反相似円

反転幾何学において、 2 つの円αとβの反対称円(中円とも呼ばれる)は、αとβが互いに反転している基準円です。αとβが交差しないか接線である場合、反対称円は 1 つ存在します。α と β が 2 点で交差する場合は、反対称円が 2 つ存在します。α とβが合同である場合、反対称円はαとβが互いに反射する対称線に退化します。^{[1] [2]}

2 つの円αとβが交差し、別の 2 つの円γとδがそれぞれ α と β の両方に接し、さらに γ と δ が互いに接している場合、 γ と δ の接点は必ず 2 つの反対相似円のいずれかにあります。 αとβが互いに交わらず同心円でない場合、γとδの接点の軌跡は再び 2 つの円を形成しますが、そのうちの 1 つだけが (唯一の) 反対相似円です。αとβが接しているか同心円である場合、接点の軌跡は 1 つの円に縮退し、これも反対相似円になります。^[3]

2 つの円αとβ が交差する場合、それらの 2 つの反対称円はそれぞれ両方の交差点を通過し、交差するときに αとβの弧によって形成される角度を二等分します。

円γが円αとβ と等しい角度で交差する場合、γ はαとβの反対称円の 1 つと直交します。γがαとβ と補角で交差する場合、もう 1 つの反対称円と直交します。また、γがαとβ の両方に直交する場合、両方の反対称円とも直交します。^[2]

3 つの円α、β、およびγについて、ペア ( α、β )の反対称円があり、それがペア ( β、γ ) の 2 番目の反対称円と交差しているとします。次に、3 番目のペア ( α、γ ) の 3 番目の反対称円があり、3 つの反対称円が 2 つの三重交差点で交差します。合計すると、最大 8 つの三重交差点がこの方法で生成されます。これは、最初の 2 つの円のそれぞれを選択する方法が 2 つあり、選択した 2 つの円が交差する点が 2 つあるためです。これらの 8 つ以下の三重交差点は、3 つの円α、β、およびγ がすべて等しい円になる反転の中心です。^[1]互いに外部接する３つの円については、各対の（唯一の）反対称円は、３つの接点によって形成される三角形の 等力点である２つの三重交差点で再び120°の角度で交差する。

• 逆幾何学
• 限界点（幾何学）、2つの円を同心円状に反転させる中心
• ラジカル軸

• Weisstein、Eric W.「Midcircle」。MathWorld。