量子数

量子物理学および量子化学において、量子数は系の可能な状態を特徴づける量である。水素原子中の電子の状態を完全に特定するには、4つの量子数が必要である。従来の量子数には、主量子数、方位量子数、磁気量子数、スピン量子数が含まれる。他の系を記述するには、異なる量子数が必要となる。素粒子の場合、クォークのフレーバーなど、古典的な対応関係を持たない新しい量子数を導入する必要がある。

量子数は観測量の固有値と密接に関係している。対応する観測量が系のハミルトニアンと可換である場合、その量子数は「良い」量子数と呼ばれ、量子力学における運動の保存量として機能する。

歴史

電子量子数

マックス・プランクが黒体放射モデルで量子を提案した（1900年）ことと、アルベルト・アインシュタインが光電効果を説明するためにその概念を応用した（1905年）こと、そしてエルヴィン・シュレーディンガーが1926年に固有関数方程式を発表するまでの古い量子論の時代^[¹^] 、量子数の背後にある概念は、原子分光法と、追加のアドホックな制約を伴う古典力学の理論に基づいて発展した。^[²^]^：¹⁰⁶原子分光法からの多くの結果は、整数ステップで関連付けられた2つのエネルギー系列の差を含むリュードベリの公式にまとめられていた。1913年にニールス・ボーアによって最初に提案された原子モデルは、単一の量子数に依存していた。放射吸収は古典的ではないというボーアの制約と合わせて、リュードベリの原子スペクトル公式のバルマー系列の部分を説明することができた。^[³^]

ボーアがその後のノーベル賞受賞講演で指摘しているように、次の段階は1915年にアーノルド・ゾンマーフェルトによって踏み出された。 ^{[ 4 ]}ゾンマーフェルトの原子モデルは、2番目の量子数と、それを正当化するための量子化された位相積分の概念を追加した。^{[ 5 ]}^{: 207}ゾンマーフェルトのモデルは、電子が平面内を軌道運動しているというモデル化で、本質的にはまだ2次元であった。1919年、彼は量子化された位相積分の代わりに「空間量子化」を使用して、研究を3次元に拡張した。^{[ 6 ]}^{: 152}カール・シュヴァルツシルトとゾンマーフェルトの弟子であるポール・エプスタインは、3番目の量子数を追加することでシュタルク効果の結果を完全に説明できることをそれぞれ独立に示しました。

空間量子化の結果として、電子の軌道と外部磁場との相互作用も量子化されることになる。これは、シュテルン＝ゲルラッハ実験の結果が不均一な磁場中の銀原子について量子化された結果を報告したことで確認されたように思われた。しかし、この確認は時期尚早であることが判明した。より多くの量子数が必要となるだろう。^{[ 7 ]}

原子時代の第 4 番目と第 5 番目の量子数は、ゼーマン効果を理解しようとする試みから生まれた。シュテルン＝ゲルラッハ実験と同様に、ゼーマン効果は原子と磁場との相互作用を反映している。弱い磁場では、実験結果は「異常」と呼ばれ、当時のどの理論とも異なっていた。この問題に対するヴォルフガング・パウリの解決策は、2 つの値しか取らない別の量子数を導入することであった。 $\pm \hbar /2$ [ ⁸^]これは最終的に、電子の固有角運動量量子であるスピンの射影の量子化された値となる。1927年、^ロナルド・G・J・フレイザーは、シュテルン＝ゲルラッハ実験における量子化は、電子の軌道角運動量ではなく、電子スピンに関連する磁気モーメントによるものであることを実証した。^{[ 7 ]}パウリが古典モデルに頼らずにスピン量子数の議論を展開することに成功したことで、20世紀後半における素粒子の量子数の開発の土台が築かれた。^{[ 8 ]}

ボーアは、アウフバウ原理（構築原理）とパウリの排他原理によって、原子の電子量子数を原子の性質を予測するための枠組みに結びつけた。^{[ 9 ]}シュレーディンガーが波動方程式を発表し、水素のエネルギー準位を計算したとき、これら2つの原理は原子物理学の基礎となった。

