チャーン・ワイル準同型

数学において、チャーン・ワイル準同型は、滑らかな多様体M上のベクトル束と主束の位相不変量を、 Mのド・ラームコホモロジー環におけるクラスを表す接続と曲率を用いて計算する、チャーン・ワイル理論の基本的な構成である。つまり、この理論は代数トポロジーと微分幾何学の分野を結びつける架け橋となる。これは、1940 年代後半に、一般化されたガウス・ボンネの定理の証明を受けて、チャーン・シーシンとアンドレ・ワイルによって開発された。この理論は、特性類理論における重要な一歩となった。

G を実数または複素数のリー群とし、リー代数を${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$、そして${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}$代数を表す${\displaystyle \mathbb {C} }$上の-値多項式${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$（${\displaystyle \mathbb {R} }$の代わりに${\displaystyle \mathbb {C} }$）。させて${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}}$固定点の部分代数とする${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}$Gの随伴作用の下で、すなわち、すべての多項式fからなる部分代数で 、${\displaystyle f(\operatorname {Ad} _{g}x)=f(x)}$、Gのすべてのgとxについて${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$、

M上の主 G バンドルPが与えられたとき、次のような準同型が存在する。${\displaystyle \mathbb {C} }$-代数、

$\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to H^{*}(M;\mathbb {C} )}$、

これは、右コホモロジーがド・ラームコホモロジーであるチャーン・ワイル準同型と呼ばれる。この準同型は、与えられた束上の任意の接続の曲率に関する不変多項式を取ることによって得られる。G がコンパクトまたは半単純な場合、 G束の分類空間のコホモロジー環は、${\displaystyle BG}$は代数と同型である${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}}$不変多項式の:

${\displaystyle H^{*}(BG;\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}.}$

（ BGのコホモロジー環は、依然としてド・ラームの意味で与えることができる。）

${\displaystyle H^{k}(BG;\mathbb {C} )=\varinjlim \operatorname {ker} (d\colon \Omega ^{k}(B_{j}G)\to \Omega ^{k+1}(B_{j}G))/\operatorname {im} d.}$

いつ${\displaystyle BG=\varinjlim B_{j}G}$そして${\displaystyle B_{j}G}$（多様体である。）

P内の任意の接続形式ωを選択し、Ω を対応する曲率形式とする。すなわち、${\displaystyle \Omega =D\omega }$ω の外部共変微分。${\displaystyle f\in \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}}$は次数kの同次多項式関数です。つまり、 ${\displaystyle f(ax)=a^{k}f(x)}$任意の複素数aとxに対して${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$そして、fを対称多重線形汎関数とみなすと、${\textstyle \prod _{1}^{k}{\mathfrak {g}}}$（多項式関数の環を参照）

${\displaystyle f(\Omega )}$

P上の(スカラー値) 2 k形式を次のように定義する。

${\displaystyle f(\Omega )(v_{1},\dots ,v_{2k})={\frac {1}{(2k)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{2k}}\epsilon _{\sigma }f(\Omega (v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)}),\dots ,\Omega (v_{\sigma (2k-1)},v_{\sigma (2k)}))}$

ここで、v _iはPの接ベクトルであり、${\displaystyle \epsilon _{\sigma }}$順列の符号${\displaystyle \sigma }$2k個の数の対称群において${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{2k}}$（リー代数値形式#演算およびパフィアンも参照）。

さらに、fが不変である場合、すなわち、${\displaystyle f(\operatorname {Ad} _{g}x)=f(x)}$すると、${\displaystyle f(\Omega )}$は閉じた形式であり、 M上で一意の形式に降下し、形式のド・ラームコホモロジー類は に依存しない。${\displaystyle \omega }$まず、${\displaystyle f(\Omega )}$次の２つの補題から、閉じた形式であることが導かれる：^{[ 1 ]}

補題１：形式${\displaystyle f(\Omega )}$P上では（独自の）形態へと降下する$\displaystyle {\overline {f}}(\Omega )}$M上、つまり、 M上に引き戻す形式が存在する。${\displaystyle f(\Omega )}$。

補題2：もし${\displaystyle \varphi }$P上ではM上での形に降下し、${\displaystyle d\varphi =D\varphi }$。

実際、ビアンキの2番目のアイデンティティは${\displaystyle D\Omega =0}$また、Dは段階的導出であるため、${\displaystyle Df(\Omega )=0.}$最後に、補題1は次のように述べている。${\displaystyle f(\Omega )}$補題2の仮説を満たす。

補題2を見るには、${\displaystyle \pi \colon P\to M}$を射影とし、hを の射影とする${\displaystyle T_{u}P}$水平部分空間へ。すると、補題2は次の事実から導かれる。${\displaystyle d\pi (hv)=d\pi (v)}$（${\displaystyle d\pi }$（これはまさに垂直部分空間である。）補題1については、まず注意する。

