ベンフォードの法則

ベンフォードの法則は、ニューカム・ベンフォードの法則、異常数の法則、または第1桁の法則とも呼ばれ、現実の多くの数値データセットにおいて、先頭の桁が小さくなる傾向があるという観察に基づくものです。^[1]この法則に従うデータセットでは、1が先頭の有効桁として出現する確率は約30%ですが、9が先頭の有効桁として出現する確率は5%未満です。均一に分布する数字は、それぞれ約11.1%の確率で出現します。^[2]ベンフォードの法則は、2番目の桁、3番目の桁、数字の組み合わせなどの分布についても予測を行います。

右のグラフは、ベンフォードの法則を10 進数で表したもので、任意の (整数) 基数で表された数に関する一般化された法則の無限に多いケースの 1 つであり、この現象が 10 進数システムの産物である可能性を排除しています。1995 年に発表されたさらなる一般化^{[3]には、先頭の}n番目の桁と先頭のn桁の結合分布の両方に対する類似の記述が含まれており、後者は、有意な桁が統計的に依存する量であることが示される帰結につながります。

この結果は、電気料金、住所、株価、住宅価格、人口数、死亡率、河川の長さ、物理的定数や数学定数など、さまざまなデータ セットに当てはまることが示されている。^{[4]自然データに関する他の一般原則 (多くのデータ セットは}正規分布で十分に近似されるという事実など) と同様に、ベンフォードの法則が当てはまる多くのケースをカバーする実例や説明があるが、ベンフォードの法則が当てはまるが単純な説明が難しいケースも数多くある。^{[5] [6]ベンフォードの法則は、値が複数}の桁にわたって分布している場合、特に数値を生成するプロセスがべき乗法則(自然界では一般的) で記述されている場合に最も正確になる傾向がある。

この法則は物理学者フランク・ベンフォードにちなんで名付けられ、彼は1938年に「異常数の法則」と題する論文でこれを述べたが^[7] 、それ以前にはサイモン・ニューカムが1881年に述べていた。 ^{[8] [9]}

この法則は、分布は同一ではないものの、概念的にはジップの法則に似ています。

ある数の集合がベンフォードの法則を満たすとするには、先頭の数字 d（d∈  {1, ..., 9} ）が確率^[10]で出現する必要がある。

${\displaystyle P(d)=\log _{10}(d+1)-\log _{10}(d)=\log _{10}\left({\frac {d+1}{d}}\right)=\log _{10}\left(1+{\frac {1}{d}}\right).}$

このようなセットの先頭の数字は、次のような分布になります。

⁠ ⁠ の${\displaystyle P(d)}$量は、対数スケール上のdとd  + 1 の間の空間に比例します。したがって、これは、数の対数(数自体ではない) が均一かつランダムに分布している場合に予想される分布です。

たとえば、1 から 10 までの範囲に制限されている数xは、 1 ≤  x  < 2の場合は数字 1 で始まり、9 ≤  x  < 10の場合は数字 9 で始まります。したがって、log 1 ≤ log  x  < log 2の場合は数字 1 で始まり、 log 9 ≤ log  x  < log 10の場合は数字 9 で始まります。間隔[log 1, log 2]は間隔[log 9, log 10]よりもはるかに広くなっています(それぞれ 0.30 と 0.05)。したがって、 log xが均一かつランダムに分布している場合、狭い間隔よりも広い間隔に入る可能性がはるかに高くなります。つまり、9 よりも 1 で始まる可能性が高くなります。確率は間隔の幅に比例し、上記の式が得られます (また、10 進数以外の他の基数への一般化も可能です)。

ベンフォードの法則は、データの対数の小数部は通常0と1の間でほぼ均一に分布していると主張する、より強い形で述べられることもあります。このことから、最初の桁の分布に関する主な主張を導き出すことができます。^[5]

ベンフォードの法則の拡張は、10進数以外の他の基数（実際にはb  ≥ 2 ）における最初の数字の分布を予測する。一般的な形式は^{[12]である。}

${\displaystyle P(d)=\log _{b}(d+1)-\log _{b}(d)=\log _{b}\left(1+{\frac {1}{d}}\right).}$

b = 2, 1（2進数と1進数）の数値システムでは、ベンフォードの法則は真だが自明である。すなわち、すべての2進数と1進数（0または空集合を除く）は数字1で始まる。（一方、ベンフォードの法則を2番目以降の数字に一般化することは、2進数の場合でも自明ではない。^[13]）

世界で最も高い 58 の建造物の高さをカテゴリ別にリストで調べると、測定単位に関係なく、1 が圧倒的に最も一般的な先頭の数字であることがわかります(下記の「スケールの不変性」を参照)。

もう一つの例は、 2nの先頭の数字です。最初の96桁の数字のシーケンス（1、2、4、8、1、3、6、1、2、5、1、2、4、8、1、3、6、1、...（OEISのシーケンスA008952 ））は^、等比数列から派生しているため、同じ長さのランダムシーケンスで予想されるよりもベンフォードの法則に近いことを示しています。^[14]

ベンフォードの法則の発見は1881年に遡り、カナダ系アメリカ人の天文学者サイモン・ニューカムは対数表の最初のページ（1で始まるページ）が他のページよりもかなり摩耗していることに気づきました。 ^[8]ニューカムが発表した結果は、この観察の最初の例として知られており、2桁目の分布も含まれています。ニューカムは、単一の数字Nがある数字の最初の数字である確率はlog( N  + 1) − log( N )に等しいという法則を提唱しました。

この現象は1938年に物理学者フランク・ベンフォード^[7]によって再び注目され、彼は20の異なる領域からのデータでこの現象をテストし、その功績を認められた。彼のデータセットには、335の河川の表面積、3259の米国の人口の大きさ、104の物理定数、1800の分子量、数学ハンドブックの5000の項目、リーダーズ・ダイジェスト誌に掲載された308の数字、アメリカ科学者のリストに載っている最初の342人の住所、および418の死亡率が含まれていた。論文で使用された観測値の総数は20,229であった。この発見は後にベンフォードにちなんで名付けられ（スティグラーの法則の例となった）、

1995年にテッド・ヒルは、以下に示す混合分布に関する結果を証明した。^{[15] [16]}

ベンフォードの法則は、数桁に及ぶデータに最も正確に当てはまる傾向がある。経験則として、データが均等にカバーする桁数が多いほど、ベンフォードの法則はより正確に適用される。たとえば、ベンフォードの法則は、イギリスの入植地の人口を表す数字のリストに適用されることが予想される。しかし、「入植地」が人口300人から999人の村として定義されている場合、ベンフォードの法則は適用されない。^{[17] [18]}

以下に示す、対数スケールを基準とした確率分布について考えてみましょう。いずれの場合も、赤色の合計面積は最初の数字が 1 である相対確率であり、青色の合計面積は最初の数字が 8 である相対確率です。最初の分布では、赤色と青色の面積の大きさは、赤色と青色のバーの幅にほぼ比例しています。したがって、この分布から抽出された数字は、ベンフォードの法則にほぼ従います。一方、2 番目の分布では、赤色と青色の面積の比率は、赤色と青色のバーの幅の比率と大きく異なります。むしろ、赤色と青色の相対面積は、バーの幅よりも高さによって決まります。したがって、この分布の最初の数字は、ベンフォードの法則をまったく満たしていません。^[18]

したがって、数桁にわたって均一に広がる現実世界の分布（例えば、株価や村、町、都市の人口）は、ベンフォードの法則を非常に正確に満たす可能性が高い。一方、ほとんどまたは完全に1桁以内の分布（例えば、IQスコアや成人の身長）は、ベンフォードの法則を非常に正確に満たす可能性は低い。^{[17] [18]}ただし、適用可能なレジームと適用不可能なレジームの違いは明確なカットオフではなく、分布が狭くなるにつれて、ベンフォードの法則からの逸脱は徐々に増加します。

（この議論はベンフォードの法則の完全な説明ではない。なぜなら、変数の対数の確率分布としてプロットしたときに、数桁にわたって比較的均一なデータセットが頻繁に発生する理由を説明していないからである。^[19]）

1970年にヴォルフガング・クリーガーは、現在クリーガー生成定理と呼ばれているものを証明した。^{[20] [21]}クリーガー生成定理は、カフリのボールと箱のモデルにおける仮定、すなわち、0、1、...、n、...、という固定数の桁を持つ基数において、桁nはn個の相互作用しないボールを含むカフリの箱と同等であるという仮定を正当化するものとみなされるかもしれない。他の科学者や統計学者は、ベンフォードの法則に対してエントロピー関連の説明^{[どれ？ ]}を提案している。^{[22] [23] [10] [24]}${\displaystyle B}$${\displaystyle B-1}$

