豊富なラインナップ

射が与えられた場合${\displaystyle f\colon X\to Y}$スキーム、ベクトルバンドル${\displaystyle p\colon E\to Y}$（あるいはより一般的には、${\displaystyle Y}$）はプルバックして${\displaystyle X}$、${\displaystyle f^{*}E=\{(x,e)\in X\times E,\;f(x)=p(e)\}}$投影が${\displaystyle p'\colon f^{*}E\to X}$は、最初の座標への射影です（モジュールの層#演算を参照）。ベクトル束の引き戻しは、同じランクのベクトル束です。特に、線束の引き戻しは線束です。（簡単に言うと、ファイバーは${\displaystyle f^{*}E}$ある時点で${\displaystyle x\in X}$繊維は${\displaystyle E}$で${\displaystyle f(x)\in Y}$）

この記事で説明されている概念は、射影空間への射の場合におけるこの構成に関連している。

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} ^{n},}$

と${\displaystyle E={\mathcal {O}}(1)}$射影空間上の線束で、その大域的な切断が変数に関する次数1の同次多項式（すなわち線形関数）であるもの${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ラインバンドル${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$また、超平面に関連付けられた線束として説明することもできます。$\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$（セクションのゼロ集合は${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$（超平面）${\displaystyle f}$閉じたイマージョンである場合、例えば、引き戻し${\displaystyle f^{*}O(1)}$ラインバンドルは${\displaystyle X}$超平面断面に関連付けられている（${\displaystyle X}$超平面で$\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$)

させて${\displaystyle X}$体上の計画である${\displaystyle k}$（例えば、線束を持つ代数多様体）${\displaystyle L}$（線束は可逆層とも呼ばれる。）${\displaystyle a_{0},...,a_{n}}$要素である${\displaystyle k}$-ベクトル空間${\displaystyle H^{0}(X,L)}$グローバルセクションの${\displaystyle L}$各セクションのゼロ集合は、${\displaystyle X}$; させて${\displaystyle U}$少なくとも 1 つの${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$はゼロではない。すると、これらのセクションは射を定義する。

${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {P} _{k}^{n},\ x\mapsto [a_{0}(x),\ldots ,a_{n}(x)].}$

さらに詳しく説明すると、各点について${\displaystyle x}$の${\displaystyle U}$繊維${\displaystyle L}$以上${\displaystyle x}$は、剰余体上の1次元ベクトル空間である。${\displaystyle k(x)}$この繊維のベースを選ぶことで${\displaystyle a_{0}(x),\ldots ,a_{n}(x)}$一連の${\displaystyle n+1}$数値はすべてゼロではなく、射影空間内の点となる。基底の選択を変更すると、すべての数値が同じゼロでない定数倍されるため、射影空間内の点は選択に依存しない。

さらに、この射は、制限が${\displaystyle L}$に${\displaystyle U}$プルバックと同型である${\displaystyle f^{*}{\mathcal {O}}(1)}$[ ^{1 ]​}

線束の基底位置${\displaystyle L}$計画に基づいて${\displaystyle X}$は、すべてのグローバルセクションのゼロ集合の共通部分です。${\displaystyle L}$ラインバンドル${\displaystyle L}$基点軌跡が空である場合、基点フリーと呼ばれます。つまり、すべての点に対して${\displaystyle x}$の${\displaystyle X}$グローバルセクションがあります${\displaystyle L}$これは、${\displaystyle x}$。 もし${\displaystyle X}$畑の上に適切である${\displaystyle k}$するとベクトル空間${\displaystyle H^{0}(X,L)}$グローバルセクションの次元は有限です。その次元は${\displaystyle h^{0}(X,L)}$^{[ 2 ]}したがって、基点のない線束${\displaystyle L}$射を決定する${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} ^{n}}$以上${\displaystyle k}$、 どこ${\displaystyle n=h^{0}(X,L)-1}$基底を選択することによって与えられる${\displaystyle H^{0}(X,L)}$選択をせずに、これは射として記述できます。

