アローの不可能性定理

アローの不可能性定理は、社会的選択理論における重要な結果であり、順位付けに基づく意思決定ルールは合理的選択理論の要件を満たすことができないことを示しています。^[1]最も注目すべきは、アローが、そのようなルールは、無関係な選択肢の独立性、つまり2つの選択肢AとBの選択が、無関係な第3の選択肢Cの質に左右されるべきではないという原則を含む、一見単純で合理的な一連の条件のすべてを満たすことはできないということを示したことです。^{[2] [3] [4]}

この結果は、投票ルールの議論で最も頻繁に引用される。^[5]しかし、アローの定理は大幅に広範であり、投票以外の社会的意思決定の方法にも適用できる。したがって、コンドルセの投票パラドックスを一般化し、相対的な比較に基づくあらゆる集団的意思決定手順に同様の問題が存在することを示している。^[1]

小選挙区制や順位選択（即時決選投票）のような多数決方式は、投票妨害者の影響を非常に受けやすく、^{[6] [7]}特に投票妨害が強制されていない場合には。^{[8] [9]}対照的に、多数決（コンドルセ）方式の順位投票は、無効選挙を循環同票と呼ばれるまれな状況に制限することで^{[9]無効選挙}の数を独自に最小限に抑えます。^{[8]投票者の行動のいくつかの理想化されたモデル（例：}ブラックの左派-右派スペクトル）では、これらの方式では投票妨害者の影響が完全に消えることがあります。^{[12] [13]}

アローの定理は評価投票ルールをカバーしていないため、スポイラー効果の影響を受けやすいかどうかを判断するために使用することはできません。ただし、ギバードの定理は、これらの方法が戦略的投票の影響を受けやすいことを示し、アローの定理の一般化は、評価方法がスポイラー効果の影響を受けやすいケースを説明します。

1950年にケネス・アローが定理を証明したとき、それは社会全体の好みや信念を集約するメカニズムを研究する厚生経済学の一分野である社会選択理論という現代の分野を切り開きました。 ^[14]このような研究メカニズムには、市場、投票システム、憲法、さらには道徳的または倫理的な枠組みなどがあります。^[1]

アローの定理の文脈では、国民は優先順位、つまり候補者の順序を持っていると想定されています。AとB が異なる候補者または選択肢である場合、はAがBよりも好まれることを意味します。個人の好み (または投票) は、順序付けの直感的な特性を満たす必要があります。たとえば、それらは推移的でなければなりません—および である場合、 です。したがって、社会的選択関数は、個人の順序付けを、社会全体の好みを表す新しい順序付けにマッピングする数学関数です。 ${\displaystyle A\succ B}$${\displaystyle A\succeq B}$${\displaystyle B\succeq C}$${\displaystyle A\succeq C}$

アローの定理は、非退化的な社会的選択ルールが以下を満たすことを背景として仮定している。^[15]

• 制限のないドメイン— 社会的選択関数は、部分関数ではなく、結果のすべての可能な順序付けのドメイン上の全関数。
  • 言い換えれば、システムは常に何らかの選択を行う必要があり、有権者が通常とは異なる意見を持っている場合に単に「諦める」ことはできないのです。
  • この仮定がなければ、多数決はコンドルセサイクルがあるときはいつでも「諦める」ことによってアローの公理を満たす。^[9]
• 非独裁制— システムは1人の有権者の投票だけに依存しません。^[3]
  • これにより匿名性（1票、1つの価値）が弱まり、投票者を不平等に扱うルールが可能になります。
  • 本質的には、社会的選択は複数の人の意見に依存するものと定義されます。^[3]
• 非強制的投票制度 - 候補者のペアを選択する際に有権者を完全に無視するわけではない。^[4][16]
  • 言い換えれば、ある一定の票数の組み合わせがあれば、どの候補者も他のどの候補者にも勝つ可能性がある。^{[4] [16] [17]}
  • これはしばしば、より強いパレート効率公理に置き換えられる。つまり、すべての有権者がAをBよりも好むなら、AはBに勝つはずだ。しかし、より弱い非強制条件で十分である。^[4]

アローの定理の元の記述には、条件として非負の応答性が含まれていた。つまり、結果の順位が上がっても負けてはならない、言い換えれば、投票ルールは候補者が人気が高いことを理由に不利であってはならないということだ。^[2]しかし、この仮定は彼の証明では必要とされず、使用もされていない（パレート効率の弱い条件を導く場合を除く）。アローは後に定理の記述を修正し、この条件を含めないようにした。^{[3] [18]}