ベンフォードの法則の現実世界の多くの例は、乗法的な変動から生じます。^[25]たとえば、株価が100ドルで始まり、毎日0.99から1.01の間でランダムに選択された係数で乗算されると、長期間にわたってその価格の確率分布はベンフォードの法則をより高い精度で満たします。

その理由は、株価の対数がランダムウォークを起こしているため、時間の経過とともにその確率分布はますます広く滑らかになるためです（上記参照）。^[25]（より技術的には、中心極限定理によれば、ランダム変数をどんどん掛け合わせると、分散がますます大きくなる対数正規分布が作成され、最終的にはほぼ均一に多くの桁をカバーすることになります。）ベンフォードの法則とほぼ一致するためには、分布は10までの任意の係数で拡大してもほぼ不変でなければなりません。分散が広い対数正規分布のデータ セットは、このおおよその特性を備えています。

乗法変動とは異なり、加法変動はベンフォードの法則にはつながりません。代わりに、ベンフォードの法則を満たさない正規確率分布につながります (これも中心極限定理による)。対照的に、上記の仮想株価は、多くのランダム変数 (つまり、各日の価格変動係数) の積として表すことができるため、ベンフォードの法則にかなりよく従う 可能性があります。

アントン・フォルマンは、有効数字の分布と観測変数の分布の相互関係に注目することで、別の説明を行った。彼はシミュレーション研究で、ランダム変数の右裾の長い分布はニューカム・ベンフォードの法則と互換性があり、2つのランダム変数の比の分布では適合性が一般に向上することを示した。^[26]特定の分布（IQスコア、人間の身長）から抽出された数値については、ベンフォードの法則は成り立たない。これらの変数は正規分布に従うが、ベンフォードの法則を満たさないことが知られている。^[9]正規分布は数桁に及ぶことはできず、その対数の有効数字は（近似的にさえ）一様に分布しないからである。しかし、新聞記事から数字を取るなどして、これらの分布からの数字を「混ぜる」と、ベンフォードの法則が再び現れる。これは数学的に証明することもできる。つまり、無関係な集合から確率分布を「ランダムに」繰り返し選択し、その分布に従って数字をランダムに選択すると、結果として得られる数字のリストはベンフォードの法則に従う。 ^{[15] [27]}日常生活の数字にベンフォードの法則が現れることについての同様の確率的説明は、一様分布の混合を考慮すると自然に生じることを示すことによって進められてきた。^[28]

長さのリストでは、すべての長さがメートル、ヤード、フィート、インチなどで表現されているかどうかに関係なく、リスト内の数字の最初の桁の分布は一般的に同様です。同じことが通貨単位にも当てはまります。

常にそうであるとは限りません。たとえば、成人の身長は、メートルで測るとほぼ常に 1 または 2 で始まり、フィートで測るとほぼ常に 4、5、6、または 7 で始まります。しかし、分子、バクテリア、植物、銀河の測定値を含む科学論文に記載されている 1000 の長さのリストなど、何桁にも均等に分散した長さのリストでは、長さがメートルで書かれていてもフィートで書かれていても、最初の数字の分布は同じであると予想するのが妥当です。

データセットの最初の桁の分布がスケール不変（データが表現される単位に依存しない）である場合、それは常にベンフォードの法則によって与えられます。^{[29] [30]}

たとえば、前述の長さのリストの最初の数字 (ゼロ以外の数字) は、測定単位がフィートでもヤードでも同じ分布になるはずです。しかし、1 ヤードには 3 フィートあるので、ヤードの長さの最初の数字が 1 である確率は、フィートの長さの最初の数字が 3、4、または 5 である確率と同じでなければなりません。同様に、ヤードの長さの最初の数字が 2 である確率は、フィートの長さの最初の数字が 6、7、または 8 である確率と同じでなければなりません。これをすべての可能な測定スケールに適用すると、ベンフォードの法則の対数分布が得られます。

