二乗平均平方根偏差

平均二乗偏差( RMSD )または平均二乗誤差( RMSE ) は、一方では真の値または予測値、他方では観測値または推定値との差を測定する、密接に関連し頻繁に使用される 2 つの測定法のうちの 1 つです。偏差は通常、単純にスカラー値の差ですが、バイオインフォマティクスにおける原子位置の平均二乗偏差の概念のように、変位のベクトル長に一般化することもできます。

サンプルの RMSD は、観測値と予測値の差の2 次平均です。これらの偏差は、推定に使用されたデータ サンプルに対して計算が実行された場合 (したがって常に推定値を参照) は残差と呼ばれ、サンプル外で計算された場合 (つまり、フル セットで、推定値ではなく真の値を参照) はエラー(または予測エラー) と呼ばれます。RMSD は、さまざまなデータ ポイントの予測におけるエラーの大きさを、予測力の単一の尺度に集約するために使用されます。RMSD は、スケールに依存するため、データセット間ではなく、特定のデータセットに対する異なるモデルの予測エラーを比較するための精度の尺度です。 ^[1]

RMSD は常に非負であり、値 0 (実際にはほとんど達成されない) はデータに完全に適合していることを示します。一般に、RMSD は低いほど高いよりも優れています。ただし、測定は使用される数値のスケールに依存するため、異なるタイプのデータ間の比較は無効になります。

RMSDは二乗誤差の平均の平方根です。各誤差がRMSDに与える影響は二乗誤差の大きさに比例します。したがって、誤差が大きいほどRMSDへの影響は不釣り合いに大きくなります。その結果、RMSDは外れ値の影響を受けやすくなります。^{[2] [3]}

推定パラメータに対する推定量 のRMSDは、平均二乗誤差の平方根として定義されます。 ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle \operatorname {RMSD} ({\hat {\theta }})={\sqrt {\operatorname {MSE} ({\hat {\theta }})}}={\sqrt {\operatorname {E} (({\hat {\theta }}-\theta )^{2})}}.}$

不偏推定値の場合、RMSD は分散の平方根であり、標準偏差と呼ばれます。

X ₁ , ..., X _{n が}真の平均値を持つ母集団の標本である場合、標本のRMSDは ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle \operatorname {RMSD} ={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-x_{0})^{2}}}}$。

T回にわたって観測された変数を持つ回帰の従属変数のt時点における予測値の RMSD は、 T 個の異なる予測について偏差の二乗の平均の平方根として 計算されます。${\displaystyle {\hat {y}}_{t}}$ ${\displaystyle y_{t},}$

${\displaystyle \operatorname {RMSD} ={\sqrt {\frac {\sum _{t=1}^{T}(y_{t}-{\hat {y}}_{t})^{2}}{T}}}.}$

（横断的データの回帰分析では、下付き文字t はiに置き換えられ、T はnに置き換えられます。）

いくつかの分野では、RMSDは、どちらも「標準」として受け入れられていない、変化する可能性のある2つのものの間の差を比較するために使用されます。たとえば、2つの時系列との平均差を測定する場合、式は次のようになります 。${\displaystyle x_{1,t}}$${\displaystyle x_{2,t}}$

${\displaystyle \operatorname {RMSD} ={\sqrt {\frac {\sum _{t=1}^{T}(x_{1,t}-x_{2,t})^{2}}{T}}}.}$

RMSDを正規化すると、異なるスケールのデータセットやモデルの比較が容易になります。文献には一貫した正規化の方法はありませんが、測定データの平均または範囲（最大値から最小値を引いた値）が一般的な選択肢です。^[4]

${\displaystyle \mathrm {NRMSD} ={\frac {\mathrm {RMSD} }{y_{\max }-y_{\min }}}}$または。${\displaystyle \mathrm {NRMSD} ={\frac {\mathrm {RMSD} }{\bar {y}}}}$

この値は、通常、正規化された二乗平均平方根偏差または誤差(NRMSD または NRMSE)と呼ばれ、パーセンテージで表されます。値が低いほど、残差分散が小さいことを示します。これは、変動係数またはパーセント RMSとも呼ばれます。多くの場合、特にサンプルが小さい場合、サンプル範囲はサンプルのサイズによって影響を受ける可能性が高く、比較が困難になります。