合理的選択の公理として一般的に考えられているのは、無関係な選択肢からの独立性（IIA）であり、これは、 AとBの間で決定を下す際に、3番目の選択肢Cについての意見が決定に影響を与えてはならないというものである。^[2]

• 無関係な選択肢の独立性(IIA) — 候補者Aと候補者Bの間の社会的選好は、 AとBの間の個人的な選好にのみ依存するべきである。
  • 言い換えれば、有権者が かどうかについての選好を変えたとしても、社会的選好はからに変化すべきではない。^[3]${\displaystyle A\succ B}$${\displaystyle B\succ A}$${\displaystyle A\succ C}$
  • これは、配置関数の標準的な構成を使用する場合のスポイラー候補の独立性に関する主張と同等である。^[17]

IIAは哲学者シドニー・モーゲンベッサーによる短いジョークで説明されることがある: ^[19]

デザートを注文したモーゲンベッサーさんは、ウェイトレスにブルーベリーパイかアップルパイを選べると言われました。彼はアップルパイを注文しました。すぐにウェイトレスが戻ってきて、チェリーパイも選べると説明しました。モーゲンベッサーさんは「それならブルーベリーにしましょう」と答えました。

アローの定理は、社会が常にそのような自己矛盾を避けながら意思決定を行いたい場合、順位付けされた情報のみを使用することはできないことを示しています。^[19]

コンドルセの例は、アローの定理が想定するよりも厳しい公平性の条件を考えると、公平な順位付け投票システムが不可能であることを示すのに十分である。 ^[20] 3人の候補者（ 、、）と、次のような好みを持つ3人の有権者 がいると仮定する。${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$

が勝者として選ばれた場合、 2 人の投票者 (1 と 2)が を好み、1 人の投票者 (3) だけがを好みますので、公正な投票システムであれば が代わりに勝つと主張することができます。しかし、同じ議論により、は よりも好まれ、 は よりも、それぞれ 2 対 1 の差で好まれます。したがって、個々の投票者の好みは一貫していますが、社会の好みは矛盾しています。 はよりも好まれ、は よりも好まれ、 は よりも好まれます。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$

この例から、コンドルセがアローの定理の核心を示す直感的な議論を行ったと考える著者もいる。^[20]しかし、アローの定理はより一般的なものであり、一人一票の選挙以外の意思決定方法、例えば市場や重み付け投票、順位付け投票などにも適用される。

を選択肢の集合とします。に対する投票者の選好は、 上の完全かつ推移的な二項関係（全順序と呼ばれることもあります）です。つまり、次を満たすのサブセットです。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A\times A}$

1. (推移性)が にありがにある場合、 はにあります。${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$${\displaystyle R}$${\displaystyle (\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$${\displaystyle R}$${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {c} )}$${\displaystyle R}$
2. (完全性)またはの少なくとも 1 つがに含まれている必要があります。${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$${\displaystyle (\mathbf {b} ,\mathbf {a} )}$${\displaystyle R}$

要素が にあるということは、代替案が代替案 よりも好まれることを意味すると解釈されます。この状況は、しばしばまたは と表記されます。上のすべての選好の集合を で表します。を正の整数とします。順序（順位付け）社会福祉関数は関数^[2]です。${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {a} \succ \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {a} R\mathbf {b} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Pi (A)}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle \mathrm {F} :\Pi (A)^{N}\to \Pi (A)}$

これは、投票者の選好を 1 つの選好に集約します。投票者の選好の組は選好プロファイルと呼ばれます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (R_{1},\ldots ,R_{N})\in \Pi (A)^{N}}$

アローの不可能性定理：選択肢が少なくとも3つある場合、以下の3つの条件をすべて満たす社会福祉関数は存在しない：^[21]

パレート効率

代替案がすべての順序付けに対してよりも優先される場合、 はよりも優先されます。^[2]${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle R_{1},\ldots ,R_{N}}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle F(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{N})}$

非独裁

ある個体の好みが常に優先されることはない。つまり、すべての人およびすべての人に対して、 がよりも好まれるとき、がよりも好まれるような個体は存在しない。^[2]${\displaystyle i}$${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,N\}}$${\displaystyle (R_{1},\ldots ,R_{N})\in \Pi (A)^{N}}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle F(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{N})}$

無関係な選択肢の独立性

2つの選好プロファイルとがあり、すべての個人に対して、選択肢および は におけると同じ順序を持ち、選択肢およびは におけると同じ順序を持ちます。^[2]${\displaystyle (R_{1},\ldots ,R_{N})}$${\displaystyle (S_{1},\ldots ,S_{N})}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle F(R_{1},\ldots ,R_{N})}$${\displaystyle F(S_{1},\ldots ,S_{N})}$

