パレート指数

経済学において、パレート指数は、イタリアの経済学者で社会学者のヴィルフレド・パレートにちなんで名付けられ、所得や富の分布の幅を測る尺度である。これはパレート分布を指定するパラメータの1つであり、パレート原理を具体化する。所得に当てはめると、パレート原理は、人口の q=20% が所得の p=80% を占めると一般的な解説で述べられることがある。実際、パレートの著書Cours d'économie politiqueにおける英国の所得税に関するデータによると、人口の約 20% が所得の約 80% を占めていることが分かる。^{[疑わしい–議論する]}。たとえば、人口が 100 人で総資産が 100 x _mドルの場合、 q=20 人の資産は合わせて p x _m =80 x _{mドルになる。したがって、これらの人々の資産はそれぞれ x=p} x _m /q=4 x _mドルになる。

パレート分布の最も単純な特徴付けの一つは、所得の分布をモデル化するために用いられる場合、所得が任意の正の数x  >  x _mを超える人口の割合は

${\displaystyle q=\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }=\left({\frac {q}{p}}\right)^{\alpha }}$

ここで、x _{m は正の数で、この}確率分布のサポートの最小値です(下付き文字 m は最小値を表します)。パレート指数はパラメーター α です。割合は 0 から 1 までの範囲でなければならないため、指数 α は正でなければなりませんが、人口全体の総所得が有限であるためには、α は 1 より大きくなければなりません。パレート指数が大きいほど、非常に高所得の人の割合は小さくなります。

規則（なぜ？）が与えられた場合、パレート指数は次のように与えられます。 ${\displaystyle p+q=1}$${\displaystyle p>q}$

${\displaystyle \alpha =\log _{p/q}1/q=\log(1/q)/\log(p/q)=\log(q)/\log(q/p).}$

ならば、これは次のように簡略化される。 ${\displaystyle q=1/n}$

${\displaystyle \alpha =\log _{n-1}(n).}$

あるいは、オッズで言えば、X:Y

${\displaystyle \alpha =\log _{X/Y}(X+Y)/Y,}$

つまりX:1は

${\displaystyle \alpha =\log _{X}(X+1).}$

たとえば、80–20 (4:1) ルールは α = log(5)/log(4) ≈ 1.16 に、90–10 (9:1) は α = log(10)/log(9) ≈ 1.05 に、99–1 は α​​ = log(100)/log(99) ≈ 1.002 に相当しますが、70–30 ルールは α = log(0.3)/log(0.3/0.7) ≈ 1.42 に、2:1 (67–33) は α = log(3)/log(2) ≈ 1.585 に相当します。

数学的には、上記の式は、すべての所得が少なくとも下限x _m（正）であることを意味します。この所得まで確率密度は減少し続け、その後突然ゼロに跳ね上がりますが、これは明らかに非現実的です。したがって、経済学者は、ここで述べたパレートの法則は分布の上端にのみ適用されると述べることがあります。

• ジニ係数
• 不平等の尺度一覧

• Vilfredo Pareto、Cours d'économie politique professé à l'université de Lausanne、3 巻、1896 ～ 7 年。
• 「個人所得分配の普遍的構造」相馬渉
• 「パレートマクロ経済における富の凝縮」、Z. Burda、D. Johnston、J. Jurkiewicz、M. Kamiński、MA Nowak、G. Papp、I. Zahed、Physical Review E、volume 65、2002 年。
• 「個人所得の物理学」相馬渉
• 「適度な右打ち切りの下でのパレート指数推定」、Jan Beirlant、Armelle Guillou、Scandinavian Actuarial Journal、第 2 巻 (2001 年)、111 ～ 125 ページ。
• 「古代エジプト社会における富の分配」、AY Abul-Magd、Physical Review E、第66巻、2002年。
• 「企業規模から導かれるパレート指数」、石川篤志、Physica A、第363巻、367-376ページ、2006年。
• 「イタリアの個人所得分布におけるべき乗法則のテール」、Fabio Clementi、Mauro Gallegati、Physica A、第350巻、427〜438ページ、2005年。
• 富の分配におけるスモールワールド効果、相馬渉、藤原芳、青山英明
• 「単純なテールパレート指数推定量の弱い限界動作」、JN Bacro および M. Brito、「Journal of Statistical Planning and Inference」、第 45 巻、第 1 号、1995 年、7 ～ 19 ページ。
• パレート指数推定における下方分位を選択するための予測誤差基準、Debbie DupuisおよびMaria-Pia Victoria-Feser著
• 「アクチュアリー協会の大規模請求データベースへの一般化パレート適合」、A. Cebrián、M. Denuit、Ph. Lambert、North American Actuarial Journal、第 8 巻
• 「パレートの法則の新しい例証」、ジョサイア・C・スタンプ、『王立統計学会誌』、第77巻第2号、200～204ページ、1914年1月。
• 「パレートの法則と所得の分配」、G. フィンドレー・シラス、『経済ジャーナル』第 45 巻、第 180 号、663 ～ 681 ページ、1935 年 12 月。
• 国際統計研究所の統計用語集より、さまざまな言語での「パレート指数」。