ゴンペルツ分布

ゴンペルツ分布

確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	形、規模${\displaystyle \eta >0\,\!}$${\displaystyle b>0\,\!}$
サポート	${\displaystyle x\in [0,\infty )\!}$
PDF	${\displaystyle b\eta \exp \left(\eta +bx-\eta e^{bx}\right)}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle 1-\exp \left(-\eta \left(e^{bx}-1\right)\right)}$
クォンタイル	${\displaystyle {\frac {1}{b}}\ln \left(1-{\frac {1}{\eta }}\ln(1-u)\right)}$
平均	${\displaystyle (1/b)e^{\eta }{\text{Ei}}\left(-\eta \right)}$ ${\displaystyle {\text{where Ei}}\left(z\right)=\int \limits _{-z}^{\infty }\left(e^{-v}/v\right)dv}$
中央値	${\displaystyle \left(1/b\right)\ln \left[\left(1/\eta \right)\ln \left(1/2\right)+1\right]}$
モード	${\displaystyle =\left(1/b\right)\ln \left(1/\eta \right)\ }$ ${\displaystyle {\text{with }}0<{\text{F}}\left(x^{*}\right)<1-e^{-1}=0.632121,0<\eta <1}$ ${\displaystyle =0,\quad \eta \geq 1}$
分散	${\displaystyle \left(1/b\right)^{2}e^{\eta }\{-2\eta {\ }_{3}{\text{F}}_{3}\left(1,1,1;2,2,2;\eta \right)+\gamma ^{2}}$${\displaystyle +\left(\pi ^{2}/6\right)+2\gamma \ln \left(\eta \right)+[\ln \left(\eta \right)]^{2}-e^{\eta }[{\text{Ei}}\left(-\eta \right)]^{2}\}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ where }}&\gamma {\text{ is the Euler constant: }}\,\!\\&\gamma =-\psi \left(1\right)={\text{0.577215... }}\end{aligned}}}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ and }}{}_{3}{\text{F}}_{3}&\left(1,1,1;2,2,2;-z\right)=\\&\sum _{k=0}^{\infty }\left[1/\left(k+1\right)^{3}\right]\left(-1\right)^{k}\left(z^{k}/k!\right)\end{aligned}}}$
MGF の	${\displaystyle {\text{E}}\left(e^{-tx}\right)=\eta e^{\eta }{\text{E}}_{t/b}\left(\eta \right)}$ ${\displaystyle {\text{with E}}_{t/b}\left(\eta \right)=\int _{1}^{\infty }e^{-\eta v}v^{-t/b}dv,\ t>0}$

確率と統計学において、ゴンペルツ分布は連続確率分布であり、ベンジャミン・ゴンペルツにちなんで名付けられました。ゴンペルツ分布は、人口統計学者^{[1] [2]}や保険数理士[ ^3]によって成人の寿命の分布を説明するためによく適用されます。^{[4]生物学[5]}や老年学^[6]などの関連分野でも、生存率の分析にゴンペルツ分布が考慮されました。最近では、コンピュータ科学者もコンピュータコードの故障率をゴンペルツ分布でモデル化し始めました。^{[7]マーケティング科学では、}顧客生涯価値モデリングの個人レベルのシミュレーションとして使用されています。^[8]ネットワーク理論、特にエルデシュ・レーニモデルでは、ランダム自己回避歩行(SAW) の歩行距離はゴンペルツ分布に従って分布します。^[9]

ゴンペルツ分布の 確率密度関数は次のとおりです。

${\displaystyle f\left(x;\eta ,b\right)=b\eta \exp \left(\eta +bx-\eta e^{bx}\right){\text{for }}x\geq 0,\,}$

ここで、はスケールパラメータ、はゴンペルツ分布の形状パラメータです。保険数理学、生物学、人口統計学では、ゴンペルツ分布は若干異なる方法でパラメータ化されます（ゴンペルツ・メイクハムの死亡率の法則）。 ${\displaystyle b>0\,\!}$${\displaystyle \eta >0\,\!}$

ゴンペルツ分布の 累積分布関数は次のとおりです。

${\displaystyle F\left(x;\eta ,b\right)=1-\exp \left(-\eta \left(e^{bx}-1\right)\right),}$

どこでそして${\displaystyle \eta ,b>0,}$${\displaystyle x\geq 0\,.}$

モーメント生成関数は次のとおりです。

${\displaystyle {\text{E}}\left(e^{-tX}\right)=\eta e^{\eta }{\text{E}}_{t/b}\left(\eta \right)}$

どこ

${\displaystyle {\text{E}}_{t/b}\left(\eta \right)=\int _{1}^{\infty }e^{-\eta v}v^{-t/b}dv,\ t>0.}$