アローの不可能性定理は、パレート効率が以下の条件に弱められた場合でも成立する：^[4]

非課税

_任意の2つの選択肢aとbに対して、F(R1、 R2 、 … 、RN _{)によって}aがbよりも好まれる_ような選好プロファイルR1、…、RN_が存在します。

アローの定理は、無関係な選択肢の独立性を常に満たすような順位付け投票ルールは存在しないことを示しているが、スポイラーの頻度については何も言及していない。これを受けてアローは「ほとんどのシステムが常にうまく機能しないわけではない。私が証明したのは、すべてのシステムが時々うまく機能しない可能性があるということだけだ」と述べた。^{[26] [27]}

アローの定理の影響に対処する試みは、2つのアプローチのいずれかをとっています。アローの定理を受け入れ、最もスポイラーが発生しにくい方法を探すか、評価投票ルールに焦点を当てるなど、アローの仮定の1つ以上を放棄するかです。^[19]

経済学者が研究した最初の一連の方法は、多数決法、またはコンドルセ法である。これらのルールは、多数決が自己矛盾する状況（コンドルセサイクルと呼ばれる）にスポイラーを制限し、その結果、ランク付けされたルール間のスポイラー効果の可能性を一意に最小化する。（実際、多くの異なる社会福祉関数が、そのようなドメインの制限下ではアローの条件を満たすことができる。しかし、そのような制限の下では、アローの基準に従う社会福祉関数が存在する場合、コンドルセ法はアローの基準に従うことが証明されている。^[9]）コンドルセは、投票ルールは無関係な選択肢の独立性と多数決原理の両方を満たす必要があると信じていた。つまり、ほとんどの投票者がアリスをボブより上位にランク付けした場合、アリスは選挙でボブに勝つはずである。 ^[20]

残念ながら、コンドルセが証明したように、この規則はいくつかの選好プロファイルでは非推移的である可能性がある。^[28]そのため、コンドルセは、2人の候補者がいる場合の投票システムは単純多数決で同意するというより強い仮定の下で、アローよりずっと前にアローの不可能性定理の弱い形を証明した。^[20]

順位付け決選投票（RCV）や第一希望多数決などの多元主義的なルールとは異なり、^[6] コンドルセ方式は、候補者が多数決で選ばれる非周期的な選挙でスポイラー効果を回避します。政治学者は、このような周期はかなりまれであることを発見しており、実用的な懸念は限られていることを示唆しています。^[11] 空間投票モデルはまた、このようなパラドックスはまれである可能性が高いことを示唆しています^{[29] [10]}または存在しないことさえあります。^[12]

アローが定理を発表して間もなく、ダンカン・ブラックは中位有権者定理という注目すべき結果を示した。この定理は、有権者と候補者が左派と右派のスペクトル上に配置されている場合、アローの条件はすべて完全に両立し、コンドルセの多数決原理を満たすあらゆる規則によってすべてが満たされることを証明している。^{[12] [13]}

より正式には、ブラックの定理は、選好が単峰性であると仮定している。つまり、候補者に対する投票者の満足度は、候補者が何らかのスペクトルに沿って移動するにつれて上昇し、その後下降する。たとえば、友人グループが音楽の音量設定を選択する場合、各友人はそれぞれに理想的な音量を持っている可能性が高い。音量が次第に大きくなりすぎたり小さくなりすぎたりすると、彼らはますます不満を抱くだろう。ドメインが、すべての個人が線形順序に関して単峰性の選好を持つプロファイルに限定されている場合、社会的選好は非循環的である。この状況では、コンドルセ法は、完全にスポイラープルーフであることなど、非常に望ましいさまざまな特性を満たしている。^{[12] [13] [9]}

この規則は政治的スペクトルから政治的コンパスまで完全に一般化されるわけではなく、これはマッケルヴィー＝スコフィールドのカオス定理に関連する結果である。^{[12] [30]}しかし、投票者の分布が回転対称であるか、そうでなければ一意に定義された中央値を持つ場合、明確に定義されたコンドルセの勝者は存在する。^{[31] [32]投票者の意見がほぼ}正規分布に従うか、1つまたは2つの次元で正確に要約できる最も現実的な状況では、コンドルセサイクルはまれである（ただし、まったくないわけではない）。^{[29] [8]}