${\displaystyle f(\Omega )(dR_{g}(v_{1}),\dots ,dR_{g}(v_{2k}))=f(\Omega )(v_{1},\dots ,v_{2k}),\,R_{g}(u)=ug;}$

それは${\displaystyle R_{g}^{*}\Omega =\operatorname {Ad} _{g^{-1}}\Omega }$そしてfは不変である。したがって、次のように定義できる。${\displaystyle {\overline {f}}(\Omega )}$式によって：

${\displaystyle {\overline {f}}(\Omega )({\overline {v_{1}}},\dots ,{\overline {v_{2k}}})=f(\Omega )(v_{1},\dots ,v_{2k}),}$

どこ${\displaystyle v_{i}}$リフトはありますか${\displaystyle {\overline {v_{i}}}}$:${\displaystyle d\pi (v_{i})={\overline {v}}_{i}}$。

次に、ド・ラームコホモロジークラスが${\displaystyle {\overline {f}}(\Omega )}$M上では、接続の選択に依存しない。^{[ 2 ]}${\displaystyle \omega _{0},\omega _{1}}$P上の任意の接続形式とし、${\displaystyle p\colon P\times \mathbb {R} \to P}$投影する。

${\displaystyle \omega '=t\,p^{*}\omega _{1}+(1-t)\,p^{*}\omega _{0}}$

ここで、tは滑らかな関数である。${\displaystyle P\times \mathbb {R} }$によって与えられた${\displaystyle (x,s)\mapsto s}$。 させて${\displaystyle \Omega ',\Omega _{0},\Omega _{1}}$曲率形式は${\displaystyle \omega ',\omega _{0},\omega _{1}}$。 させて${\displaystyle i_{s}:M\to M\times \mathbb {R} ,\,x\mapsto (x,s)}$包含物とする。${\displaystyle i_{0}}$はホモトピックである${\displaystyle i_{1}}$。 したがって、${\displaystyle i_{0}^{*}{\overline {f}}(\Omega ')}$そして${\displaystyle i_{1}^{*}{\overline {f}}(\Omega ')}$ド・ラームコホモロジーのホモトピー不変性により、同じド・ラームコホモロジークラスに属する。最後に、自然性と降順の一意性により、

${\displaystyle i_{0}^{*}{\overline {f}}(\Omega ')={\overline {f}}(\Omega _{0})}$

そして同様に${\displaystyle \Omega _{1}}$したがって、${\displaystyle {\overline {f}}(\Omega _{0}),{\overline {f}}(\Omega _{1})}$同じコホモロジー類に属する。

この構成により、線形写像が得られる。（補題1参照）

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]_{k}^{G}\to H^{2k}(M;\mathbb {C} ),\,f\mapsto \left[{\overline {f}}(\Omega )\right].}$

実際、このようにして得られた地図は、以下のことが確認できる。

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to H^{*}(M;\mathbb {C} )}$

は代数準同型です。

させて${\displaystyle G=\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$そして${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )}$そのリー代数。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$tに関する特性多項式を考えることができます: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \det \left(I-t{x \over 2\pi i}\right)=\sum _{k=0}^{n}f_{k}(x)t^{k},}$

ここでiは -1 の平方根です。${\displaystyle f_{k}}$は不変多項式である${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$なぜなら、等式の左辺は次のようになるからである。多様体M上のランクnの滑らかな複素ベクトル束Eのk番目のチャーン類:

${\displaystyle c_{k}(E)\in H^{2k}(M,\mathbb {Z} )}$

は、${\displaystyle f_{k}}$E（より正確にはEのフレームバンドル）によって定義されるChern–W​​eil準同型の下で。t = 1の場合、${\displaystyle \det \left(I-{x \over 2\pi i}\right)=1+f_{1}(x)+\cdots +f_{n}(x)}$は不変多項式です。Eの全チャーン類は、この多項式の像です。つまり、

${\displaystyle c(E)=1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E).}$

定義から直接、次のことが示せる。${\displaystyle c_{j}}$そして、上記のcはチャーンクラスの公理を満たします。例えば、ホイットニー和の公式については、

${\displaystyle c_{t}(E)=[\det \left(I-t{\Omega /2\pi i}\right)],}$

私たちが書いた${\displaystyle \Omega }$ベクトル束EのM上の曲率 2 形式の場合(つまり、 Eのフレーム束上の曲率形式の子孫です)。これを使用すると、Chern–W​​eil 準同型は同じになります。${\displaystyle \Omega }$さて、Eがベクトル束の直和であると仮定します。${\displaystyle E_{i}}$'s と${\displaystyle \Omega _{i}}$曲率の​​形状${\displaystyle E_{i}}$したがって、行列項では、${\displaystyle \Omega }$_{は、Ω I}が対角成分にあるブロック対角行列です。したがって、${\textstyle \det(I-t{\frac {\Omega }{2\pi i}})=\det(I-t{\frac {\Omega _{1}}{2\pi i}})\wedge \dots \wedge \det(I-t{\frac {\Omega _{m}}{2\pi i}})}$、我々は持っています：