RMSD をより有用な比較尺度にするもう 1 つの方法は、RMSD を四分位範囲(IQR) で割ることです。RMSD を IQR で割ると、正規化された値は対象変数の極端な値に対する感度が低くなります。

${\displaystyle \mathrm {RMSDIQR} ={\frac {\mathrm {RMSD} }{IQR}}}$ どこ${\displaystyle IQR=Q_{3}-Q_{1}}$

ここで、CDF ^−1は分位関数です。 ${\displaystyle Q_{1}={\text{CDF}}^{-1}(0.25)}$${\displaystyle Q_{3}={\text{CDF}}^{-1}(0.75),}$

測定値の平均値で正規化する場合、曖昧さを避けるためにRMSDの変動係数CV(RMSD)という用語が使用されることがあります。 ^{[5]これは、RMSDが}標準偏差の代わりとなる変動係数に類似しています。

${\displaystyle \mathrm {CV(RMSD)} ={\frac {\mathrm {RMSD} }{\bar {y}}}.}$

一部の研究者^{[誰が？ ]は、二乗平均偏差の代わりに}平均絶対誤差(MAE)の使用を推奨しています^{[どこで？ ]}。MAE は RMSD よりも解釈性に優れています。MAE は誤差の絶対値の平均です。MAE は二乗平均誤差の平方根よりも基本的に理解しやすいです。さらに、各誤差は誤差の絶対値に正比例して MAE に影響しますが、RMSD の場合はそうではありません。^[2]

• 気象学では、数学モデルが大気の挙動をどれだけ効果的に予測できるかを調べること。
• バイオインフォマティクスでは、原子位置の二乗平均平方根偏差は、重ね合わせた タンパク質の原子間の平均距離の尺度です。
• 構造に基づく薬物設計において、RMSD はリガンド立体配座の結晶立体配座とドッキング予測の差を測る指標です。
• 経済学では、RMSDは経済モデルが経済指標に適合するかどうかを判断するために使用されます。一部の専門家は、RMSDは相対絶対誤差よりも信頼性が低いと主張しています。^[6]
• 実験心理学では、RMSD は、行動の数学的または計算モデルが経験的に観察された行動をどの程度よく説明できるかを評価するために使用されます。
• GISでは、RMSD は空間分析とリモートセンシングの精度を評価するために使用される 1 つの尺度です。
• 水文地質学では、RMSDとNRMSDは地下水モデルの較正を評価するために使用されます。^[7]
• 画像科学において、RMSD はピーク信号対雑音比の一部であり、画像を再構成する方法が元の画像と比較してどの程度優れているかを評価するために使用される指標です。
• 計算神経科学では、RMSDはシステムが特定のモデルをどれだけよく学習するかを評価するために使用されます。^[8]
• タンパク質核磁気共鳴分光法では、RMSD は得られた構造の束の品質を推定する尺度として使用されます。
• Netflix 賞への応募作品は、テスト データセットの非公開の「真の」値からの RMSD を使用して審査されました。
• 建物のエネルギー消費のシミュレーションでは、RMSEとCV（RMSE）を使用して、測定された建物の性能に合わせてモデルを較正します。^[9]
• X 線結晶構造解析では、RMSD (および RMSZ) は、分子内部座標が拘束ライブラリ値からどれだけ逸脱しているかを測定するために使用されます。
• 制御理論では、RMSEは状態観測器の性能を評価するための品質尺度として使用されます。^[10]
• 流体力学では、正規化された二乗平均平方根偏差 (NRMSD)、変動係数 (CV)、およびパーセント RMS を使用して、速度プロファイル、温度分布、またはガス種濃度などの流れの挙動の均一性を定量化します。この値は業界標準と比較され、流れと熱の装置およびプロセスの設計を最適化します。

• 二乗平均平方根
• 平均絶対誤差
• 平均絶対偏差
• 平均符号付き偏差
• 平均二乗偏差
• 偏差の二乗
• 統計における誤差と残差
• 変動係数
• 正規化された推定誤差の二乗