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} (H^{0}(X,L))}$

から${\displaystyle X}$超平面の空間へ${\displaystyle H^{0}(X,L)}$基点のない線束に標準的に関連付けられている${\displaystyle L}$この射は、${\displaystyle L}$プルバックは${\displaystyle f^{*}{\mathcal {O}}(1)}$。

逆に、任意の射に対して${\displaystyle f}$計画から${\displaystyle X}$投影空間へ$\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$以上${\displaystyle k}$プルバックラインバンドル${\displaystyle f^{*}{\mathcal {O}}(1)}$ベースポイントフリーです。実際、${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ベースポイントフリー$\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$なぜなら、すべての点において${\displaystyle y}$で$\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$超平面が存在し、${\displaystyle y}$したがって、すべての点について${\displaystyle x}$で${\displaystyle X}$セクションがあります${\displaystyle s}$の${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$以上$\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$それはゼロではない${\displaystyle f(x)}$、そして${\displaystyle s}$はグローバルセクションです${\displaystyle f^{*}{\mathcal {O}}(1)}$それはゼロではない${\displaystyle x}$要するに、基点のない線束は、まさに次の線の引き戻しとして表現できるものです。${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$射影空間への何らかの射影によって。

k上の適切な曲線C上の線束Lの次数は、 Lの任意の非零有理切断sの因子 ( s ) の次数として定義されます。この因子の係数は、s がゼロになる点では正であり、 s が極を持つ点では負です。したがって、曲線C上の任意の線束L は、${\displaystyle H^{0}(C,L)\neq 0}$非負の次数を持つ（有理切断とは異なり、C上のLの切断には極がないため）。 ^{[ 3 ]}特に、曲線上のすべての基点のない直線束は非負の次数を持つ。結果として、体上の任意の適切なスキームX上の基点のない直線束Lはnefであり、これは、 L がX内のすべての（既約）曲線上で非負の次数を持つことを意味する。^{[ 4 ]}

より一般的には、層Fは${\displaystyle O_{X}}$スキームX上のモジュールは、グローバルセクションの集合Iが存在する場合にグローバルに生成されると言われます。$\displaystyle s_{i}\in H^{0}(X,F)}$対応する射が

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}O_{X}\to F}$

層の射影は全射である。^{[ 5 ]}線束が大域的に生成されるのは、それが基点フリーである場合に限る。

例えば、アフィン スキーム上のすべての準コヒーレント層はグローバルに生成されます。^{[ 6 ]}同様に、複素幾何学では、カルタンの定理 Aは、スタイン多様体上のすべてのコヒーレント層がグローバルに生成されると述べています。

体上の適切なスキーム上の線束L は、テンソル冪が正の整数rで満たされる場合、半十分である。$\displaystyle L^{\otimes r}}$基点フリーである。半豊富線束はネフである（基点フリー線束の場合の対応する事実による）。^{[ 7 ]}

ラインバンドル${\displaystyle L}$適切な計画に基づいて${\displaystyle X}$野原を越えて${\displaystyle k}$基点が不要で、関連する射が

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {P} _{k}^{n}}$

没入体験です。${\displaystyle n=h^{0}(X,L)-1}$同等に、${\displaystyle L}$非常に豊富です${\displaystyle X}$ある次元の射影空間に埋め込むことができる${\displaystyle k}$そのような方法で${\displaystyle L}$ラインバンドルの制限${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$に${\displaystyle X}$^{[ 8 ]}後者の定義は、任意の可換環上の適切なスキーム上の線束の非常に豊富さを定義するために用いられる。^{[ 9 ]}

「非常に豊富」という名称は、1961年にアレクサンダー・グロタンディークによって導入されました。 ^{[ 10 ]}それ以前には、線形因子システムの文脈でさまざまな名称が使用されていました。

非常に豊富な回線バンドル${\displaystyle L}$適切な計画に基づいて${\displaystyle X}$関連する射を持つ体上${\displaystyle f}$、その程度${\displaystyle L}$カーブで${\displaystyle C}$で${\displaystyle X}$の度合いは${\displaystyle f(C)}$曲線として$\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$。 それで${\displaystyle L}$すべての曲線に正の次数があります${\displaystyle X}$（射影空間のすべての部分多様体は正の次数を持つため）。^{[ 11 ]}