ゴンペルツ分布は、右にも左にも歪むことができる柔軟な分布です。そのハザード関数 は の凸関数です。モデルは、 をイノベーション の係数、 を模倣の係数として、イノベーション-模倣パラダイムに適合させることができます。 が大きくなると、は に近づきます。モデルは、を採用性向、 を新製品の全体的な魅力として 、採用性向パラダイムにも属します 。${\displaystyle h(x)=\eta be^{bx}}$${\displaystyle F\left(x;\eta ,b\right)}$${\displaystyle p=\eta b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle t}$${\displaystyle z(t)}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle b}$

ゴンペルツ密度関数は、形状パラメータの値に応じて異なる形状をとることができます。 ${\displaystyle \eta \,\!}$

• 確率密度関数のモードが 0 の場合。${\displaystyle \eta \geq 1,\,}$
• 確率密度関数のモードが${\displaystyle 0<\eta <1,\,}$

${\displaystyle x^{*}=\left(1/b\right)\ln \left(1/\eta \right){\text{with }}0<F\left(x^{*}\right)<1-e^{-1}=0.632121}$

とが2つのゴンペルツ分布の確率密度関数である場合、それらのカルバック・ライブラー距離は次のように与えられる。 ${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{KL}(f_{1}\parallel f_{2})&=\int _{0}^{\infty }f_{1}(x;b_{1},\eta _{1})\,\ln {\frac {f_{1}(x;b_{1},\eta _{1})}{f_{2}(x;b_{2},\eta _{2})}}dx\\&=\ln {\frac {e^{\eta _{1}}\,b_{1}\,\eta _{1}}{e^{\eta _{2}}\,b_{2}\,\eta _{2}}}+e^{\eta _{1}}\left[\left({\frac {b_{2}}{b_{1}}}-1\right)\,\operatorname {Ei} (-\eta _{1})+{\frac {\eta _{2}}{\eta _{1}^{\frac {b_{2}}{b_{1}}}}}\,\Gamma \left({\frac {b_{2}}{b_{1}}}+1,\eta _{1}\right)\right]-(\eta _{1}+1)\end{aligned}}}$

ここで は指数積分を表し、 は上不完全ガンマ関数である。^[10]${\displaystyle \operatorname {Ei} (\cdot )}$${\displaystyle \Gamma (\cdot ,\cdot )}$

• Xが、負の値Yが生成されるまでガンベル分布からサンプリングされた結果として定義され、X =− Yと設定されている場合、X はゴンペルツ分布に従います。
• ガンマ分布は、既知のスケールパラメータを持つゴンペルツ尤度に自然共役な分布である^[8]${\displaystyle b\,\!.}$
• が形状パラメータと尺度パラメータ（平均 = ）を持つガンマ分布に従って変化するとき、分布はガンマ/ゴンペルツ分布となる。^[8]${\displaystyle \eta \,\!}$${\displaystyle \alpha \,\!}$${\displaystyle \beta \,\!}$${\displaystyle \alpha /\beta \,\!}$${\displaystyle x}$

• もしならば であり、したがって である。^[12]${\displaystyle Y\sim \mathrm {Gompertz} }$${\displaystyle X=\exp(Y)\sim \mathrm {Weibull} ^{-1}}$${\displaystyle \exp(-Y)\sim \mathrm {Weibull} }$

• 水文学では、ゴンペルツ分布は年間最大日降雨量や河川流量などの極端な事象に適用されます。青い図は、ランク付けされた年間最大日降雨量にゴンペルツ分布を当てはめた例を示しており、二項分布に基づく90%信頼区間も表示しています。降雨量データは、累積頻度分析の一部として位置をプロットすることによって表されます。

• ゴンペルツ・マケハムの死亡率の法則
• ゴンペルツ関数
• 顧客生涯価値
• ガンマゴンペルツ分布

• ベンマー、アルバート C.グラディ、ニコラス (2011)。 「MATLAB でのガンマ/ゴンペルツ/NBD モデルの実装」(PDF)。セルジー・ポントワーズ: ESSEC ビジネススクール。^{[永久リンク切れ‍ ]}
• ゴンペルツ、B. (1825)。「人間の死亡率の法則を表現する機能の性質と、生命の偶発性の価値を決定する新しい方法について」。ロンドン王立 協会哲学論文集。115 :513–583。doi : 10.1098/ rstl.1825.0026。JSTOR 107756。S2CID 145157003  。
• ジョンソン、ノーマン L.、コッツ、サミュエル、バラクリシュナン、N. (1995)。連続一変量分布。第 2 巻 (第 2 版)。ニューヨーク: John Wiley & Sons。pp. 25–26。ISBN 0-471-58494-0。
• Sheikh, AK; Boah, JK; Younas, M. (1989). 「パイプライン信頼性のための切り捨て極値モデル」.信頼性工学とシステム安全性. 25 (1): 1–14. doi :10.1016/0951-8320(89)90020-3.