多数決

多数決（MJ ）は、ミシェル・バリンスキーとリダ・ララキが2010年に提案した単独勝者投票システムである。^{[1] [2] [3]これは}最高中央値ルールの一種であり、中央値が最も高い候補者を選出する 基数投票システムである。

投票者は、一連の等級に従って、候補者の適性に関して、希望する数の候補者を等級付けします。Balinski と Laraki は、「優秀、非常に良い、良い、許容できる、悪い、または拒否」というオプションを提案していますが、任意のスケールを使用できます (例: 共通の文字による等級スケール)。投票者は、複数の候補者に同じ等級を割り当てることができます。

最高中央値投票ルールと同様に、最高中央値を持つ候補者が勝者と宣言されます。複数の候補者が同じ中央値を持つ場合、多数決により、各同点候補者の列から共有中央値に等しい評価を（1つずつ）削除して同点を解消します。この手順は、同点の候補者のうち1人だけが最高の中央値を持つことが判明するまで繰り返されます。^[4]

他のほとんどの基数投票ルールと同様に、多数決判断は単調性基準、後で助けにならない基準、および無関係な選択肢の独立性を満たします。

あらゆる決定論的投票システム（独裁制を除く）と同様に、MJ では、ギバードの定理の結果として、候補者が 3 人以上の場合に戦略的投票が可能になります。

多数決投票は、コンドルセ基準、^[a] 後で害がないこと、^[b]一貫性、^[c]コンドルセ敗者基準、参加基準、多数決基準、^[d]相互多数決基準を満たさない。

スコア投票とは異なり、多数決ではノーショーパラドックス^[5]、つまり候補者が「得票数が多すぎる」ために負ける状況が発生する可能性がある。言い換えれば、対立候補よりも上位にランクされる票を追加しても、その候補者が負ける可能性がある。

2010年の著書で、バリンスキーとララキは、結合一貫性のある唯一の方法は、位置投票を含むスコア投票の若干の一般化であるポイント合計法であることを示しています。^{[6]具体的には、彼らの結果によると、わずかに強い}一貫性基準を満たす唯一の方法は以下です。

${\displaystyle \sum _{{\text{vote}}\in {\text{ballots}}}f({\text{score}}_{\text{vote}})}$

ここで、は単調関数である。さらに、参加と段階的連続性またはアルキメデスの性質^[e]の両方を満たす方法は、点加算法である。^[7]${\displaystyle f}$

この結果は、合理的選択の条件を特徴付けるために使用される社会的選択理論と意思決定理論における2つの重要な結果であるフォン・ノイマン-モルゲンシュテルンの効用定理とハルサニの功利主義定理に密接に関連し、それらに依存しています。

この結果にもかかわらず、バリンスキーとララキは、多数決による判断では参加の失敗は実際にはまれであると主張している。^[6]

多数決を主張する中で、バリンスキーとララキ（このシステムの発明者）は、最高中央値ルールは不正を働く動機を持つ有権者の割合を最小限に抑えるという意味で、最も「戦略に抵抗力のある」システムであることを証明した。^[8]しかし、一部の著者は、この結果の重要性に異議を唱えている。なぜなら、このルールは不完全な情報や有権者間の共謀の場合には適用されないからである。^[要出典]

「左派と右派」の環境では、多数決は中道派のコンドルセ勝利候補を選ぶのではなく、最も同質的な陣営を支持する傾向がある。^{[9]したがって、多数決は}中間層の投票者基準を満たさない。^[10]

数値の例を示します。「優秀」「非常に良い」「良い」「普通」「悪い」「非常に悪い」「ひどい」という 7 つの評価があるとします。投票者は「極左」から「極右」までの 7 つのグループに属しており、各グループが 1 人の候補者を擁立しているとします。投票者は自分のグループの候補者に「優秀」の評価を付け、候補者が政治的に自分と離れるほど評価を下げます。

多数決の同点決着手順では、非中点評価が中点に最も近い左派候補が選出されます。この非中点評価は中点評価を上回っています。こうすることで、多数決は、中道左派や中道など、より合意の取れた候補を選ぶのではなく、政治軸の左側の有権者（右派の有権者よりわずかに多いため）にとって最良の妥協案を選出します。その理由は、同点決着は、他の評価に関係なく、中央値に最も近い評価に基づいて行われるためです。