十分な線束は、適切なスキームで最もよく使用されますが、より広い一般性をもって定義することもできます。

Xをスキームとし、$\displaystyle {\mathcal {L}}}$X上の可逆層とする。各${\displaystyle x\in X}$、 させて${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$xのみでサポートされる縮小部分スキームのイデアル層を表す。$\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})}$、 定義する $${\displaystyle X_{s}=\{x\in X\colon s_{x}\not \in {\mathfrak {m}}_{x}{\mathcal {L}}_{x}\}.}$$ 同様に、${\displaystyle \kappa (x)}$xにおける剰余体を表す( xを支点とする超高層ビル層とみなす)、 $${\displaystyle X_{s}=\{x\in X\colon {\bar {s}}_{x}\neq 0\in \kappa (x)\otimes {\mathcal {L}}_{x}\},}$$ どこ${\displaystyle {\bar {s}}_{x}}$は、テンソル積におけるsの像である。

修理$\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})}$。すべてのsに対して、制限${\displaystyle {\mathcal {L}}|_{X_{s}}}$無料です${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$sの制限によって自明化されたモジュール、つまり s による乗算射$\displaystyle {\mathcal {O}}_{X_{s}}\to {\mathcal {L}}|_{X_{s}}}$同型写像である。${\displaystyle X_{s}}$は常に開いており、包含射影は${\displaystyle X_{s}\to X}$アフィン射である。それにもかかわらず、${\displaystyle X_{s}}$アフィンスキームである必要はありません。たとえば、${\displaystyle s=1\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}$、 それから${\displaystyle X_{s}=X}$それ自体は開集合であり、それ自身に対してアフィンであるが、一般にはアフィンではない。

Xが準コンパクトであると仮定する。すると$\displaystyle {\mathcal {L}}}$は、すべての${\displaystyle x\in X}$存在する${\displaystyle n\geq 1}$そして$\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$そのため${\displaystyle x\in X_{s}}$そして${\displaystyle X_{s}}$アフィンスキームである。^{[ 12 ]}例えば、自明な線束${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$Xが準アフィンである場合に限り、十分である。^{[ 13 ]}

一般的に、すべての${\displaystyle X_{s}}$アフィンである。たとえば、${\displaystyle X=\mathbf {P} ^{2}\setminus \{O\}}$ある点Oに対して、そしてもし$\displaystyle {\mathcal {L}}}$制限は${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)}$Xへ、そして$\displaystyle {\mathcal {L}}}$そして${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)}$同じグローバルセクションを持ち、セクションの非消滅軌跡$\displaystyle {\mathcal {L}}}$は、対応するセクションがアフィンである場合に限りアフィンである。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)}$Oが含まれています。

権限を認める必要がある$\displaystyle {\mathcal {L}}}$定義において。実際、すべてのNに対して、${\displaystyle X_{s}}$すべての$\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$と${\displaystyle n\leq N}$実際、Z は点の有限集合であると仮定します。${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$、${\displaystyle X=\mathbf {P} ^{2}\setminus Z}$、 そして${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)|_{X}}$セクションの消失軌跡${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes N}}$これらは次数Nの平面曲線です。Zを一般位置にある十分大きな点の集合とすることで、次数Nの平面曲線(したがってそれより低い次数) がZのすべての点を含まないことを保証できます。特に、それらの非零軌跡はすべて非アフィンです。

定義する${\displaystyle \textstyle S=\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$。 させて${\displaystyle p\colon X\to \operatorname {Spec} \mathbf {Z} }$構造的射を表す。 の間には自然な同型性がある。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-代数準同型写像${\displaystyle \textstyle p^{*}({\tilde {S}})\to \bigoplus _{n\geq 0}{\mathcal {L}}^{\otimes n}}$そして次数付き環Sの自己準同型。S の恒等自己準同型は準同型に対応する。${\displaystyle \varepsilon }$適用する${\displaystyle \operatorname {Proj} }$ファンクターは、Xの開部分スキームから射を生成します。${\displaystyle G(\varepsilon )}$、 に${\displaystyle \operatorname {Proj} S}$。