キャンベル・ケリー定理は、コンドルセ法が順位付け投票システムの中で最もスポイラー耐性が高いクラスであることを示しています。順位付け投票システムがスポイラー効果を回避できる場合はいつでも、コンドルセ法はそれを実行します。^[9]言い換えると、順位付け方法をコンドルセ変種に置き換えると（つまり、コンドルセ勝者が存在する場合はそれを選出し、そうでない場合は方法を実行する）、スポイラー効果を防ぐことはできますが、新しい効果を生み出すことはできません。^[9]

1977年、エフード・カライとエイタン・ミュラーは、独裁的でなく戦略不可能な社会福祉関数を認めるドメイン制約の完全な特徴付けを行った。これらはコンドルセ勝者が存在する選好に対応する。^[33]

ホリデイとパキットは、選挙を台無しにする可能性のある候補者の数を最小限に抑えることが証明された投票システムを考案したが、その代償として、時折投票率が低下する可能性があった（ただし、即時決選投票で見られる割合よりもはるかに低い）。^{[8] [説明が必要]}

上で示したように、アローの定理の証明は順位付け投票の仮定に大きく依存しており、順位付け投票システムには適用できない。これにより、アローが示した基準をすべて満たす可能性が開かれる。これらのシステムでは、投票者に候補者を数値スケール（例：0～10）で評価するよう求め、平均（スコア投票の場合）または中央値（段階的多数決）が最も高い候補者を選出する。^{[34] : 4–5}

アローの定理はもはや適用されないため、評価方法がスポイラー効果の影響を受けないかどうか、またどのような状況下で影響を受けないのかを判断するには、他の結果が必要である。直感的には、基数情報は意味がある場合にのみそのような影響を受けないということにつながる。基数データを提供するだけでは不十分である。^[35]

範囲投票や多数決などの評価システムの中には、投票者が絶対的な尺度で候補者を評価すると、無関係な選択肢からの独立性を満たすものがある。しかし、相対的な尺度を使用する場合、より一般的な不可能性定理により、その方法（その文脈内）は依然としてIIAを満たさないことが示される。^[36] Arrowが後に示唆したように、相対評価は純粋なランキングよりも多くの情報を提供する可能性があるが、^{[37] [38] [39] [40] [41]}この情報だけでは、その方法がスポイラーの影響を受けないようにするには不十分である。

アローの定理は段階的システムには適用されないが、ギバードの定理は依然として適用され、投票ゲームは単純なもの（つまり、単一の明確な常に最善の戦略を持つもの）にはなり得ない。^[42]

アローの枠組みでは、個人および社会の選好は順序付けやランキング、つまりどの結果が他よりも良いか悪いかについての記述であると想定されていた。^{[43]心理学で人気のある}厳格な行動主義に触発されて、一部の哲学者や経済学者は、人間の内的幸福体験を比較するという考えを否定した。^{[44] [19]}そのような哲学者は、意見の異なる人々の間で選好の強さを比較することは不可能であると主張した。センは、ローマ大火が良かったのか悪かったのかを知ることは不可能であると例に挙げている。なぜなら、何千人ものローマ人が亡くなったにもかかわらず、ネロが宮殿を拡張できるという良い効果があったからだ。 ^[39]

アローは当初これらの立場に同意し、基数効用を否定し、彼の定理を選好ランキングに焦点を当てることにした。^{[44] [45]}しかし、後に彼は基数法が追加の有用な情報を提供できるため、彼の定理は基数法には適用できないと述べた。

ジョン・ハーサニは、アローの定理は彼自身の定理^{[46] [検証失敗]}や、一般的に合理的な行動には一貫した基数的効用が必要であることを示しているVNM定理のような他の効用表現定理の弱いバージョンと見なすことができると指摘した。^[47]

行動経済学者は、個人の非合理性がIIAの違反（例えばデコイ効果）を伴うことを示し、 ^[48]投票方法自体がIIAの失敗をもたらさなくても、人間の行動がIIAの失敗を引き起こす可能性があることを示唆している。^[49]しかし、過去の研究では、そのような影響は一般的にかなり小さいことがわかっており、^[50]そのような心理的妨害者は選挙制度に関係なく出現する可能性がある。バリンスキーとララキは、心理測定学から派生した、これらの心理的影響を最小限に抑える投票用紙設計の手法について論じている。例えば、各候補者に口頭で評価（例えば「悪い」、「中立」、「良い」、「素晴らしい」）するよう有権者に依頼したり、有権者に投票用紙を個々の候補者の判断として参照するように指示を出したりすることなどである。 ^{[34] [ページが必要]同様の手法は、}コンティンジェント・バリュエーションの文脈でよく議論される。^[41]