ベンフォードの法則は、数体系において基数不変である。和の不変性、逆数の不変性、加減算の不変性の条件と証明がある。^{[31] [32]}

1972年、ハル・バリアンは、この法則は、公共計画の決定を支援するために提出された社会経済データのリストにおける不正の可能性を検出するために使用できると示唆した。数字を捏造する人は数字をかなり均一に分布させる傾向があるというもっともらしい仮定に基づくと、データの最初の数字の頻度分布とベンフォードの法則に従って予想される分布を単純に比較するだけで、異常な結果が明らかになるはずである。^[33]

アメリカ合衆国では、ベンフォードの法則に基づく証拠は連邦、州、地方レベルの刑事事件で認められている。^[34]

ミシガン大学の政治学者で統計学者のウォルター・メベインは、第2桁ベンフォードの法則テスト（2BLテスト）を選挙鑑識に初めて適用した。[35] このような分析は、選挙結果の不正を特定する簡単な方法だが、絶対確実ではないと考えられている。[36] ベンフォードの法則を選挙に^適用できる^ことを支持する科学的コンセンサスは、文献では得られていない。政治学者のジョセフ・デッカート、ミハイル・ミャグコフ、ピーター・C・オルデスフックによる2011年の研究では、ベンフォードの法則は選挙詐欺の統計的指標としては問題があり、誤解を招くと主張した。^[37]メベインは彼らの方法を批判したが、ベンフォードの法則を選挙データに適用するには多くの注意点があることに同意した。^[38]

ベンフォードの法則は、 2009年のイラン選挙における不正の証拠として使われてきた。^[39]メーベインの分析によると、選挙で勝利したマフムード・アフマディネジャド大統領の得票数の2桁目は、ベンフォードの法則の予測とは大幅に異なる傾向があり、無効票がほとんどない投票箱の方が結果に大きな影響を与えており、広範な水増しが示唆されている。^[40]別の研究では、ブートストラップシミュレーションを使用して、候補者のメフディ・カルービーが、ベンフォードの法則に従って予測されるよりもほぼ2倍多くの数字7で始まる投票数を獲得したことがわかった。[ ^41]一方、コロンビア大学の分析では、公正な選挙で、2009年のイラン大統領選挙で見られたような、隣接しない数字が少なすぎることと、最後の数字の頻度の疑わしい偏差の両方が生じる確率は0.5％未満であると結論付けている。^[42]ベンフォードの法則は、2003年のカリフォルニア州知事選挙、^[43] 2000年と2004年の米国大統領選挙、^[44] 2009年のドイツ連邦選挙のデータに対する法廷監査と不正検出にも適用されています。^[45]ベンフォードの法則テストは、「不正の統計的テストとして真剣に受け止める価値がある」と判断されましたが、「多くの投票に重大な影響を与えたことがわかっている歪みには敏感ではありません。」^{[44] [さらなる説明が必要]}

ベンフォードの法則は、選挙詐欺を主張するためにも誤用されてきた。2020年米国大統領選挙におけるジョー・バイデンのシカゴ、ミルウォーキー、その他の地域の選挙結果にこの法則を適用したところ、最初の桁の分布はベンフォードの法則に従わなかった。この誤用は、範囲が厳密に制限されたデータを見た結果であり、データの範囲は広いというベンフォードの法則に固有の仮定に違反している。最初の桁のテストは選挙区レベルのデータに適用されたが、選挙区では数千票以上、または数十票未満しか投票されないことはめったにないため、ベンフォードの法則が適用されるとは期待できない。メベインによれば、「選挙区の投票数の最初の桁は、選挙詐欺の診断には役に立たないことは広く理解されている」という。^{[46] [47]}

同様に、ギリシャ政府がユーロ圏に加盟する前に欧州連合に報告したマクロ経済データは、加盟から数年後であったにもかかわらず、ベンフォードの法則を用いておそらく不正であることが判明した。^{[48] [49]}

研究者は、2002年にユーロが導入される前と後のヨーロッパ全域の消費者製品価格の調査で、心理的な価格設定パターンを検出するためにベンフォードの法則を使用しました。 ^[50]心理的な価格設定がなければ、商品の価格の最初の2桁または3桁はベンフォードの法則に従うはずであるという考え方です。したがって、数字の分布がベンフォードの法則から外れている場合（9が多いなど）、商人が心理的な価格設定を使用している可能性があることを意味します。