十分な可逆層の基本的な特徴付けは、Xが準コンパクト準分離スキームであり、${\displaystyle {\mathcal {L}}}$X上の可逆層である場合、次の主張は同等である: ^{[ 14 ]}

1. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$十分です。
2. オープンセット${\displaystyle X_{s}}$、 どこ${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$そして${\displaystyle n\geq 0}$Xのトポロジーの基礎を形成する。
3. オープンセット${\displaystyle X_{s}}$アフィンの性質を持ち、${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})}$そして${\displaystyle n\geq 0}$Xのトポロジーの基礎を形成する。
4. ${\displaystyle G(\varepsilon )=X}$そして射${\displaystyle G(\varepsilon )\to \operatorname {Proj} S}$圧倒的にオープンな没入型学習である。
5. ${\displaystyle G(\varepsilon )=X}$そして射${\displaystyle G(\varepsilon )\to \operatorname {Proj} S}$これは、 Xの基礎となる位相空間と、その像との間の同相写像である。
6. 準連接層ごとに${\displaystyle {\mathcal {F}}}$X上の正準マップ${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}^{\otimes n})\otimes _{\mathbf {Z} }{\mathcal {L}}^{\otimes {-n}}\to {\mathcal {F}}}$は全射である。
7. 準整合的なイデアルの束ごとに${\displaystyle {\mathcal {J}}}$X上の正準マップ${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {J}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}^{\otimes n})\otimes _{\mathbf {Z} }{\mathcal {L}}^{\otimes {-n}}\to {\mathcal {J}}}$は全射である。
8. 準連接層ごとに${\displaystyle {\mathcal {F}}}$X上の有限型の場合、整数が存在する${\displaystyle n_{0}}$そのため、${\displaystyle n\geq n_{0}}$、${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {L}}^{\otimes n}}$は、そのグローバルセクションによって生成されます。
9. 準連接層ごとに${\displaystyle {\mathcal {F}}}$X上の有限型の場合、整数が存在する。${\displaystyle n>0}$そして${\displaystyle k>0}$そのため${\displaystyle {\mathcal {F}}}$は商と同型である${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes (-n)}\otimes {\mathcal {O}}_{X}^{k}}$。
10. 準整合的なイデアルの束ごとに${\displaystyle {\mathcal {J}}}$X上の有限型の場合、整数が存在する。${\displaystyle n>0}$そして${\displaystyle k>0}$そのため${\displaystyle {\mathcal {J}}}$は商と同型である${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes (-n)}\otimes {\mathcal {O}}_{X}^{k}}$。

Xがアフィンスキーム上の分離有限型である場合、可逆層${\displaystyle {\mathcal {L}}}$は、正の整数rが存在して、テンソルのべき乗が${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes r}}$非常に豊富である。^{[ 15 ] [ 16 ]}特に、R上の適切なスキームが豊富な線束を持つのは、それがR上で射影的である場合のみである。多くの場合、この特徴付けは豊富性の定義として採用される。

この記事の残りの部分では、最も重要なケースである、体上の適切なスキームにおける豊富性について重点的に説明します。体上の適切なスキームX上の豊富な線束は、非常に豊富な線束に関する対応する記述により、X内のすべての曲線上で正の次数を持ちます。

体k上の適切なスキームX上のカルティエ因子Dは、対応する線束O ( D ) が豊富である場合に豊富であると言われる。（例えば、X がk上で滑らかである場合、カルティエ因子は、整数係数を持つXの閉じた余次元 1 の部分多様体の有限線形結合と同一視できる。）

「非常に豊富」という概念を「豊富」に弱めることで、多様な特徴付けを持つ柔軟な概念が得られます。まず、豊富な線束の高次の項を任意の連接層とテンソル結合すると、多くの大域的切断を持つ層が得られます。より正確には、体（またはより一般的にはネーター環）上の適切なスキームX上の線束Lは、 X上の任意の連接層Fに対して、層が となるような整数sが存在する場合に限り、豊富です。${\displaystyle F\otimes L^{\otimes r}}$全世界で生成されています${\displaystyle r\geq s}$ここでsはFに依存する可能性がある。^{[ 17 ] [ 18 ]}

