切断された四次元方位

幾何学において、切頂四次元方位図は、正四次元方位図の切頂として形成される均一な 4 次元多面体です。

切り捨てには、ビット切り捨てと、切り捨てられた 16 セルを作成するトリ切り捨て の 3 種類があります。

切頂四次元方陣は、8 つの切頂立方体と 16 個の四面体、合計 24 個のセルによって囲まれています。

• 切頂四次元体 (ノーマン W. ジョンソン)
• 切頂四次元方位図（略称tat）（ジョージ・オルシェフスキー、ジョナサン・バウワーズ）^[1]

切断された四次元方陣は、四次元方陣の頂点を辺の長さの で切断することによって構築できます。切断された各頂点に正四面体が形成されます。${\displaystyle 1/({\sqrt {2}}+2)}$

辺の長さが 2 である切頂四次元体の頂点の 直交座標は、次のすべての順列によって与えられます。

${\displaystyle \left(\pm 1,\ \pm (1+{\sqrt {2}}),\ \pm (1+{\sqrt {2}}),\ \pm (1+{\sqrt {2}})\right)}$

切頂立方体の最初の平行投影である切頂四次元方陣を 3 次元空間に投影すると、画像は次のようにレイアウトされます。

• 投影エンベロープは立方体です。
• 切り取られた立方体セルのうち 2 つは、立方体のエンベロープに内接する切り取られた立方体に投影されます。
• 他の 6 つの切り取られた立方体は、封筒の正方形の面に投影されます。
• 中央の切頂立方体の外殻と三角形の面の間にある 8 つの四面体ボリュームは、16 個の四面体のイメージであり、各イメージには 1 組のセルがあります。

切頂四次元 方陣は、切頂超立方体のシーケンスの 3 番目です。

ビットランケート四次元方陣、ビットランケート16セル、またはテッセラクティヘキサデカコロンは、ビットランケーション演算を四次元方陣に適用することで構築されます。これは、ランシカンテラテッド四次元方陣の頂点の半分を持つランシカンティック四次元方陣とも呼ばれます。工事。

• 二分円四面体/ランシカンティック四面体 (ノーマン W. ジョンソン)
• テッセラクティヘキサデカコロン（略称tah）（ジョージ・オルシェフスキー、ジョナサン・バワーズ）^[2]

四角形は、セルを中点を超えて切り取ることで二重切り取られ、8 つの立方体が 8 つの切頂八面体になります。これらは依然として正方形の面を共有していますが、六角形の面は切頂四面体を形成し、三角形の面を互いに共有します。

辺の長さが 2 であるビットトランケーテッド テッセラクト頂点の 直交座標は、次のすべての順列によって与えられます。

${\displaystyle \left(0,\ \pm {\sqrt {2}},\ \pm 2{\sqrt {2}},\ \pm 2{\sqrt {2}}\right)}$

切頂八面体は正方形の面で互いに接続され、切頂四面体とは六角形の面で接続されています。切頂四面体は三角形の面で互いに接続されています。

二面切り四面体を 3D 空間に切り取られた八面体から先に投影すると、切り取られた立方体の外殻が形成されます。切り取られた八面体セルのうち 2 つは、この外殻に内接する切り取られた八面体に投影され、正方形の面は八面体の面の中心に接します。6 つの八面体面は、残りの 6 つの切り取られた八面体セルのイメージです。内接する切り取られた八面体と外殻の間にある残りの隙間は、8 つの平坦な切り取られた四面体で埋められ、それぞれが切り取られた四面体セルのペアのイメージです。

ビット切り詰められた四次元 立方体は、ビット切り詰められた超立方体のシーケンスの 2 番目です。

24個のセル( 8 個の正八面体と 16 個の切頂四面体)で囲まれた、切頂16 セル、切頂16 セル、カンティック四面体。カンテラ四面体の半分の頂点を持ち、構造は次のようになります。。

これは、 24 個の正八面体で囲まれた 正 4次元多面体である24 セルと関連していますが、混同しないでください。

• 切断された 16 セル/カンティック四次元方位図 (ノーマン W. ジョンソン)
• 切り詰められた16進数（頭字語thex）（ジョージ・オルシェフスキー、ジョナサン・バワーズ）^[3]

