同変指数定理

微分幾何学において、同変指数定理（いくつかのバリエーションがある）は、与えられた設定で作用するコンパクトリー群の要素の（次数付き）トレースを、要素の不動点上の積分によって計算します。要素が中立の場合、定理は通常の指数定理に簡約されます。

アティヤ・ボットの公式のような古典的な公式は、定理の特殊なケースです。

をクリフォード加群バンドルとします。コンパクト リー群G がEとM の両方に作用し、 が同変であると仮定します。E に、 Gの作用と互換性のある接続が与えられているとします。最後に、 D を、与えられたデータに関連付けられた E 上のディラック演算子とします。特に、DはGと可換であるため、 Dの核はGの有限次元表現です。 ${\displaystyle \pi :E\to M}$${\displaystyle \pi}$

Eの同変インデックスは、スーパートレースを取ることによって与えられる仮想キャラクターです。

${\displaystyle \operatorname {str} (g\mid \ker D)=\operatorname {tr} (g\mid \ker D^{+})-\operatorname {tr} (g\mid \ker D^{- }).}$

• 同変位相K理論
• 川崎のリーマン・ロッホ公式

• ベルリン、ニコール。ゲッツラー、E. Vergne、Michele (2004)、Heat Kernels および Dirac Operators、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag