発射物の射程

物理学では、特定の初期条件で発射された発射体の射程距離は になります。均一な重力場を持ち、空気抵抗がない平らな地球を想定すると、より予測しやすくなります。発射体の水平方向の射程距離は、同じ速度で 2 つの補完的な投射角度に対して等しくなります。

以下は、地球の大きさに比べて距離が短い場合に適用されます。より長い距離については、弾道飛行を参照してください。空気抵抗を無視した場合、発射体が移動する最大水平距離は次のように計算できます。^[1]

${\displaystyle d={\frac {v\cos \theta }{g}}\left(v\sin \theta +{\sqrt {v^{2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}\right)}$

どこ

• d は発射体が移動した水平方向の総距離です。
• vは発射体が発射される速度である
• gは重力加速度であり、通常、地球の表面近くでは9.81 m/s ² (32 f/s ² )とされる。
• θは発射体が発射される角度である
• y _0は発射体の初期の高さである

y ₀をゼロとする と、物体が平らな地面に発射されることを意味し、発射体の射程距離は次のように簡略化されます。

${\displaystyle d={\frac {v^{2}\sin 2\theta }{g}}}$

理想的な発射体の運動は、空気抵抗がなく、重力加速度に変化がないことを前提としています。この仮定は数学を大幅に簡素化し、移動距離が短い場合の実際の発射体の運動に近い近似値となります。理想的な発射体の運動は、空気抵抗の複雑さを加える前に、このトピックを理解するための良い入門書でもあります。

発射角度が 45 度の場合、発射体は水平方向に最も遠くまで移動します。これは直角三角形の性質によるものです。さらに、射程距離の式から次の式が得られます。

${\displaystyle d={\frac {v^{2}\sin 2\theta }{g}}}$

の値が最高 (つまり 1 に等しい) のときに範囲が最大になることがわかります。明らかに、は 90 度である必要があります。つまり、は 45 度です。 ${\displaystyle \sin 2\theta}$${\displaystyle 2\theta }$${\displaystyle \theta}$

まず、( y ₀ )がゼロの場合を検討します。発射体の水平位置は

${\displaystyle x(t)=vt\cos \theta }$

垂直方向

${\displaystyle y(t)=vt\sin \theta -{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

私たちが興味を持っているのは、発射体が元の高さに戻る時間です。発射体の高さが初期値と等しいときの任意の時間を t _{gとします。}

${\displaystyle 0=vt\sin \theta -{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

因数分解すると:

${\displaystyle t=0}$

または

${\displaystyle t={\frac {2v\sin \theta}{g}}}$

しかし、t = T = 飛行時間

${\displaystyle T={\frac {2v\sin \theta}{g}}}$

最初の解は、発射体が最初に発射されたときに対応する。2番目の解は、発射体の射程距離を決定するのに役立つ。この( t )の値を水平方程式に代入すると、次の式が得られる。

${\displaystyle x={\frac {2v^{2}\cos \theta \,\sin \theta }{g}}}$

三角関数の等式を適用する

${\displaystyle \sin(x+y)=\sin x\,\cos y\ +\ \sin y\,\cos x}$

xとyが同じであれば、

${\displaystyle \sin 2\theta =2\sin \theta \,\cos \theta }$

解決策を簡素化することができます

${\displaystyle d={\frac {v^{2}\sin 2\theta }{g}}}$

( θ )が45°のとき、解は次のようになること に注意する。

${\displaystyle d_{\max }={\frac {v^{2}}{g}}}$

ここで、( y ₀ )が非ゼロであるとします。運動方程式は次のようになります。

${\displaystyle x(t)=vt\cos \theta }$

そして

${\displaystyle y(t)=y_{0}+vt\sin \theta -{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

もう一度、発射体の ( y ) 位置がゼロの場合の( t ) を解きます(これが最初に開始高度を定義した方法であるため)

${\displaystyle 0=y_{0}+vt\sin \theta -{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

再び二次方程式を適用することで、時間に対する2つの解が見つかる。代数的操作を数回行った後、

${\displaystyle t={\frac {v\sin \theta }{g}}\pm {\frac {\sqrt {v^{2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}{g}}}$

平方根は正の数でなければならず、速度と発射角度の正弦も正であると仮定できるため、プラスまたはマイナスの符号の正の値を使用すると、より長い時間を持つ解が得られる。したがって、解は次のようになる。