原子核量子数

原子のモデルが成功したことで、物理学の関心は原子核のモデルへと移った。1932年のハイゼンベルクによる陽子と中性子の結合に関する初期モデルに始まり、 1937年にはユージン・ウィグナーがアイソスピンを導入した。これは、実時空の対称性とは無関係な最初の「内部」量子数である。^{[ 10 ]}^{： 45}

対称性との関連性

量子力学が発展するにつれて、抽象化が進み、対称性と不変性に基づくモデルがますます重要な役割を果たすようになった。量子波動方程式の研究の2年前、シュレーディンガーはエミー・ネーターとヘルマン・ワイルによって生み出された対称性の考え方を電磁場に適用した。^{[ 11 ]}^{: 198} 1930年代と1940年代に量子電磁力学が発展するにつれて、群論が重要なツールとなった。1953年までに、陳寧楊は群論を適用して核衝突の保存量子数を核子の場理論の対称性と結びつけることができるという考えに夢中になった。^{[ 11 ]}^{: 202}楊はロバート・ミルズとともに、核アイソスピン量子数の保存に基づく非可換ゲージ理論を開発した。

物件

量子数の数はシステムごとに異なり、普遍的な答えはありません。したがって、これらのパラメータは解析する各システムごとに見つける必要があります。量子化されたシステムには、少なくとも1つの量子数が必要です。任意の量子システムのダイナミクス（つまり時間発展）は、ハミルトニアン $H$ の形式の量子演算子によって記述されます。システムのエネルギーに対応する量子数が1つあります。つまり、ハミルトニアンの固有値の1つです。また、ハミルトニアンと可換な各線形独立演算子 O に対しても1つの量子数があります。ハミルトニアンと可換な $可$ 換観測量の完全なセット（CSCO）は、すべての量子数を持つシステムを特徴付けます。量子数と CSCO の演算子の間には1対1の関係があり、各量子数は対応する演算子の固有値の1つをとります。可換演算子の完全なセットを構成するために任意に選択できる基底が異なるため、同じシステムを記述するために、状況によって異なる量子数のセットが使用される可能性がある。

良い量子数

量子数の特定のカテゴリーは「良い」量子数と呼ばれ、ハミルトニアンと可換な演算子の固有値に対応し、システムのエネルギーと同時に高精度で知ることができる量です。具体的には、ハミルトニアンと可換な観測量は同時にハミルトニアンと対角化可能であり、したがって固有値は $a$ また、エネルギー（ハミルトニアンの固有値）は、非可換性から生じる不確定性関係によって制限されません。量子系のすべての量子数の指定は、系の基底状態を完全に特徴づけ、原理的には一緒に測定することができます。量子力学では、多くの観測量が離散スペクトル（固有値の集合）を持つため、その量は離散値でしか測定できません。特に、これは量子数が整数または半整数の離散集合の値をとることを意味しますが、場合によっては無限大に近づくこともあります。

水素原子に似た原子中の電子

水素様原子における電子のエネルギー準位は、4つの量子数で完全に記述できる。

主量子数（ $n$ ）
方位量子数( $ℓ$ )
磁気量子数( $mℓ)$
スピン磁気量子数( $m s$ )

これらの量子数は、原子核粒子の状態（例えば陽子や中性子）の古典的な記述にも用いられます。分子軌道の量子力学的記述には、分子系の対称性が異なるため、別の量子数が必要となります。

主量子数

主量子数は原子の電子殻を表します $。n$ の値は 1 からその原子の最外殻電子を含む殻までです。つまり^{[ 12 ]} $n=1,2,\ldots$

例えば、セシウム（Cs）では、最外殻の価電子はエネルギー準位6の殻にあるため、セシウムの電子は1から6までの $n値を取ることができます。電子と原子核間の平均距離は$ $n$ とともに増加します。

方位量子数

方位角量子数（軌道角運動量量子数とも呼ばれる）は、副殻を記述し、次の関係式によって軌道角運動量の大きさを表します。 $L^{2}=\hbar ^{2}\ell (\ell +1).$

