アティヤ・シンガー指数定理

グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理は、指数定理の主な動機の一つでした。なぜなら、指数定理は実多様体の設定におけるこの定理の対応物だからです。さて、写像が存在する場合${\displaystyle f:X\to Y}$コンパクトで安定なほぼ複素多様体の場合、可換図式が存在する^{[ 28 ]}

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}&&&\\&K(X)&{\xrightarrow[{}]{{\text{Td}}(X)\cdot {\text{ch}}}}&H(X;\mathbb {Q} )&\\&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&{\Bigg \downarrow }f_{*}\\&K(Y)&{\xrightarrow[{{\text{Td}}(Y)\cdot {\text{ch}}}]{}}&H(Y;\mathbb {Q} )&\\&&&\\\end{array}}}$

もし${\displaystyle Y=*}$がポイントであれば、上記のステートメントを復元できます。${\displaystyle K(X)}$は複素ベクトル束のグロタンディーク群です。この可換図式は、右側のコホモロジー群が滑らかな多様体のチャウ環に置き換えられ、左側のグロタンディーク群が代数ベクトル束のグロタンディーク群で与えられるため、形式的にはGRR定理と非常によく似ています。

(テレマン 1983 )、(テレマン 1984 )による :

閉じた向き付けられた位相多様体上の任意の抽象楕円型作用素（Atiyah 1970 ）については、解析指数は位相指数に等しい。

この結果の証明は、組合せ多様体およびリプシッツ多様体へのホッジ理論の拡張（Teleman 1980 ）、（Teleman 1983 ）、アティヤー・シンガーの署名演算子のリプシッツ多様体への拡張（Teleman 1983 ）、カスパロフのKホモロジー（Kasparov 1972 ） 、位相的コボルディズム（Kirby & Siebenmann 1977 ）など、具体的な考察を経て行われる。

この結果は、指数定理が単なる微分可能性の記述ではなく、位相的な記述であることを示している。

(ドナルドソン&サリバン 1989 )、(コンネス、サリバン&テレマン 1994 )による:

任意の準等角多様体に対して、ヒルツェブルフ・トム特性類の局所的な構成が存在する。

この理論は、偶数次元準共形多様体上の次数微分形式で定義されるシグネチャ演算子Sに基づいています（Donaldson & Sullivan 1989を参照）。

位相的コボルディズムとKホモロジーを用いることで、準等角多様体上の指数定理の完全な記述を与えることができる（Connes, Sullivan & Teleman 1994 の678ページを参照）。この研究（ Connes , Sullivan & Teleman 1994 ）は、「2次元における可測リーマン写像の高次元版と4次元におけるヤン・ミルズ理論に基づいた特性クラスの局所的な構成を提供する」ものである。

これらの結果は、シンガーのプログラム「数学の展望」（Singer 1971 ）に沿った重要な進歩を構成するものである。同時に、位相多様体上の有理ポントリャーギン類の効果的な構成も提供する。論文（Teleman 1985 ）は、トムによる有理ポントリャーギン類の元の構成（Thom 1956 ）と指数理論との間のつながりを示している。

インデックス式が位相的な命題であることを述べておくことが重要です。ミルナー、ケルヴェール、カービー、ジーベンマン、サリバン、ドナルドソンによる障害理論は、位相多様体のごく一部だけが微分可能な構造を持ち、それらは必ずしも一意ではないことを示しています。サリバンによるリプシッツ構造と準等角構造に関する結果（サリバン 1979 ）は、4次元以外の位相多様体は、（同一性に近い同位性を除いて）一意な構造を持つことを示しています。

準共形構造（Connes、Sullivan 、 Teleman 1994 ）およびより一般的にはM. Hilsum （Hilsum 1999 ）によって導入されたL ^p構造（ p > n（n +1）/2）は、指数定理が成り立つことが知られているn次元位相多様体上の最も弱い解析的構造である。

