マスケローニの定理は、必要な反復回数に事前の上限がないため、有効な結果とはみなされない。
これに対処するため、エルヴィン・エンゲラーは、幾何学的構成を「ループを持つプログラム」、つまり条件分岐と制御フローを可能にする命令のリストとして定義することを提案した。[ 19 ]これにより、モール・マスケローニの定理は維持されるが、新たな問題が生じる。
例えば、有理平面内で定規のみを用いた作図を考えてみましょう。ステップ数を無制限に許容する場合、任意の4点が与えられます。一般の位置では、すべての有理点と直線を列挙できます。単にABに平行な線が現れるまで「待つ」だけで、その線を使ってABの中点を作図することができる。この作図は直感的に妥当な作図には見えず、定規を使って中点を作図することは不可能だという考えに反する。[ 20 ]
ルネサンス期の数学者であるロドヴィコ・フェラーリ、ジェロラモ・カルダーノ、ニッコロ・フォンタナ・タルタリアらは、16世紀に、定規とコンパスを使った作図は、直線定規と固定幅のコンパス（つまり錆びたコンパス）でも可能であることを示すことができた。[ 21 ]
コンパス等価定理によれば、距離を保持する固定コンパスは、距離を保持しない折りたたみ式コンパスに置き換えることができる。折りたたみ式コンパスを使えば、固定コンパスを使う場合よりも3回以内の使用回数で、平面上の任意の円を平行移動できる。実際、ユークリッドのオリジナルの作図では、折りたたみ式コンパスが用いられている。
マスケローニの成果に触発され、1822年にジャン・ヴィクトル・ポンセレは同じテーマの変形を予想した。彼の研究は射影幾何学の分野への道を開き、定規とコンパスで可能な作図はすべて定規のみで可能であると提唱した。ただし、中心が特定された円が少なくとも1つ必要であるという条件が付されている。この主張は、現在ポンセレ＝シュタイナーの定理として知られており、11年後にヤコブ・シュタイナーによって証明された。
モール・マスケローニの定理は、例えば、定規を平面に、コンパスを球に置き換えた3次元の変形など、より高次元に一般化されている。n次元の「定規とコンパス」による作図は、通常の2次元コンパスだけでも実行できることが示されている。 [ 22 ]
さらに、モール・マスケローニの定理を非ユークリッド幾何学に一般化するための研究もいくつか進行中である。