2002 年にユーロが現地通貨に取って代わった際、短期間、ユーロ建ての商品価格は、ユーロ建て以前の現地通貨建ての商品価格から単純に換算されました。心理的価格設定をユーロ建ての価格と現地通貨建ての価格の両方に同時に適用することは基本的に不可能であるため、移行期間中は、心理的価格設定が存在していたとしても、それが中断されることになります。消費者が再び単一通貨、今度はユーロ建ての価格に慣れて初めて、心理的価格設定を再構築することができます。

研究者の予想通り、価格の1桁目の分布はベンフォードの法則に従ったが、2桁目と3桁目の分布は導入前にはベンフォードの法則から大きく外れ、導入中に外れが少なくなり、導入後に再び外れが大きくなった。

オープンリーディングフレームの数とゲノムサイズとの関係は真核生物と原核生物で異なり、前者は対数線形関係を示し、後者は線形関係を示します。ベンフォードの法則は、両方のケースでデータに非常によく適合し、この観察をテストするために使用されました。^[51]

発表された論文の回帰係数の検定では、ベンフォードの法則と一致することが示された。^[52]比較グループとして、被験者は統計的推定値を捏造するよう求められた。捏造された結果は、最初の数字についてはベンフォードの法則に準拠していたが、2番目の数字についてはベンフォードの法則に従わなかった。

スロベニアの国家データベースに登録されているすべての研究者の発表された科学論文の数をテストしたところ、ベンフォードの法則に強く準拠していることが示されました。^[53]さらに、著者は科学分野ごとにグループ化されており、テストでは自然科学が社会科学よりも高い準拠性を示していることが示されました。

カイ二乗検定はベンフォードの法則への準拠をテストするために使用されています が、サンプル数が少ない場合、統計的検出力は低くなります。

コルモゴロフ・スミルノフ検定とカイパー検定は、サンプルサイズが小さい場合、特にスティーブンスの補正係数が使用されている場合、より強力です。^[54]これらの検定は、離散分布に適用すると過度に保守的になる可能性があります。ベンフォード検定の値は、モローによって生成されました。^[55]検定統計量の臨界値を以下に示します。

これらの臨界値は、与えられた有意水準でベンフォードの法則に準拠するという仮説を棄却するために必要な最小の検定統計値を提供します。

この法則に特有の2つの代替テストが発表されている。まず、max ( m )統計量^[56]は次のように与えられる。

${\displaystyle m={\sqrt {N}}\cdot \max _{k=1}^{9}\left\{\left|\Pr \left(X{\text{ has FSD}}=k\right)-\log _{10}\left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right|\right\}}.}$

主因数はリーミスの元の式には現れず、^[56]モローが後の論文で追加した。^[55]${\displaystyle {\sqrt {N}}}$

第二に、距離（d）統計量^[57]は次のように与えられる。

${\displaystyle d={\sqrt {N\cdot \sum _{l=1}^{9}\left[\Pr \left(X{\text{ has FSD}}=l\right)-\log _{10}\left(1+{\frac {1}{l}}\right)\right]^{2}}},}$

ここで、FSDは最初の有効数字であり、Nはサンプルサイズである。モローは、これら両方の統計量の臨界値を決定しており、以下に示すとおりである。^[55]

モローはまた、任意のランダム変数 X （連続PDF）をその標準偏差（σ）で割った値 A を見つけることができ、ランダム変数の最初の有効数字の分布の確率がベンフォードの法則とε >0未満しか違わなくなることを示しています。 ^[55] Aの値はεの値とランダム変数の分布に依存します。 ${\displaystyle |X/\sigma |^{A}}$

ブートストラップと回帰に基づく会計不正検出の方法が提案されている。^[58]

ベンフォードの法則に同意することではなく不同意を結論づけることが目的である場合、上記の適合度検定は不適切である。この場合には、同等性に関する特定の検定を適用すべきである。経験的分布は、確率質量関数間の距離（例えば、全変動距離または通常のユークリッド距離）が十分に小さい場合、ベンフォードの法則と同等であると言われる。ベンフォードの法則に適用するこの検定方法は、オストロフスキーで説明されている。^[59]

いくつかのよく知られた無限整数列は、ベンフォードの法則を正確に満たしていることが証明されている（漸近極限では、列の項が増えるにつれてその法則は増大する）。その中には、フィボナッチ数列、^{[60] [61]}階乗列、^[62] 2の累乗、^{[63] [14]および}ほぼすべての他の数の累乗列がある。 ^[63]