• アティヤ・シンガーの定理は、楕円型微分作用素の場合とほぼ同じように、楕円型擬微分作用素にも適用できます。実際、技術的な理由から、初期の証明のほとんどは微分作用素ではなく擬微分作用素を用いて行われました。擬微分作用素の柔軟性の高さが、証明のいくつかのステップを容易にしたためです。
• 2つのベクトル束間の楕円演算子を扱う代わりに、楕円複体を扱う方が便利な場合がある。$${\displaystyle 0\rightarrow E_{0}\rightarrow E_{1}\rightarrow E_{2}\rightarrow \dotsm \rightarrow E_{m}\rightarrow 0}$$ベクトル束の。違いは、記号が（ゼロセクション以外で）正確なシーケンスを形成することです。複体内に非ゼロ束が 2 つしかない場合、これは記号がゼロセクション以外で同型であることを意味するため、2 つの項を持つ楕円複体は、本質的に 2 つのベクトル束間の楕円演算子と同じです。逆に、楕円複体の指数定理は、楕円演算子の場合に簡単に還元できます。2 つのベクトル束は、複体の偶数項または奇数項の和によって与えられ、楕円演算子は、偶数束の和に制限された楕円複体の演算子とその随伴の和です。
• 多様体に境界が許される場合、有限の指数を保証するために楕円型作用素の定義域に何らかの制約を設ける必要があります。これらの条件は、局所的（例えば、定義域内の断面が境界でゼロになることを要求するなど）またはより複雑な大域的条件（例えば、定義域内の断面が何らかの微分方程式を満たすことを要求するなど）のいずれかです。局所的なケースは Atiyah と Bott によって研究されましたが、彼らは多くの興味深い作用素（例えば、符号作用素）が局所的な境界条件を許容しないことを示しました。これらの作用素を扱うために、Atiyah、Patodi、およびSinger は、境界に沿って多様体に円筒を取り付け、定義域を円筒に沿って二乗可積分な断面に制限することと同等の大域的境界条件を導入しました。この観点は、Melrose (1993)によるAtiyah–Patodi–Singer 指数定理の証明で採用されています。
• 単一の楕円型作用素ではなく、空間Yによってパラメータ化された楕円型作用素の族を考えることができる。この場合、インデックスは整数ではなく、 Yの K 理論の要素となる。族内の作用素が実数であれば、インデックスはYの実数 K 理論に属する。Y の実数 K 理論から複素数 K 理論への写像は必ずしも単射ではないため、これは少し余分な情報となる。
• コンパクト多様体X上に群Gの群作用があり、それが楕円型作用素と可換である場合、通常の K 理論を同変 K 理論に置き換える。さらに、群Gの不動点部分多様体から得られる項を含む、レフシェッツの不動点定理の一般化が得られる。同変指数定理も参照のこと。
• Atiyah (1976) は、コンパクトな商を持つ離散群によって作用されるいくつかの非コンパクト多様体に指数定理を拡張する方法を示した。この場合、楕円型作用素の核は一般に無限次元であるが、フォン・ノイマン環上の加群の次元を使用して有限指数を得ることが可能である。この指数は一般に整数値ではなく実数値である。このバージョンはL ²指数定理と呼ばれ、AtiyahとSchmid (1977)によって半単純リー群の離散級数表現の性質を再導出するために使用された。
• カリアス指数定理は、非コンパクトな奇数次元空間上のディラック演算子の指数定理です。アティヤー・シンガー指数はコンパクト空間でのみ定義され、次元が奇数の場合はゼロになります。1978年、コンスタンティン・カリアスは、博士課程指導教官のロマン・ジャキウの提案により、軸異常を用いて、ヒッグス場と呼ばれるエルミート行列を備えた空間上のこの指数定理を導出しました。^{[ 29 ]}ディラック演算子の指数は、無限遠の球面上でのヒッグス場の巻き数を測定する位相不変量です。U がヒッグス場の方向の単位行列である場合、指数は無限遠の ( n −1) 球面上でのU ( dU ) ^{n −1}の積分に比例します。n が偶数の場合、常にゼロになります。
  • この不変量の位相的解釈と、ボリス・フェドソフが提案し、ラース・ホルマンダーが一般化したホルマンダー指数との関係は、ラウル・ボットとロバート・トーマス・シーリーによって発表された。^{[ 30 ]}