切り詰められた 16 セルは、16 セルの頂点を辺の長さの 1/3 で切り詰めることによって構築できます。これにより、16 個の切り詰められた四面体セルが生成され、8 つの八面体 (頂点図形) が導入されます。

(16 セルを辺の長さの 1/2 で切り取ると24 セルになります。切り取られたセルが頂点の図形と同一になるため、対称性が高まります。)

辺の長さが√2である切断された16セルの頂点の 直交座標は、すべての順列と符号の組み合わせによって与えられます。

(0,0,1,2)

別の構成は、頂点座標が（±3,±3,±3,±3）の各符号が偶数である半 等辺三角形から始まり、それを切り捨てて次の順列を得る。

(1,1,3,3)、各符号は偶数です。

切頂四面体は、六角形の面を介して互いに結合されています。八面体は、三角形の面を介して切頂四面体に結合されています。

切断された 16 セルの 3 次元空間への八面体優先平行投影の構造は次のとおりです。

• 投影エンベロープは切頂八面体です。
• 封筒の 6 つの正方形の面は、6 つの八面体セルのイメージです。
• 八面体はエンベロープの中心にあり、6 つの辺によって 6 つの正方形の面の中心と結合されています。これは、他の 2 つの八面体セルのイメージです。
• エンベロープと中央の八面体の間の残りのスペースは、8 つの切頂四面体 (投影によって歪んだ) で埋められています。これらは、16 個の切頂四面体セルのイメージで、各イメージに 1 組のセルがあります。

この投影におけるセルのレイアウトは、切頂八面体を 2 次元空間に投影したときの面のレイアウトに似ています。したがって、切頂 16 セルは、切頂八面体の 4 次元版と考えることができます。

切り取られた 16 セルの 3 次元空間への切り取られた四面体の最初の平行投影は、次の構造を持ちます。

• 投影エンベロープは切り取られた立方体です。
• 4D 視点に最も近い切頂四面体はエンベロープの中心に投影され、その三角形の面は 4 つの八面体ボリュームに結合され、エンベロープの 4 つの三角形の面に接続されます。
• エンベロープ内の残りのスペースは、他の 4 つの切頂四面体によって埋められます。
• これらのボリュームは、切り詰められた 16 セルの近辺にあるセルのイメージです。他のセルは、デュアル構成を除いて同じレイアウトに投影されます。
• 投影エンベロープの 6 つの八角形の面は、残りの 6 つの切頂四面体セルのイメージです。

切断された 16 セルは、カンティック 4 キューブとして、カンティック n キューブの次元ファミリに関連付けられます。

• T. ゴセット：n 次元空間における正則図形と半正則図形について、数学のメッセンジャー、マクミラン、1900 年
• HSMコクセター:
  • Coxeter, Regular Polytopes、(第 3 版、1973 年)、Dover 版、ISBN  0-486-61480-8、p. 296、表 I (iii): Regular Polytopes、n 次元の 3 つの正多面体 (n≥5)
  • HSM Coxeter, Regular Polytopes、第 3 版、Dover New York、1973 年、p. 296、表 I (iii): Regular Polytopes、n 次元の 3 つの正多面体 (n≥5)
  • 万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイヴィック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6 [1]  
    • (論文22) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (論文 23) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (論文 24) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝シュトラウス、『The Symmetries of Things』 2008年、ISBN 978-1-56881-220-5（第26章、409ページ：ヘミキューブ：1 _n1） 
• ノーマン・ジョンソン 『均一多面体』、原稿（1991年）
  • NW ジョンソン:均一多面体とハニカムの理論、Ph.D. (1966)
• 2. テッセラクト (8 セル) とヘキサデカコロン (16 セル) に基づく凸均一多角形 - モデル 13、16、17、George Olshevsky。
• Klitzing、Richard。「4D 均一多面体 (ポリコラ)」。o3o3o4o - た、o3x3x4o - た、x3x3o4o - て

• Stella4Dソフトウェアによって生成されたネットを使用して作成された切頂四次元方陣の紙モデル