豊富さのもう1つの特徴付けは、カルタン・セール・グロタンディークの定理として知られており、連接層コホモロジーの観点から行われます。すなわち、体（またはより一般的にはネーター環）上の適切なスキームX上の線束Lは、 X上の任意の連接層Fに対して、ある整数sが存在し、

${\displaystyle H^{i}(X,F\otimes L^{\otimes r})=0}$

すべての人々のために${\displaystyle i>0}$そしてすべて${\displaystyle r\geq s}$[ ^{19 ] [ 18 ]}特に、豊富な直線束の高次のべき乗は、正の次数でコホモロジーを消滅させる。この含意は、^ジャン＝ピエール・セールが1955年の論文「Faisceaux algébriques cohérents 」で証明したセール消滅定理と呼ばれる。

射影多様体X上の与えられた直線束が豊富かどうかを判定するには、次の数値基準(交点数による) が最も有用であることが多い。これは、X上のカルティエ因子Dが豊富、つまり関連する直線束O ( D ) が豊富である場合を問うことと同等である。交点数${\displaystyle D\cdot C}$は、 Cに制限された線束O ( D )の次数として定義できます。反対に、射影多様体上の線束Lに対して、第 1 チャーン類は${\displaystyle c_{1}(L)}$とは、関連するカルティエ因子（線形同値を除いて定義される）であり、 Lの任意の非ゼロ有理セクションの因子である。

代数的に閉じた体k上の滑らかな射影曲線Xにおいて、直線束Lが非常に豊富であるのは、次の場合に限る。${\displaystyle h^{0}(X,L\otimes O(-x-y))=h^{0}(X,L)-2}$Xのすべてのk有理点x、yに対して。^{[ 23 ]} g をXの種数とする。リーマン・ロッホの定理により、次数が2g + 1以上のすべての線束はこの条件を満たし、したがって非常に豊富である。結果として、曲線上の線束は、次数が正である場合に限り豊富である。^{[ 24 ]}  

例えば、正規バンドル${\displaystyle K_{X}}$曲線Xの次数は 2 g − 2 であり、したがって、十分であるのは、  ${\displaystyle g\geq 2}$十分な正準束を持つ曲線は重要なクラスを形成します。例えば、複素数体上では、これらは負の曲率の計量を持つ曲線です。正準束が非常に豊富であるのは、次の場合に限ります。${\displaystyle g\geq 2}$そして曲線は超楕円曲線ではない。^{[ 25 ]}

中井-モイシェゾン判定基準（吉和中井（1963）とボリス・モイシェゾン（1964）にちなんで命名）によれば、体上の適切なスキームX上の直線束Lは、次の場合に限り豊富である。${\displaystyle \int _{Y}c_{1}(L)^{{\text{dim}}(Y)}>0}$Xの任意の（既約）閉部分多様体Yに対して（Yは点であってはならない）。^{[ 26 ]}因子に関して言えば、カルティエ因子D は、次の場合に限り豊富である。${\displaystyle D^{{\text{dim}}(Y)}\cdot Y>0}$Xの任意の (非ゼロ次元) 部分多様体Yに対して。曲線Xの場合、これは、因子が正の次数を持つ場合に限り、因子が豊富であることを意味している。曲面Xの場合、この基準は、因子Dが自己交差数がである場合に限り、因子が豊富であることを意味している。${\displaystyle D^{2}}$は正であり、 X上のすべての曲線Cは${\displaystyle D\cdot C>0}$。

クライマンの基準（1966）を述べるために、 X を体上の射影スキームとする。${\displaystyle N_{1}(X)}$Xの曲線の実線形結合である 1-サイクルの実ベクトル空間を数値的等価性で定義する。つまり、2 つの 1-サイクルAとBは、${\displaystyle N_{1}(X)}$すべての直線束がAとB上で同じ次数を持つ場合に限り、 が成り立つ。ネロン・セヴェリの定理により、実ベクトル空間は${\displaystyle N_{1}(X)}$有限次元を持つ。クライマンの基準によれば、 X上の直線束Lは、 L が曲線錐NE( X )の閉包のすべての非零要素C上で正の次数を持つ場合に限り、豊富である。${\displaystyle N_{1}(X)}$（これは、 L がすべての曲線上で正の次数を持つと言うよりもやや強い表現です。）言い換えれば、線束が豊富であるのは、双対ベクトル空間におけるそのクラスが十分である場合に限ります。${\displaystyle N^{1}(X)}$ネフ円錐の内部にある。^{[ 27 ]}