仮に${\displaystyle M}$は次元のコンパクトな向き付けられた多様体である。${\displaystyle n=2r}$.${\displaystyle \Lambda ^{\text{even}}}$余接束の偶数外積の合計であり、${\displaystyle \Lambda ^{\text{odd}}}$奇数乗の合計となるように定義する${\displaystyle D=d+d^{*}}$から地図として考えられている${\displaystyle \Lambda ^{\text{even}}}$に${\displaystyle \Lambda ^{\text{odd}}}$分析指標は${\displaystyle D}$オイラー標数とは${\displaystyle \chi (M)}$ホッジコホモロジーの${\displaystyle M}$、位相指数は多様体上のオイラー類の積分である。この演算子の指数公式は、チャーン・ガウス・ボンネの定理を与える。

具体的な計算は次のようになります。分割原理の1つのバリエーションによれば、${\displaystyle E}$次元の実ベクトル束です${\displaystyle n=2r}$特性クラスに関する主張を証明するために、複素線束が存在すると仮定することができる。${\displaystyle l_{1},\,\ldots ,\,l_{r}}$そのため${\displaystyle E\otimes \mathbb {C} =l_{1}\oplus {\overline {l_{1}}}\oplus \dotsm l_{r}\oplus {\overline {l_{r}}}}$したがって、チャーン根を考慮することができます。${\displaystyle x_{i}(E\otimes \mathbb {C} )=c_{1}(l_{i})}$、${\displaystyle x_{r+i}(E\otimes \mathbb {C} )=c_{1}{\mathord {\left({\overline {l_{i}}}\right)}}=-x_{i}(E\otimes \mathbb {C} )}$、${\displaystyle i=1,\,\ldots ,\,r}$。

上記のようにチャーン根とオイラー類の標準的な性質を用いると、次のようになる。${\textstyle e(TM)=\prod _{i}^{r}x_{i}(TM\otimes \mathbb {C} )}$チェルン特性とトッドクラスについては、^{[ 31 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ch} {\mathord {\left(\Lambda ^{\text{even}}-\Lambda ^{\text{odd}}\right)}}&=1-\operatorname {ch} (T^{*}M\otimes \mathbb {C} )+\operatorname {ch} {\mathord {\left(\Lambda ^{2}T^{*}M\otimes \mathbb {C} \right)}}-\ldots +(-1)^{n}\operatorname {ch} {\mathord {\left(\Lambda ^{n}T^{*}M\otimes \mathbb {C} \right)}}\\&=1-\sum _{i}^{n}e^{-x_{i}}(TM\otimes \mathbb {C} )+\sum _{i<j}e^{-x_{i}}e^{-x_{j}}(TM\otimes \mathbb {C} )+\ldots +(-1)^{n}e^{-x_{1}}\dotsm e^{-x_{n}}(TM\otimes \mathbb {C} )\\&=\prod _{i}^{n}\left(1-e^{-x_{i}}\right)(TM\otimes \mathbb {C} )\\[3pt]\operatorname {Td} (TM\otimes \mathbb {C} )&=\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}(TM\otimes \mathbb {C} )\end{aligned}}}$

指数定理を適用すると、

${\displaystyle \chi (M)=(-1)^{r}\int _{M}{\frac {\prod _{i}^{n}\left(1-e^{-x_{i}}\right)}{\prod _{i}^{r}x_{i}}}\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}(TM\otimes \mathbb {C} )=(-1)^{r}\int _{M}(-1)^{r}\prod _{i}^{r}x_{i}(TM\otimes \mathbb {C} )=\int _{M}e(TM)}$

これは、チャーン・ガウス・ボンネの定理の「位相的」バージョンである（幾何学的バージョンは、チャーン・ワイル準同型を適用することによって得られる）。

X を、正則ベクトル束Vを持つ(複素) 次元nの複素多様体とする。ベクトル束EとFを、 Vの係数が (0, i )型 ( iは偶数または奇数) である微分形式の束の和とし、微分作用素D をその和とする。

${\displaystyle {\overline {\partial }}+{\overline {\partial }}^{*}}$

Eに限定されています。

ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理のこの導出は、楕円作用素ではなく楕円複体の指数定理を用いるとより自然になる。複体を次のように考えることができる。