上記の実際的な解決策に加えて、Arrow の IIA 要件を満たすことができる珍しい (実際的ではない) 状況が存在します。

超多数決ルールは、決定性が乏しい（つまり、結果が返されないことが多い）という代償を払って、アローの定理を回避することができる。この場合、3つの結果を順序付けるには過半数、4つの結果を順序付けるには過半数を必要とする閾値は、投票パラドックスを生じない。^[51]${\displaystyle 2/3}$${\displaystyle 3/4}$

空間的（n次元イデオロギー）投票モデルでは、投票者の分布が適切に行われている（準凹面）限り、循環を防ぐために投票の（およそ64%の）票のみを必要とするように緩和することができます。^[52]これらの結果は、憲法改正に3分の2の多数決という一般的な要件をある程度正当化しており、ほとんどの状況で循環的な選好を防ぐのに十分です。^[52]${\displaystyle 1-e^{-1}}$

フィッシュバーンは、選択公理が与えられた場合、アローの条件はすべて、無数に無限の有権者の集合に対して満たされることを示している。^{[53]しかし、キルマンとゾンダーマンは、これには社会の}ほぼすべての構成員の選挙権を剥奪する必要があることを示し（有権者は測度0の集合を形成する）、そのような社会を「目に見えない独裁国家」と呼んだ。^[54]

アローの定理は戦略的投票とは関係がなく、彼の枠組みには登場しないが^{[3] [1]、定理は戦略的投票に重要な意味を持つ（}ギバードの定理^[15]を証明するための補題として使用されている）。アローの社会福祉の枠組みでは、すべての投票者の選好が既知であり、唯一の問題はそれらを集約することであると想定している。^[1]

単調性（アローは正の関連と呼ぶ）はアローの定理の条件ではない。^[3]この誤解はアロー自身のミスによって引き起こされた。アローは定理の最初の記述にこの公理を含めたものの、それを使用しなかった。^[2]この仮定を放棄すると、彼の他の条件を満たす社会福祉関数を構築することができなくなる。^[3]

よくある誤解とは反対に、アローの定理は投票システム全体ではなく、限られた種類の順位選択投票システムを扱っています。 ^{[1] [55]}

• 選挙制度の比較
• コンドルセのパラドックス
• 教義上の矛盾
• ギバード・サタースウェイトの定理
• ギバードの定理
• ホルムストロームの定理
• メイの定理
• 市場の失敗

• Campbell, DE (2002)。「アロヴィアンの枠組みにおける不可能性定理」。Arrow , Kenneth J.、Sen, Amartya K.、Suzumura, Kōtaro (編)。社会選択と福祉ハンドブック。第 1 巻。アムステルダム、オランダ: Elsevier。pp. 35–94。ISBN 978-0-444-82914-6。#Alternatives で議論された、選好プロファイルの機能に基づく多くのアプローチを調査します^{[ broken anan ]}。
• ダルダノーニ、ヴァレンティーノ (2001)。「アローの不可能性定理の教育的証明」(PDF)。社会選択と福祉。18 (  1 ): 107–112。doi : 10.1007/s003550000062。JSTOR 41106398。S2CID  7589377。プレプリント。
• ハンセン、ポール (2002)。「アローの不可能性定理のもう一つのグラフィカル証明」。経済教育ジャーナル。33 (3): 217–235。doi :10.1080/00220480209595188。S2CID 145127710  。
• ハント、アール（2007年）。行動の数学。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 9780521850124。「合理性の定義: 個人およびグループの意思決定」の章では、アロー定理について証明とともに詳しく説明しています。
• ルイス、ハロルド W. (1997)。なぜコインを投げるのか?: 良い決断の芸術と科学。ジョン ワイリー。ISBN 0-471-29645-7。異なる選挙制度における優先順位と明らかに異常な結果の明確な例を示します。アローの定理を述べていますが、証明はしていません。
• セン、アマルティア・クマール（1979年）。集団選択と社会福祉。アムステルダム：北ホラント。ISBN 978-0-444-85127-7。
• Skala, Heinz J. (2012)。「アローの不可能性定理は何を語っているのか？」Eberlein, G.、Berghel, HA (編)。理論と決定：ヴェルナー・ラインフェルナーを讃えるエッセイ集。Springer。pp. 273–286。ISBN 978-94-009-3895-3。
• Tang, Pingzhong; Lin, Fangzhen (2009). 「Arrow の不可能性定理およびその他の不可能性定理のコンピュータ支援証明」。人工知能。173 (11): 1041–1053。doi : 10.1016/ j.artint.2009.02.005。

• スタンフォード哲学百科事典の「アローの不可能性定理」の項目
• テレンス・タオによる証明。より強力な非独裁主義を前提としている。