クライマンの基準は、体上の適切な（射影的ではない）スキームXに対しては一般には成り立たないが、 X が滑らかであるか、より一般的にはQ階乗である場合は成り立つ。^{[ 28 ]}

射影多様体上の線束は、すべての曲線上で正の次数を持つ場合、厳密にネフであると呼ばれる。永田（1959）とデイビッド・マンフォードは、滑らかな射影曲面上に厳密にネフであるが十分ではない線束を構成した。これは、条件が${\displaystyle c_{1}(L)^{2}>0}$Nakai–Moishezonの基準では省略できず、 Kleimanの基準ではNE( X )ではなくNE( X )の閉包を使用する必要がある。 ^{[ 29 ]}曲面上のすべてのネフ線束は${\displaystyle c_{1}(L)^{2}\geq 0}$永田とマンフォードの例は${\displaystyle c_{1}(L)^{2}=0}$。

CS Seshadri は、代数的に閉じた体上の適切なスキーム上の線束Lが豊富であることは、 X内のすべての (既約) 曲線Cに対して deg( L | _C ) ≥ ε m ( C ) となるような正の実数 ε が存在する場合に限ることを示した。ここで、m ( C ) はCの点における重複度の最大値である。^{[ 30 ]}

体k上の適切な代数空間上の線束については、より一般的にいくつかの豊富性の特徴付けが成り立つ。特に、Nakai-Moishezon の基準はその一般性において有効である。^{[ 31 ]} Cartan-Serre-Grothendieck の基準は、ネーター環R上の適切な代数空間に対して、さらに一般的に成り立つ。^{[ 32 ]} ( R上の適切な代数空間が豊富な線束を持つ場合、それは実際にはR上の射影スキームである。) Kleiman の基準は、 Xが滑らかであっても、体上の適切な代数空間Xに対しては成り立たない。^{[ 33 ]}

体上の射影スキームXにおいて、クライマンの基準は、 R因子 (カルティエ因子のR線形結合)のクラスに対する十分性が開かれた条件であることを示唆している。${\displaystyle N^{1}(X)}$実数の位相に基づいた位相を持つ。（R因子は、十分なカルティエ因子の正の線形結合として表せる場合に十分であると定義される。^{[ 34 ]}）基本的な特殊ケースは、十分な因子Hと任意の因子Eに対して、ある正の実数bが存在し、${\displaystyle H+aE}$は、絶対値がbより小さいすべての実数aに対して十分である。整数係数を持つ約数（または線束）の観点から言えば、これは、十分に大きなすべての正の整数nに対してnH + Eが十分であることを意味する。

代数族において多様体または線束が変化する場合には、豊富さは全く異なる意味での開条件でもある。すなわち、${\displaystyle f\colon X\to Y}$をスキームの適切な射とし、L をX上の線束とする。このとき、 Lがファイバー上で豊富となるようなY内の点yの集合は${\displaystyle X_{y}}$（ザリスキー位相において）開いている。より強く言えば、Lが1つのファイバー上で豊富である場合${\displaystyle X_{y}}$すると、 yのアフィン開近傍Uが存在し、Lは 上で豊富である。${\displaystyle f^{-1}(U)}$U上。^{[ 35 ]}

クライマンはまた、豊富さの定義と数値基準の中間段階と見なせる以下の豊富さの特徴付けを証明した。すなわち、体上の適切なスキームX上の直線束Lに対して、以下は同値である。^{[ 36 ]}

• Lは十分である。
• すべての（還元不可能な）部分多様体に対して${\displaystyle Y\subset X}$正の次元の場合、正の整数rとセクションが存在する${\displaystyle s\in H^{0}(Y,{\mathcal {L}}^{\otimes r})}$これは完全にゼロではなく、 Yのある点で消滅します。
• すべての（還元不可能な）部分多様体に対して${\displaystyle Y\subset X}$正の次元の場合、Y上のLのべき乗の正則オイラー標数は無限大になる。

