スチューデントのt分布

学生のt

確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle \\nu >0\}$ 自由度（実数、ほとんどの場合正の整数）
サポート	${\displaystyle \ x\in (-\infty ,\infty )}$
PDF	${\displaystyle \textstyle \ {\frac {\Gamma \left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)}{{\sqrt {\pi \ \nu \ }}\ \Gamma \left({\frac {\nu }{\ 2\ }}\right)}}\ \left(\ 1+{\frac {~x^{2}\ }{\nu }}\ \right)^{-{\frac {\ \nu +1\ }{2}}}\ }$
ドイツ連邦共和国	$${\displaystyle {\begin{matrix}\ {\frac {\ 1\ }{2}}+x\ \Gamma \left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)\times \\[0.5em]{\frac {\ {{}_{2}F_{1}}\!\left(\ {\frac {\ 1\ }{2}},\ {\frac {\ \nu +1\ }{2}};\ {\frac {3}{\ 2\ }};\ -{\frac {~x^{2}\ }{\nu }}\ \right)\ }{\ {\sqrt {\pi \nu }}\ \Gamma \left({\frac {\ \nu \ }{2}}\right)\ }}\ ,\end{matrix}}}$$ 超幾何関数は どこにあるか${\displaystyle \ {}_{2}F_{1}\!(\ ,\ ;\ ;\ )\ }$
平均	${\displaystyle \ 0\ }$それ以外の場合は未定義${\displaystyle \ \nu >1\ ,}$
中央値	${\displaystyle \ 0\ }$
モード	${\displaystyle \ 0\ }$
分散	${\displaystyle \textstyle \ {\frac {\nu }{\ \nu -2\ }}\ }$∞の場合、それ以外は未定義${\displaystyle \\nu >2\,}$ ${\displaystyle \ 1<\nu \leq 2\ ,}$
歪度	${\displaystyle \ 0\ }$それ以外の場合は未定義${\displaystyle \\nu >3\ ,}$
過剰尖度	${\displaystyle \textstyle \ {\frac {6}{\ \nu -4\ }}}$∞の場合、それ以外は未定義${\displaystyle \\nu >4\,}$${\displaystyle \ 2<\nu \leq 4\ ,}$
エントロピ	${\displaystyle \ {\begin{matrix}{\frac {\ \nu +1\ }{2}}\left[\ \psi \left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)-\psi \left({\frac {\ \nu \ }{2}}\right)\ \right]\\[0.5em]+\ln \left[{\sqrt {\nu \ }}\ {\mathrm {B} }\left(\ {\frac {\ \nu \ }{2}},\ {\frac {\ 1\ }{2}}\ \right)\right]\ {\scriptstyle {\text{(nats)}}}\ \end{matrix}}}$ どこ ${\displaystyle \psi ()\ }$はディガンマ関数であり、 ${\displaystyle \ {\mathrm {B} }(\ ,\ )\ }$ベータ関数です。
MGF の	未定義
CF	${\displaystyle \textstyle {\frac {\ \left(\ {\sqrt {\nu \ }}\ |t|\ \right)^{\nu /2}\ K_{\nu /2}\left(\ {\sqrt {\nu \ }}\ |t|\ \right)\ }{\ \ガンマ (\nu /2)\ 2^{\nu /2-1}\ }}\ }$のために${\displaystyle \\nu >0\}$ ${\displaystyle \ K_{\nu }(x)\ }$は第二種修正ベッセル関数である[1]
予想される不足額	${\displaystyle \ \mu +s\ \left(\ {\frac {\ \nu +T^{-1}(1-p)^{2}\ \times \ \tau \left(T^{-1}(1-p)^{2}\right)\ }{\ (\nu -1)(1-p)\ }}\ \right)\ }$ ここで、は逆標準化スチューデント t CDF、は標準化スチューデントt PDFです。[2]${\displaystyle \T^{-1}(\ )\ }$ ${\displaystyle \\tau (\)\}$

確率論と統計学において、スチューデントのt 分布（または単にt 分布）は、標準正規分布を一般化した連続確率分布です。後者と同様に、ゼロを中心に対称で、ベル型をしています。 ${\displaystyle \t_{\nu}\}$

しかし、はより重い裾を持ち、裾の確率質量の量はパラメータ によって制御されます。の場合、スチューデントのt分布は標準のコーシー分布になり、非常に「太い」裾を持ちます。 一方、 の場合、は非常に「薄い」裾を持つ 標準正規分布になります。${\displaystyle \t_{\nu}\}$${\displaystyle \\nu ~~.}$${\displaystyle \\nu =1\}$${\displaystyle t_{\nu}}$${\displaystyle \ \nu \rightarrow \infty \ }$${\displaystyle \ {\mathcal {N}}(0,1)\,}$