段階的多数決などの他の最高中央値ルールでは、異なる同点決着の決定が下されることが多いことに注意してください（段階的多数決ではセンター候補が選出されます）。最近導入されたこれらの方法は、多数決の多くの望ましい特性を維持しながら、同点決着手順の落とし穴を回避しています。^[11]

テネシー州が州都の場所を決める選挙を行っているとします。人口は 4 つの主要都市に集中しています。すべての有権者は州都ができるだけ近くにあることを望んでいます。選択肢は次のとおりです。

• メンフィスは最大の都市だが、他の都市からは遠い（投票者の42％）
• 州の中心に近いナッシュビル（有権者の26%）
• チャタヌーガ、やや東（有権者の15％）
• ノックスビル、はるか北東（投票者の17％）

各地域の有権者の好みは次のとおりです。

「優秀」、「良好」、「普通」、「不良」という 4 つの評価があり、投票者は自分の都市を「優秀」、最も遠い都市を「不良」、その他の都市を、距離が 100 マイル未満、200 マイル未満、または 200 マイル以上であるかどうかに応じて「良好」、「普通」、「不良」と評価したとします。

ソートされたスコアは次のようになります。

ナッシュビル、チャタヌーガ、ノックスビルの中央評価はすべて「普通」で、メンフィスは「悪い」です。ナッシュビル、チャタヌーガ、ノックスビルは同点なので、中央値が異なるまで、3 つの都市すべてから「普通」の評価が削除されます。各都市の投票から 16% の「普通」の評価を除外すると、並べ替えられた評価は次のようになります。

チャタヌーガとノックスビルの「悪い」評価は、「普通」、「良い」、「優秀」の合計と同じ数になりました。同点の各都市から「普通」を 1 つずつ減算し、これらの都市のうち 1 つの都市だけが最高の中央値評価を持つようにした結果、元々同点だったこれらの都市の新しい決定的な中央値評価は次のようになりました。チャタヌーガとノックスビルはどちらも「悪い」ですが、ナッシュビルの中央値は「普通」のままです。したがって、現実世界の首都であるナッシュビルが勝利します。

多少関連性のある中央値投票ルール法は、 1907年にフランシス・ゴルトンによって予算を割り当てるために初めて明示的に提案されました。 ^[12]トリム平均に基づくハイブリッド平均/中央値システムは、偏見のある審査員や戦略的な審査員の影響を制限することを目的として、 オリンピックのフィギュアスケートなどの競技でスコアを割り当てるために長い間使用されてきました。

最初に開発された最高中央値ルールは、米国の 進歩主義時代の改革者によって使用されたシステムであるバックリン投票でした。

多数決の完全なシステムは、2007年にバリンスキとララキによって初めて提案されました。^[1]同年、彼らはそれをフランス大統領選挙の出口調査で使用しました。 この地域調査は全国的な結果を代表することを意図したものではありませんでしたが、他の地域的または全国的な実験と一致して、多数決を含むほとんどの代替ルールでは、最終的な決選投票の勝者であるニコラ・サルコジではなく、フランソワ・バイルー、または他の2人の候補者（セゴレーヌ・ロワイヤルまたはジャン＝マリー・ル・ペン）が勝利したであろうことを示しました。 彼らはまた次のように述べています。

サルコジ、ロワイヤル、バイルー、ルペンの名前が隠された結果を見せられたフランスの政治に多少なりとも知識のある人なら誰でも、必ずその名前を特定した。その評価には意味のある情報が含まれているからだ。^[13]

それ以来、フランスやアメリカではワインコンテストの審査や政治調査の世論調査に利用されてきた。^[14]

VarlootとLaraki ^[15]は、多数決の変形である不確実性を伴う多数決（MJU）を提示しており、これにより有権者は各候補者の長所についての不確実性を表明することができる。

• 通常の判断
• 承認投票
• 範囲投票
• 投票システム
• 民主主義と選挙に関するトピックのリスト

• バリンスキー、ミシェル、ララキ、リダ（2010）。多数決の判断：測定、順位付け、選出、MITプレス