化学および分光法では、 $ℓ = 0$ は s 軌道、 $ℓ = 1$ は p 軌道、 $ℓ = 2$ は d 軌道、 $ℓ = 3$ は f 軌道と呼ばれます。

$ℓ$ の値は0 から $n - 1$ までなので、最初の p 軌道 ( $ℓ = 1$ ) は第 2 電子殻 ( $n = 2$ ) に現れ、最初の d 軌道 ( $ℓ = 2$ ) は第 3 殻 ( $n = 3$ ) に現れる、といった具合です。^{[ 13 ]} $\ell =0,1,2,\ldots ,n-1$

$n = 3$ 、 $ℓ = 0$ から始まる量子数は、原子の第 3 電子殻の s 軌道にある電子を表します。化学において、この量子数は原子軌道の形状を規定し、化学結合や結合角に強く影響するため、非常に重要です。方位量子数は、軌道に存在する角度ノードの数を表すこともできます。例えば、p 軌道の場合、 $ℓ = 1 で$ あり、したがって ap 軌道の角度ノードの数は 1 です。

磁気量子数

磁気量子数は、サブシェル内の特定の軌道を記述し、指定された軸に沿った軌道角運動量の射影を与える。 $L_{z}=m_{\ell }\hbar$

$m ℓ$ の値は $- ℓ$ $からℓ$ まで整数間隔で変化する。^{[ 14 ]}

s副殻（ $ℓ = 0$ ）には軌道が1つしか含まれていないため、s軌道内の電子の $mℓ は常に0になります。p副殻（$ $ℓ = 1$ ）には3つの軌道が含まれているため、ap軌道内の電子の $mℓ は-1、0、または1になります。d副殻（$ $ℓ = 2$ ）には5つの軌道が含まれており、 $mℓ の$ 値は-2、-1、0、1、および2です。

スピン磁気量子数

スピン磁気量子数は、各軌道内の電子の固有スピン角運動量を表し、指定された軸に沿ったスピン角運動量 $Sの射影を示します。$ $S_{z}=m_{s}\hbar$

$一般に、 m s$ の値は $- s$ から $s$ の範囲であり、 $s$ は粒子の固有スピン角運動量の大きさに関連付けられたスピン量子数です。^{[ 15 ]} $m_{s}=-s,-s+1,-s+2,\cdots ,s-2,s-1,s$

電子の状態はスピン数 s = 1/2 を持ち、 $したがって m s は +1/2$ ( $「スピン$ $アップ$ 」 ) または−1/2 ( 「スピンダウン」 ) $の$ 状態になります。電子はフェルミオンであるため、パウリの排他原理に従います。つまり、各電子の状態は異なる量子数を持つ必要があります。したがって、各軌道には最大で 2 つの電子が占有され、それぞれのスピン状態に対応します。

アウフバウの原理とフントの法則

多電子原子は、核電荷が大きく、それに伴って電子数も多い水素様原子として定性的にモデル化できる。このような原子における電子状態の占有は、アウフバウ原理と量子数に関するフントの経験則によって予測できる。アウフバウ原理は、主量子数と方位量子数に基づいて軌道を占有する（ $n + ℓ$ が最も小さいものから順に、同数の場合には $n が$ 最も小さいものから順に優先する。フントの規則は、不対電子を最外殻軌道に優先的に配置することを示している）。これらの規則は経験的なものだが、電子物理学と関連付けることができる。^{[ 16 ]}^{: 10}^{[ 17 ]}^{: 260}

スピン軌道結合系

スピン軌道相互作用を考慮すると、 $L$ 演算子と $S演算子は$ ハミルトニアンと交換しなくなり、システムの固有状態は明確に定義された軌道角運動量とスピンを持たなくなります。したがって、別の量子数のセットを使用する必要があります。このセットには^[¹⁸^]^[¹⁹^{]が含まれます。}