同様に、いくつかの連続プロセスはベンフォードの法則を正確に満たします (プロセスが時間の経過とともに進行するにつれて、漸近極限で)。 1 つは指数関数的増加または減少プロセスです。量が時間の経過とともに指数関数的に増加または減少する場合、各最初の桁を持つ時間の割合はベンフォードの法則を漸近的に満たします (つまり、プロセスが時間の経過とともに進行するにつれて精度が増します)。

連続する自然数の平方根と逆数はこの法則に従わない。^[64]有限範囲の素数は一般化ベンフォードの法則に従い、範囲のサイズが無限大に近づくにつれて均一性に近づく。^[65]市内電話番号のリストはベンフォードの法則に違反している。^[66] 1960年と1970年の国勢調査によると、米国の5つの州で人口が2500人以上のすべての場所の人口はベンフォードの法則に違反しており、数字1で始まるのはわずか19%で、数字2で始まるのは2500で切り捨てると統計的な偏りが生じるためである。^[64]病理報告書の末尾の数字は、四捨五入のためベンフォードの法則に違反している。^[67]

数桁に及ばない分布はベンフォードの法則に従わない。例としては身長、体重、IQスコアなどがある。^{[9] [68]}

ベンフォードの法則が適用されると考えられる場合には、特に会計データに適用されるいくつかの基準が提案されている。^[69]

ベンフォードの法則に従うと予想される分布

• 平均値が中央値より大きく、歪度が正の場合
• 数値を数学的に組み合わせた結果の数値: 例: 数量 × 価格
• 取引レベルのデータ: 例: 支出、売上

ベンフォードの法則に従わないと予想される分布

• 番号が順番に割り当てられている場合: 例: 小切手番号、請求書番号
• 数字が人間の思考によって影響を受ける場合: 例: 心理的な閾値によって設定される価格 ($9.99)
• 企業固有の番号が多数あるアカウント: 例: 100 ドルの払い戻しを記録するために設定されたアカウント
• 最小値または最大値が組み込まれたアカウント
• 数値の桁数に及ばない分布。

数学的には、ベンフォードの法則は、テストされている分布が「ベンフォードの法則準拠定理」に適合する場合に適用されます。^[17]導出によると、確率密度関数の対数のフーリエ変換がすべての整数値に対してゼロである場合、ベンフォードの法則が従います。最も注目すべきは、フーリエ変換がn  ≥ 1 に対してゼロ (または無視できる) である場合にこれが満たされることです。分布が広い場合 (分布が広いということは狭いフーリエ変換を意味するため)、これが満たされます。スミスは次のように要約しています (p. 716):

ベンフォードの法則は、対数スケールに沿った単位距離に比べて広い分布に適用されます。同様に、単位距離に比べて狭い分布には適用されません。対数軸上の単位距離に比べて分布が広い場合、調査対象の数値セットの広がりが 10 よりはるかに大きいことを意味します。

つまり、ベンフォードの法則では、測定対象の分布内の数値が少なくとも 1 桁の範囲に広がっていることが求められます。

ベンフォードの法則は、一様分布、指数分布、正規分布など、いくつかの重要な分布によって生成される数値（10桁目まで）に対して経験的にテストされました。 ^[9]

均一分布は、予想どおり、ベンフォードの法則に従いません。対照的に、2 つの均一分布の比率分布は、ベンフォードの法則によってよく説明されます。

正規分布も、2 つの正規分布の比率分布 (コーシー分布) もベンフォードの法則に従いません。半正規分布はベンフォードの法則に従いませんが、2 つの半正規分布の比率分布は従います。右切断正規分布も、2 つの右切断正規分布の比率分布も、ベンフォードの法則ではうまく説明できません。この分布は大きな数値に重み付けされているため、これは驚くことではありません。

ベンフォードの法則は、指数分布と 2 つの指数分布の比分布もうまく説明します。カイ 2 乗分布の適合度は自由度(df) に依存し、df = 1 の場合によく一致し、df が増加するにつれて一致度が低下します。F分布は、自由度が低い場合によく適合します。df が増加すると適合度は低下しますが、カイ 2 乗分布よりもはるかに緩やかです。対数正規分布の適合度は、分布の平均と分散に依存します。分散は、平均よりも適合度に大きな影響を与えます。両方のパラメーターの値が大きいほど、法則との一致度が高くなります。2 つの対数正規分布の比は対数正規分布であるため、この分布は調査されませんでした。