${\displaystyle c_{t}(E)=c_{t}(E_{1})\cdots c_{t}(E_{m})}$

ここで、右側の乗算はコホモロジー環の乗算、すなわちカップ積である。正規化特性については、複素射影直線の第1チャーン類を計算する。チャーン類#例：リーマン球面の複素接束を参照。

以来${\displaystyle \Omega _{E\otimes E'}=\Omega _{E}\otimes I_{E'}+I_{E}\otimes \Omega _{E'}}$[ ^{4 ]また、以下の}ものも存在します。

${\displaystyle c_{1}(E\otimes E')=c_{1}(E)\operatorname {rank} (E')+\operatorname {rank} (E)c_{1}(E').}$

最後に、Eのチャーン指標は次のように与えられる。

${\displaystyle \operatorname {ch} (E)=[\operatorname {tr} (e^{-\Omega /2\pi i})]\in H^{*}(M,\mathbb {Q} )}$

どこ${\displaystyle \Omega }$E上の何らかの接続の曲率形式です(なぜなら${\displaystyle \Omega }$は冪零であり、それは${\displaystyle \Omega }$) すると ch は環準同型である。

${\displaystyle \operatorname {ch} (E\oplus F)=\operatorname {ch} (E)+\operatorname {ch} (F),\,\operatorname {ch} (E\otimes F)=\operatorname {ch} (E)\operatorname {ch} (F).}$

ここで、コホモロジー環を含む環Rにおいて、${\displaystyle H^{*}(M,\mathbb {C} )}$tに関する多項式の因数分解は次のようになります。

${\displaystyle c_{t}(E)=\prod _{j=0}^{n}(1+\lambda _{j}t)}$

どこ${\displaystyle \lambda _{j}}$Rには(これらは時々チャーン根と呼ばれる) あります。${\displaystyle \operatorname {ch} (E)=e^{\lambda _{j}}}$。

Eが多様体M上の滑らかな実ベクトル束である場合、Eのk番目のポントリャーギン類は次のように与えられる。

${\displaystyle p_{k}(E)=(-1)^{k}c_{2k}(E\otimes \mathbb {C} )\in H^{4k}(M;\mathbb {Z} )}$

私たちが書いた${\displaystyle E\otimes \mathbb {C} }$Eの複素化について。言い換えれば、不変多項式のチャーン・ワイル準同型による像である。${\displaystyle g_{2k}}$の上${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {R} )}$提供元:

${\displaystyle \operatorname {det} \left(I-t{x \over 2\pi }\right)=\sum _{k=0}^{n}g_{k}(x)t^{k}.}$

E を複素多様体M上の正則（複素）ベクトル束とする。曲率形式${\displaystyle \Omega }$Eの、あるエルミート計量に関する は、単なる 2 形式ではなく、実際には (1, 1) 形式です (正則ベクトル束#正則ベクトル束上のエルミート計量を参照)。したがって、Chern–W​​eil 準同型は次の形式をとります。${\displaystyle G=\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$、

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]_{k}\to H^{k,k}(M;\mathbb {C} ),f\mapsto [f(\Omega )].}$

• ∞-チャーン・ワイル理論

• Bott, Raoul (1973)、「リー群のチャーン・ワイル準同型と連続コホモロジーについて」、Advances in Mathematics、11 (3): 289–303、doi : 10.1016/0001-8708(73)90012-1。
• Chern, Shiing-Shen (1951)、『微分幾何学のトピックス』、高等研究所、謄写版印刷の講義ノート。
• Chern, Shiing-Shen (1995), Complex Manifolds Without Potential Theory , Springer-Verlag , ISBN 0-387-90422-0ISBN​ 3-540-90422-0（本書の付録「特性類の幾何学」は、特性類の概念の発展について、非常に簡潔かつ深遠な入門書となっている。）
• Chern, Shiing-Shen ; Simons, James (1974)、「特性形式と幾何学的不変量」、Annals of Mathematics、第2シリーズ、99 (1): 48–69、doi : 10.2307/1971013、JSTOR 1971013 。
• 小林正七、野水勝己（1969）『微分幾何学の基礎』第2巻 （新版 ）、Wiley-Interscience（2004年刊行）、MR 0152974 。
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• 森田茂之（2000）「微分形式の幾何学」『数学モノグラフ翻訳集』201、MR 1851352 。

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