${\displaystyle 0\rightarrow V\rightarrow V\otimes \Lambda ^{0,1}T^{*}(X)\rightarrow V\otimes \Lambda ^{0,2}T^{*}(X)\rightarrow \dotsm }$

微分は次のように与えられる${\displaystyle {\overline {\partial }}}$すると、i番目のコホモロジー群はコヒーレントコホモロジー群 H ⁱ ( X , V ) となり、この複体の解析的指標はVの正則オイラー標数となる。

${\displaystyle \operatorname {index} (D)=\sum _{p}(-1)^{p}\dim H^{p}(X,V)=\chi (X,V)}$

複素束を扱っているため、位相指数の計算はより簡単です。チャーン根を使用し、前の例と同様の計算を行うと、オイラー類は次のように与えられます。${\textstyle e(TX)=\prod _{i}^{n}x_{i}(TX)}$そして

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ch} \left(\sum _{j}^{n}(-1)^{j}V\otimes \Lambda ^{j}{\overline {T^{*}X}}\right)&=\operatorname {ch} (V)\prod _{j}^{n}\left(1-e^{x_{j}}\right)(TX)\\\operatorname {Td} (TX\otimes \mathbb {C} )=\operatorname {Td} (TX)\operatorname {Td} \left({\overline {TX}}\right)&=\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}\prod _{j}^{n}{\frac {-x_{j}}{1-e^{x_{j}}}}(TX)\end{aligned}}}$

指数定理を適用すると、ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理が得られる。

${\displaystyle \chi (X,V)=\int _{X}\operatorname {ch} (V)\operatorname {Td} (TX)}$

実際、我々はそれをすべての複素多様体に一般化することができる。ヒルツェブルフの証明は射影複素多様体Xに対してのみ有効であった。

ヒルツェブルフの符号定理は、次元 4k のコンパクトな向き付けられた多様体Xの符号が、その多様体のL 種数によって与えられることを述べている。これは、次の符号演算子にアティヤー・シンガー指数定理を適用することによって導かれる。

バンドルEとF は、 Xの微分形式のバンドル上の演算子の +1 および −1 固有空間によって与えられ、k形式に作用します。${\displaystyle i^{k(k-1)}}$ホッジスター演算子を倍した値。演算子Dはホッジラプラシアンである。

${\displaystyle D\equiv \Delta \mathrel {:=} \left(\mathbf {d} +\mathbf {d^{*}} \right)^{2}}$

Eに制限される。ここでdはカルタン外微分であり、d * はその随伴微分である。

Dの解析的指数は多様体Xの符号であり、その位相的指数はXの L 種数であるため、これらは等しい。

Â種数は任意の多様体に対して定義される有理数ですが、一般には整数ではありません。ボレルとヒルツェブルフは、スピン多様体に対してはÂ 種数が整数であり、さらに次元が 4 mod 8 の場合は偶数であることを示しました。これは、スピン多様体のÂ 種数がディラック演算子の指数であることを意味する指数定理から導き出すことができます。次元が 4 mod 8 の場合に係数 2 が加わるのは、この場合、ディラック演算子の核と余核が四元数構造を持ち、複素ベクトル空間として偶数次元を持つため、指数が偶数になるという事実によるものです。

4次元の場合、この結果は、 4次元スピン多様体の符号が16で割り切れるというロクリンの定理を意味します。これは、4次元ではÂ種数が符号の8分の1を引いた値になるからです。

擬微分演算子は、ユークリッド空間における定数係数演算子の場合に容易に説明できます。この場合、定数係数微分演算子は多項式による乗算のフーリエ変換に等しく、定数係数擬微分演算子はより一般的な関数による乗算のフーリエ変換に等しくなります。

指数定理の証明の多くは、微分演算子ではなく擬微分演算子を使用します。その理由は、多くの目的において微分演算子だけでは不十分だからです。例えば、正の位数の楕円型微分演算子の擬逆演算子は微分演算子ではなく、擬微分演算子です。また、K(B( X ), S ( X ))（クラッチング関数）の要素を表すデータと楕円型擬微分演算子のシンボルの間には直接的な対応関係があります。