${\displaystyle \chi (Y,{\mathcal {L}}^{\otimes r})\to \infty }$として${\displaystyle r\to \infty }$。

ロビン・ハートショーンは、体上の射影スキームX上のベクトル束F が、線束が${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$宇宙で${\displaystyle \mathbb {P} (F)}$Fの超平面の数は十分である。^{[ 37 ]}

豊富な線束のいくつかの性質は、豊富なベクトル束にも拡張される。例えば、ベクトル束Fが豊富であるのは、 Fの高次の対称べき乗がコホモロジーを消滅させる場合に限る。${\displaystyle H^{i}}$すべての連接層の${\displaystyle i>0}$[ ^{38 ]}また、^チャーンクラス${\displaystyle c_{r}(F)}$十分なベクトル束の次数は、Xの任意のr次元部分多様体上で正の次数を持つ。${\displaystyle 1\leq r\leq {\text{rank}}(F)}$[ ^{39 ]​}

特に双有理幾何学において、豊富さの概念を弱める有用な方法として、大きな線束の概念がある。体上の次元nの射影多様体X上の線束Lは、正の実数aと正の整数 aが存在する場合に大きいと言われる。${\displaystyle j_{0}}$そのため${\displaystyle h^{0}(X,L^{\otimes j})\geq aj^{n}}$すべての人々のために${\displaystyle j\geq j_{0}}$これは、 Lのべき乗の切断空間の最大可能な成長率であり、 X上の任意の直線束Lに対して、正の数bが存在し、${\displaystyle h^{0}(X,L^{\otimes j})\leq bj^{n}}$すべてのj > 0に対して。^{[ 40 ]}

大きな線束には他にもいくつかの特徴付けがあります。まず、線束が大きいのは、Xからへの有理写像が正の整数rで となる場合のみです。${\displaystyle \mathbb {P} (H^{0}(X,L^{\otimes r}))}$セクションによって与えられる${\displaystyle L^{\otimes r}}$は像に対して双有理である。 ^{[ 41 ]}また、線束Lが大きいのは、それが十分な線束Aと有効な線束Bのテンソル積である正のテンソル冪を持つ場合のみである（つまり、${\displaystyle H^{0}(X,B)\neq 0}$[ ^{42 ]}最後に、線束は、そのクラス^が${\displaystyle N^{1}(X)}$は有効因子の錐の内部にある。^{[ 43 ]}

大きさは、豊富さの双有理不変な類似物と見なすことができる。例えば、${\displaystyle f\colon X\to Y}$が同じ次元の滑らかな射影多様体間の支配的な有理写像である場合、 Y上の大きな線束の引き戻しはX上で大きい。(一見すると、引き戻しはfが射であるXの開部分集合上の線束にすぎないが、これは一意的にX全体の線束に拡張される。) 豊富な線束については、有限射による豊富な線束の引き戻しは豊富であるとしか言えない。^{[ 20 ]}

例：Xを射影平面の拡大図とする${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$複素数上の点において。Hを、上の直線のXへの引き戻しとする。${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$、そしてEをブローアップの例外曲線とする。${\displaystyle \pi \colon X\to \mathbb {P} ^{2}}$すると、因子H + EはX上で大きいが十分ではない (あるいはネフでもない) 。なぜなら

${\displaystyle (H+E)\cdot E=E^{2}=-1<0.}$

この負性は、 H + E (または任意の正の倍数)の基底軌跡が曲線Eを含むことも意味します。実際、この基底軌跡はEに等しくなります。

• 射影空間の代数幾何学
• ファノ多様体：正準束が反豊富である多様体
• 松坂の大定理
• 除法スキーム：線束の豊富な族を許容するスキーム

• 正則ベクトル束
• 小平埋め込み定理：コンパクトな複素多様体上では、豊富性と正値性が一致する。
• 小平の消失定理
• レフシェッツ超平面定理：複素射影多様体Xの豊富因子は、位相的にXと類似している。