条件付き分散

確率論と統計学において、条件付き分散とは、 1つ以上の他の変数の値が与えられたときの確率変数の分散のことです。特に計量経済学では、条件付き分散は分散関数または分散関数とも呼ばれます。^{[ 1 ]}条件付き分散は、自己回帰条件付き異分散性（ARCH）モデルの重要な部分です。

別の確率変数Xが与えられたときの確率変数Yの条件付き分散は

${\displaystyle \operatorname {Var} (Y\mid X)=\operatorname {E} {\Big (}{\big (}Y-\operatorname {E} (Y\mid X){\big )}^{2}\;{\Big |}\;X{\Big )}.}$

条件付き分散は、使用した場合にどれだけの分散が残るかを示します${\displaystyle \operatorname {E} (Y\mid X)}$Yを「予測」する。ここでは、いつものように、${\displaystyle \operatorname {E} (Y\mid X)}$は、 Xが与えられたときのYの条件付き期待値を表します。Xは、それ自体が確率変数（ Xの関数であり、確率 1 まで決定される）であることを思い出してください。結果として、${\displaystyle \operatorname {Var} (Y\mid X)}$それ自体は確率変数であり（ Xの関数である）。

分散とは、確率変数（例えばY）とその期待値との間の期待二乗偏差であることを思い出してください。期待値は、ランダム実験の結果の妥当な予測値と考えることができます（特に、期待値は、予測を期待二乗予測誤差で評価する場合、最良の定数予測値です）。したがって、分散の解釈の一つは、期待二乗予測誤差が最小になるということです。Yを予測するために使用できる別の確率変数（ X ）の知識があれば、この知識を使用して期待二乗誤差を減らすことができます。実際、Xが与えられた場合のYの最良の予測値は条件付き期待値です。特に、任意の${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$測定可能、

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [(Yf(X))^{2}]&=\operatorname {E} [(Y-\operatorname {E} (Y|X)\,\,+\,\,\operatorname {E} (Y|X)-f(X))^{2}]\\&=\operatorname {E} [\operatorname {E} \{(Y-\operatorname {E} (Y|X)\,\,+\,\,\operatorname {E} (Y|X)-f(X))^{2}|X\}]\\&=\operatorname {E} [\operatorname {Var} (Y|X)]+\operatorname {E} [(\operatorname {E} (Y|X)-f(X))^{2}]\,.\end{aligned}}}$

選択することで${\displaystyle f(X)=\operatorname {E} (Y|X)}$2 番目の非負の項はゼロになり、主張が示されます。ここで、2 番目の等式は全期待値の法則を使用しています。また、 Xが与えられたときのYの期待条件付き分散は、 Xの情報のみに基づいてY を予測する際の既約誤差として現れることがわかります。

全分散の法則によれば

${\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=\operatorname {E} (\operatorname {Var} (Y\mid X))+\operatorname {Var} (\operatorname {E} (Y\mid X))。}$

言い換えると、 Yの分散は、 Xが与えられた場合のYの期待条件付き分散と、 Xが与えられた場合のYの条件付き期待値の分散の合計です。最初の項は「Xを使用してYを予測する」後に残る変動を捉え、2番目の項はXのランダム性によるYの予測値の平均値に起因する変動を捉えます。

• 混合モデル
• ランダム効果モデル

• カセラ、ジョージ；バーガー、ロジャー L. (2002).統計的推論（第2 版）. ワズワース. pp. 151–52 . ISBN  0-534-24312-6。