擬微分作用素は、任意の実数または−∞の位数を持ち、記号（もはや余接空間上の多項式ではない）を持ちます。楕円型微分作用素とは、十分大きな余接ベクトルに対して記号が可逆である作用素のことです。指数定理のほとんどのバージョンは、楕円型微分作用素から楕円型擬微分作用素に拡張できます。

最初の証明はヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理（1954年）に基づいており、コボルディズム理論と擬微分作用素が関係していた。

この最初の証明の考え方は、おおよそ次のとおりです。コンパクトで滑らかな向き付けられた多様体X上の滑らかなベクトル束Vのペア ( X , V )によって生成される環を考えます。この環の和と積は、多様体の非交和と積 (ベクトル束に対する明らかな演算を含む) によって与えられ、ベクトル束を持つ多様体の境界は 0 になります。これは、向き付けられた多様体のコボルディズム環に似ていますが、多様体もベクトル束を持つ点が異なります。位相的および解析的指標は、どちらもこの環から整数への関数として再解釈されます。次に、これら 2 つの関数が実際に両方とも環準同型であることを確認します。これらが同じであることを証明するには、この環の生成元の集合上でこれらが同じであることを確認するだけで十分です。トムのコボルディズム理論は、生成元の集合を与えます。たとえば、自明な束を持つ複素ベクトル空間と、偶数次元球面上の特定の束などです。したがって、これらの特に単純なケースで指数定理を検証することで、指数定理を証明することができる。

アティヤとシンガーが最初に発表した証明では、コボルディズムではなくK理論が用いられた。コンパクト多様体のXからYへの任意の包含をiとすると、彼らはXの楕円型作用素からYの楕円型作用素への「プッシュフォワード」操作i _!を定義し、インデックスを保存する。YをXが埋め込まれる球面とすると、インデックス定理は球面の場合に帰着する。Yが球面であり、XがYに埋め込まれた点である場合、 Y上の任意の楕円型作用素は、その点上の楕円型作用素のi _!による像である。これにより、インデックス定理は点の場合に帰着し、自明となる。

Atiyah、Bott 、およびPatodi （1973 ）は、熱方程式を使用して指数定理の新しい証明を与えました（例えば、Berline、Getzler 、およびVergne（1992）を参照）。この証明は（Melrose 1993 ）および（Gilkey 1994 ）にも掲載されています。 

Dが随伴D*を持つ微分作用素である場合、D*DとDD*は自己随伴作用素であり、非ゼロ固有値は同じ重複度を持ちます。ただし、これらの重複度はDとD*の核の次元であるため、ゼロ固有空間の重複度は異なる場合があります。したがって、 Dのインデックスは次のように与えられます。

${\displaystyle \operatorname {index} (D)=\dim \operatorname {Ker} (D)-\dim \operatorname {Ker} (D^{*})=\dim \operatorname {Ker} (D^{*}D)-\dim \operatorname {Ker} (DD^{*})=\operatorname {Tr} \left(e^{-tD^{*}D}\right)-\operatorname {Tr} \left(e^{-tDD^{*}}\right)}$

任意の正のtに対して。右辺は、2 つの熱演算子の核の差のトレースで与えられます。これらは小さな正のtに対して漸近展開を持ち、これを使用してt が0 に近づくときの極限を評価することができ、アティヤー・シンガー指数定理の証明が得られます。小さなtに対する漸近展開は非常に複雑に見えますが、不変理論は項間に大きな相殺があることを示しており、これにより主要な項を明示的に見つけることが可能になります。これらの相殺は後に超対称性を使用して説明されました。

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• ヴォイツェホフスキー、MI; シュービン、MA (2001) [1994]、「指数公式」、数学百科事典、EMS Press
• Wassermann, Antony . 「アティヤー・シンガー指数定理に関する講義ノート」。 2017年3月29日にオリジナルからアーカイブ済み。

• ラウセン、マーティン、スカウ、クリスチャン（2005）「マイケル・アティヤとイサドア・シンガーへのインタビュー」（PDF）、AMS通知、 223～ 231ページ 
• RR Seeley 他 (1999)インデックス理論と擬微分作用素の初期の頃の回想- 1998 年 9 月にデンマークのロスキレで開催されたシンポジウム中の夕食後の非公式な会話の部分的な記録。