全角運動量量子数： $j=|\ell \pm s|,$ これは、関係式によって全角運動量を与える。 $J^{2}=\hbar ^{2}j(j+1).$
全角運動量を特定の軸に沿って投影したもの： $m_{j}=-j,-j+1,-j+2,\cdots ,j-2,j-1,j$ 上記に類似し、両方を満たす $m_{j}=m_{\ell }+m_{s},$ そして $|m_{\ell }+m_{s}|\leq j.$
パリティこれは反射の固有値であり、偶数 $ℓ$ から来た状態の場合は正 (+1) 、奇数 $ℓ$ から来た状態の場合は負 (-1) になります。前者は偶数パリティ、後者は奇数パリティとも呼ばれ、次のように表されます。 $P=(-1)^{\ell }.$

例えば、量子数によって定義される以下の8つの状態を考えてみましょう。

このシステムの量子状態は、これら8つの状態の線形結合として記述できます。しかし、スピン軌道相互作用が存在する場合、同じシステムをハミルトニアンの固有ベクトルである8つの状態（つまり、それぞれが時間とともに他の状態と混ざり合わない状態を表す）で記述したい場合は、次の8つの状態を考慮する必要があります。

原子核

原子核では、陽子と中性子（核子）の集合体全体が、各核子の角運動量による合成角運動量を持ち、通常 $I$ で表される。中性子の全角運動量が $j n = ℓ + s$ 、陽子の全角運動量が $j p = ℓ + s$ （陽子と中性子の $s$ はどちらも1/2となる（注を参照））である場合、核角運動量量子数 $Iは$ 次のように与えられる。 $I=|j_{n}-j_{p}|,|j_{n}-j_{p}|+1,|j_{n}-j_{p}|+2,\cdots ,(j_{n}+j_{p})-2,(j_{n}+j_{p})-1,(j_{n}+j_{p})$ 注：原子核（および原子）状態の軌道角運動量はすべてħの整数倍ですが、中性子と陽子の固有角運動量は半整数倍です。核子の固有スピンと軌道運動の組み合わせによって、奇数Aの原子核の全スピン $I$ は常に半整数値になり、偶数Aの原子核の全スピンIは常に整数値になることは、すぐに明らかでしょう。

$核角運動量の状態をラベル付けするために、 I の$ 数とのパリティが使用されます。水素(H)、炭素(C)、ナトリウム(Na) のいくつかの同位体の例としては、次のものがあります。^{[ 20 ]}

$わずか 1 つの核子の違いであってもI$ に異常な変動が生じる理由は、陽子と中性子の奇数と偶数によるものです。核子のペアは (軌道上の電子のように) 合計角運動量がゼロになり、奇数または偶数の不対核子が残ります。核スピンの特性は、外部磁場と相互作用する核磁気モーメントのため、有機化学におけるNMR分光法^[¹⁹^]および核医学におけるMRI [ ²¹^]の動作にとって重要な要素^です。

素粒子

素粒子は多くの量子数を含んでおり、それらは通常、素粒子固有のものであると言われています。しかし、素粒子は素粒子物理学の標準模型の量子状態であり、したがって、これらの粒子の量子数は、ボーア原子の量子数がそのハミルトニアンに対して持つ関係と同じ関係を、この模型のハミルトニアンに対して持ちます。言い換えれば、各量子数は問題の対称性を表します。量子場理論においては、時空対称性と内部対称性を区別する方がより有用です。

時空対称性に関連する代表的な量子数としては、スピン（回転対称性に関連）、パリティ、Cパリティ、Tパリティ（時空のポアンカレ対称性に関連）などがある。代表的な内部対称性としては、レプトン数、バリオン数、または電荷などが挙げられる。（この種の量子数の完全なリストについては、フレーバーに関する記事を参照のこと。）

乗法量子数

ほとんどの保存量子数は加法的であるため、素粒子反応では、反応前と反応後で量子数の合計は同じになるはずです。しかし、パリティと呼ばれる一部の量子数は乗法的です。つまり、その積は保存されます。すべての乗法的量子数は、（パリティのように）対称性に属しており、その対称性変換を2回適用することは、何もしないこと（対合）と同等です。

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