これまでに検討された他の分布には、ムス分布、ゴンペルツ分布、ワイブル分布、ガンマ分布、対数ロジスティック分布、指数分布などがあり、いずれもこの法則と妥当な一致を示しています。^{[56] [70]}ガンベル分布（確率変数の値が増加すると密度が増加する）は、この法則と一致しません。^[70]

この法則は、最初の桁以降の桁にも適用できる。^[71]特に、任意の桁数に対して、その長さの桁列nで始まる数字に遭遇する確率（先頭のゼロは無視）は、次のように表される。

${\displaystyle \log _{10}(n+1)-\log _{10}(n)=\log _{10}\left(1+{\frac {1}{n}}\right).}$

したがって、数字が 3、1、4 で始まる確率 (例として 3.14、3.142、π、314280.7、0.00314005 など)は、右側の両対数グラフのボックスに示すように、   log ₁₀ (1 + 1/314) ≈ 0.00138となります。

この結果は、特定の数字が数字内の特定の位置に出現する確率を見つけるために使用できます。たとえば、「2」が2番目の数字として出現する確率は^{[71]です。}

${\displaystyle \log _{10}\left(1+{\frac {1}{12}}\right)+\log _{10}\left(1+{\frac {1}{22}}\right)+\cdots +\log _{10}\left(1+{\frac {1}{92}}\right)\approx 0.109.}$

そして、 d ( d = 0, 1, ..., 9)がn番目( n  > 1)の数字  として現れる確率は、

${\displaystyle \sum _{k=10^{n-2}}^{10^{n-1}-1}\log _{10}\left(1+{\frac {1}{10k+d}}\right).}$

n番目の数字の分布は、 nが増加するにつれて、以下に示すように、10桁の数字それぞれが10%の均一分布に急速に近づきます。^[71] 4桁目では「0」が10.0176%の確率で出現し、「9」が9.9824%の確率で出現するため、4桁であれば10%の均一分布を想定するのに十分な場合がよくあります。

この法則に従って1から9までの数字のランダム変数の平均とモーメントが計算されている： ^[72]

• 平均3.440
• 分散6.057
• 歪度0.796
• 尖度−0.548

ベンフォードの法則による2桁分布では、以下の値も知られている: ^[73]

• 平均38.590
• 差異621.832
• 歪度0.772
• 尖度−0.547

ベンフォードの法則に従って最初の2桁の数字が同時に出現する正確な確率の表が公開されており、^[73] 1桁目と2桁目の数字の人口相関も公開されています: ^[73] ρ = 0.0561。

ベンフォードの法則は、21 世紀の人気エンターテイメント作品の一部でプロット装置として登場しています。

• テレビの犯罪ドラマ「NUMB3RS」は2006年のエピソード「ランニングマン」で一連の強盗事件の解決にベンフォードの法則を利用した。^[30]
• 2016年の映画「ザ・アカウンタント」では、ベンフォードの法則を利用してロボット企業からの資金盗難事件を暴露した。
• 2017年のNetflixシリーズ『オザークへようこそ』では、ベンフォードの法則を利用してカルテルメンバーの財務諸表を分析し、不正行為を暴きました。
• 2021年のジェレミー・ロビンソンの小説『インフィニット2』では、ベンフォードの法則を適用して、登場人物がシミュレーションの中にいるのか、現実の中にいるのかをテストしました。
• マイク・メイデンの小説「トム・クランシー　ポイント・オブ・コンタクト」の中で、ポール・ブラウン（ヘンドリー・アソシエイツの法廷会計士）は、会計帳簿の不正を暴く方法について議論しているときに、ジャック・ライアン・ジュニアにベンフォードの法則を説明します。

• ジップの法則

• Benford Online Bibliography は、Benford の法則に関するオンライン書誌データベースです。
• ベンフォードの法則のテスト 公開されているデータセットに対してベンフォードの法則が実際にどのように機能するかを示すオープン ソース プロジェクト。
• ベンフォード、フランク (1938)。「異常数の法則」。アメリカ哲学協会紀要。78 (4): 551–572。書誌コード: 1938PAPhS..78..551B。ISSN 0003-049X。JSTOR  984802  。- ベンフォードのオリジナル出版物