自己同型性

数学において、自己同型とは、数学的対象からそれ自身への同型性です。ある意味では、それは対象の対称性であり、その構造をすべて保存しながら対象をそれ自身に写像する方法です。ある対象のすべての自己同型の集合は、自己同型群と呼ばれる群を形成します。大まかに言えば、それは対象の 対称群です。

群、環、ベクトル空間などの代数構造では、自己同型とは、単にオブジェクトのそれ自体への全単射準同型です。(準同型の定義は代数構造の種類によって異なります。たとえば、群準同型、環準同型、線型演算子を参照してください。)

より一般的には、あるカテゴリのオブジェクトに対して、自己同型とは、そのオブジェクト自体への射で逆射を持つもののことです。つまり、となる射が存在する場合、射は自己同型です。ここで、はX の恒等射です。代数構造の場合、2 つの定義は同等です。この場合、恒等射は単に恒等関数であり、しばしば自明な自己同型と呼ばれます。 ${\displaystyle f:X\to X}$${\displaystyle g:X\to X}$${\displaystyle g\circ f=f\circ g=\operatorname {id} _{X},}$${\displaystyle \operatorname {id} _{X}}$

オブジェクトXの自己同型は、射の合成によって群を形成し、これをXの自己同型群と呼びます。これは、カテゴリの定義から直接得られます。

カテゴリC内のオブジェクトXの自己同型群は、 Aut _C ( X )と表記されることが多い。、または文脈からカテゴリが明らかな場合は 単にAut( X )。

• 集合論において、集合Xの要素の任意の順列は自己同型である。Xの自己同型群はX上の対称群とも呼ばれる。
• 初等算術では、加法による群として考えた場合、整数の集合Z は、唯一の非自明な自己同型、すなわち否定を持ちます。しかし、環として考えた場合、自明な自己同型しか持ちません。一般的に言えば、否定は任意のアーベル群の自己同型ですが、環や体の自己同型ではありません。
• 群の自己同型とは、群からそれ自身への群同型である。非公式には、構造が変化しないような群の要素の順列である。すべての群Gに対して、自然な群準同型G → Aut( G ) が存在し、その像は内部自己同型の群 Inn( G )であり、その核はGの中心である。したがって、G が自明な中心を持つ場合、自身の自己同型群に埋め込むことができる。^[1]
• 線型代数において、ベクトル空間 Vの自己準同型は線型作用素 V → Vである。自己同型はV上の可逆な線型作用素である。ベクトル空間が有限次元の場合、Vの自己同型群は一般線型群GL( V )と同じである。( Vのすべての自己準同型の代数構造は、それ自体がVと同じ基底体上の代数であり、その可逆な要素は正確に GL( V )で構成される。)
• 体自己同型は、体からそれ自身への全単射 環準同型です。
  • 有理数体には恒等式以外の自己同型性はありません。自己同型は加法恒等式0と乗法恒等式1を固定する必要があります。有限数1の和は固定する必要がありますが、これらの和の加法逆数も固定する必要があります (つまり、自己同型はすべての整数を固定します)。最後に、すべての有理数は 2 つの整数の商であるため、すべての有理数は任意の自己同型によって固定される必要があります。${\displaystyle \mathbb {Q} }$
  • 実数体には恒等写像以外の自己同型はありません。実際、有理数は上記のようにすべての自己同型によって固定される必要があります。 はと同値であるため、自己同型は不等式を保存する必要があります。後者の特性はすべての自己同型によって保存されます。最後に、すべての実数は有理数の列の最小の上限であるため、固定される必要があります。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle x<y}$${\displaystyle \exists z\mid y-x=z^{2},}$
  • 複素数体には、実数を固定する唯一の非自明な自己同型が存在する。それは複素共役であり、に写像される。選択公理は、実数を固定しない無数の自己同型が存在することを意味する。 ^{[2] [3]}${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle i}$${\displaystyle -i.}$
  • 代数体拡大の自己同型性の研究はガロア理論の出発点であり、主な目的である。
• 四元数（H）の環としての自己同型群は、スコーレム・ノイマン定理によれば、内部自己同型、すなわちa↦bab ⁻¹の形の写像である。^[4]この群は、3次元空間における回転群SO(3)と同型である。
• 八元数( O )の自己同型群は例外 リー群 G ₂である。
• グラフ理論では、グラフの自己同型とは、エッジと非エッジを保存するノードの順列です。特に、2 つのノードがエッジで結合されている場合、順列の下でのそれらのイメージもエッジで結合されます。
• 幾何学では、自己同型は空間の 運動と呼ばれることがあります。専門用語も使用されます。
  • 計量幾何学において、自己同型は自己等長写像である。自己同型群は等長写像群とも呼ばれる。
  • リーマン面のカテゴリでは、自己同型は面からそれ自身への双正則写像（共形写像とも呼ばれる）である。例えば、リーマン球面の自己同型はメビウス変換である。
  • 微分可能多様体 Mの自己同型は、 Mからそれ自身への微分同型である。自己同型群は Diff( M ) と表記されることもある。
  • 位相幾何学では、位相空間間の射は連続写像と呼ばれ、位相空間の自己同型はその空間自体への同相写像、つまり自己同相写像です (同相群を参照)。この例では、同型写像であるためには、射が全単射であるだけでは不十分です。

最も初期の群の自己同型（群の自己同型であり、点の自己同型の群ではない）の一つは、1856年にアイルランドの数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンが彼のイコシアン計算で与えたものであり、そこで彼は2次の自己同型を発見し、^[5]次のように書いている。

つまり、これは新しい 5 乗根であり、以前の 5 乗根と完全な相互関係によって結び付けられています。${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$

いくつかのカテゴリ、特に群、環、リー代数では、自己同型を「内部」自己同型と「外部」自己同型という 2 つのタイプに分けることができます。

群の場合、内部自己同型は群自体の元による共役である。群Gの各元aについて、aによる共役はφ _a  : G → Gという演算であり、 φ _a ( g ) = aga ⁻¹ (またはa ⁻¹ ga 。用法は様々)で与えられる。 aによる共役が群の自己同型であることは簡単に確認できる。内部自己同型はAut( G ) の正規部分群を形成し、 Inn( G )で表される。これはGoursat の補題と呼ばれる。

その他の自己同型は外部自己同型と呼ばれます。商群 Aut( G ) / Inn( G ) は通常 Out( G )と表記されます。非自明な元は外部自己同型を含む 剰余類です。

同じ定義は、任意の単位 環または代数（ aは任意の可逆な要素）で成り立ちます。リー代数の場合、定義は若干異なります。

• 反自己同型
• 自己同型性（数独パズル）
• 特性サブグループ
• 準同型環
• フロベニウス自己同型
• モルフィズム
• 順序自己同型性（順序理論において）。
• 関係保存自己同型
• 分数フーリエ変換

• 数学百科事典における自己同型性
• ワイスタイン、エリック・W.「自己同型性」。マスワールド。