${\displaystyle t={\frac {v\sin \theta }{g}}+{\frac {\sqrt {v^{2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}{g}}}$

もう一度範囲を解く

${\displaystyle d={\frac {v\cos \theta }{g}}\left(v\sin \theta +{\sqrt {v^{2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}\right)}$

あらゆる高さで範囲を最大化

${\displaystyle \theta =\arccos {\sqrt {\frac {2gy_{0}+v^{2}}{2gy_{0}+2v^{2}}}}}$

0に近づく につれて限界をチェックする${\displaystyle y_{0}}$

${\displaystyle \lim _{y_{0}\to 0}\arccos {\sqrt {\frac {2gy_{0}+v^{2}}{2gy_{0}+2v^{2}}}}={\frac {\pi }{4}}}$

発射体が着地する角度 ψ は次のように表されます。

${\displaystyle \tan \psi ={\frac {-v_{y}(t_{d})}{v_{x}(t_{d})}}={\frac {\sqrt {v^{2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}{v\cos \theta }}}$

最大範囲の場合、次の式が得られます。

${\displaystyle \tan ^{2}\psi ={\frac {2gy_{0}+v^{2}}{v^{2}}}=C+1}$

θ の元の解を書き直すと、次のようになります。

${\displaystyle \tan ^{2}\theta ={\frac {1-\cos ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {v^{2}}{2gy_{0}+v^{2}}}={\frac {1}{C+1}}}$

(tan ψ)^2 の式を掛けると次のようになります。

${\displaystyle \tan ^{2}\psi \,\tan ^{2}\theta ={\frac {2gy_{0}+v^{2}}{v^{2}}}{\frac {v^{2}}{2gy_{0}+v^{2}}}=1}$

三角関数の等式により

${\displaystyle \tan(\theta +\psi )={\frac {\tan \theta +\tan \psi }{1-\tan \theta \tan \psi }}}$、

これは、θ + ψ が 90 度でなければならないことを意味します。

実際の発射体の動きを考慮する場合、発射体の速度を遅くし、その射程距離を短くする空気抵抗に加えて、他の多くの要因も考慮する必要があります。

一般的に言えば、体積の大きい発射体は空気抵抗が大きくなり、発射体の射程距離は短くなります。(発射体の軌道も参照) 空気抵抗の抗力は発射体の形状によって変わります。つまり、高くて幅が広いが短い発射体は、低くて幅が狭いが長い同じ体積の発射体よりも空気抵抗が大きくなります。発射体の表面も考慮する必要があります。滑らかな発射体は表面がざらざらしたものよりも空気抵抗が少なく、発射体の表面の凹凸によって発射体の片側で反対側よりも大きな抗力が生じると、その軌道が変わることがあります。ただし、ゴルフ ボールのディンプルなどの凹凸は、発射体が移動する際の背後で発生する乱流の量を減らすことで、実際に射程距離を延ばすことがあります。^[要出典] 質量も重要になり、質量の大きい発射体は運動エネルギーが大きく、空気抵抗の影響を受けにくくなります。発射体内の質量の分布も重要であり、重量が不均一な発射体は望ましくない回転を起こし、マグナス効果により軌道に不規則性が生じる可能性があります。

発射体が移動軸に沿って回転すると、発射体の形状と重量分布の不規則性が相殺される傾向があります。詳細については、 ライフリングを参照してください。

銃器や大砲から発射される弾丸の場合、銃身の性質も重要です。銃身が長いほど、推進剤のエネルギーをより多く弾丸に与えることができ、射程距離が長くなります。 ライフリングは、同じ銃から発射される多数の弾丸の平均 (算術平均) 射程距離を伸ばすことはできませんが、銃の精度と精密度を高めます。

非常に長い射程距離を持つ 大砲や榴弾砲も作られています。

第一次世界大戦中、ドイツはパリ砲という非常に大きな大砲を開発しました。この砲は、80マイル（130 km）以上も砲弾を発射することができました。北朝鮮は、ロケット支援の発射体を使用して射程60 kmの、西側諸国でコクサンとして知られる砲を開発しました。（発射体の軌道も参照してください。）

このような大砲は、発射後も一定期間ミサイルを加速し続ける独自のロケットエンジンを備えた ロケットや弾道ミサイルとは区別されます。

• 軌道
• 発射体の動き
• 脱出速度