スチューデントのt分布は、2 つの標本平均値の差の統計的有意性を評価するためのスチューデントのt 検定、 2 つの母集団平均値の差の信頼区間の構築、および 線形回帰分析など、広く使用されている多くの統計分析で役割を果たします。

位置スケールt 分布 の形式では、正規分布が一般化され、分散パラメータを周辺化するときに 複合分布として正規ファミリーのデータのベイズ分析でも発生します。${\displaystyle lst(\mu ,\tau ^{2},\nu )}$

スチューデントのt 分布の確率密度関数（PDF）は次のように表される。

${\displaystyle f(t)\ =\ {\frac {\ \Gamma \!\left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)\ }{\ {\sqrt {\pi \ \nu \ }}\;\Gamma \!\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\;\left(\ 1+{\frac {~t^{2}\ }{\nu }}\ \right)^{-(\nu +1)/2}\ ,}$

ここで は自由度の数、 はガンマ関数です。これは次のようにも書けます。 ${\displaystyle \ \nu \ }$${\displaystyle \ \Gamma \ }$

${\displaystyle f(t)\ =\ {\frac {1}{\ {\sqrt {\nu \ }}\ {\mathrm {B} }\!\left({\frac {\ 1\ }{2}},\ {\frac {\ \nu \ }{2}}\right)\ }}\;\left(\ 1+{\frac {\ t^{2}\ }{\nu }}\ \right)^{-(\nu +1)/2}\ ,}$

ここで はベータ関数です。特に整数値の自由度の場合、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle \ {\mathrm {B} }\ }$${\displaystyle \ \nu \ }$

そして、 ${\displaystyle \ \nu >1\ }$

${\displaystyle \ {\frac {\ \Gamma \!\left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)\ }{\ {\sqrt {\pi \ \nu \ }}\;\Gamma \!\left({\frac {\ \nu \ }{2}}\right)\ }}\ =\ {\frac {1}{\ 2{\sqrt {\nu \ }}\ }}\ \cdot \ {\frac {\ (\nu -1)\cdot (\nu -3)\cdots 5\cdot 3\ }{\ (\nu -2)\cdot (\nu -4)\cdots 4\cdot 2\ }}~.}$

奇数の 場合、${\displaystyle \ \nu >1\ }$

${\displaystyle \ {\frac {\ \Gamma \!\left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)\ }{\ {\sqrt {\pi \ \nu \ }}\ \Gamma \!\left({\frac {\ \nu \ }{2}}\right)}}\ =\ {\frac {1}{\ \pi {\sqrt {\nu \ }}\ }}\ \cdot \ {\frac {(\nu -1)\cdot (\nu -3)\cdots 4\cdot 2\ }{\ (\nu -2)\cdot (\nu -4)\cdots 5\cdot 3\ }}~.}$

確率密度関数は対称で、その全体的な形状は平均0、分散1の正規分布変数のベル型に似ていますが、少し低く幅が広いです。自由度の数が増えるにつれて、t 分布は平均0、分散1の正規分布に近づきます。このため、は正規性パラメータとも呼ばれます。^[3]${\displaystyle {\ \nu \ }}$

 次の画像は、 の値が増加した場合のt分布の密度を示しています。比較のために、正規分布は青い線で示されています。 が増加するにつれて、 t 分布 (赤い線) が正規分布に近づくことに注意してください。 ${\displaystyle \ \nu ~.}$${\displaystyle \ \nu \ }$

累積分布関数（ CDF）は、正規化された 不完全ベータ関数Iで表すことができます。t > 0の場合、

${\displaystyle F(t)=\int _{-\infty }^{t}\ f(u)\ \operatorname {d} u~=~1-{\frac {1}{2}}I_{x(t)}\!\left({\frac {\ \nu \ }{2}},\ {\frac {\ 1\ }{2}}\right)\ ,}$

どこ

${\displaystyle x(t)={\frac {\nu }{\ t^{2}+\nu \ }}~.}$

他の値は対称性によって得られる。有効な別の式は次の通りである。 ${\displaystyle \ t^{2}<\nu \ ,}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{t}f(u)\ \operatorname {d} u~=~{\frac {1}{2}}+t\ {\frac {\ \Gamma \!\left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)\ }{\ {\sqrt {\pi \ \nu \ }}\ \Gamma \!\left({\frac {\nu }{\ 2\ }}\right)\ }}\ {}_{2}F_{1}\!\left(\ {\frac {1}{2}},{\frac {\ \nu +1\ }{2}}\ ;{\frac {3}{\ 2\ }}\ ;\ -{\frac {~t^{2}\ }{\nu }}\ \right)\ ,}$

ここで、 は超幾何関数の特定のインスタンスです。 ${\displaystyle \ {}_{2}F_{1}(\ ,\ ;\ ;\ )\ }$

逆累積分布関数の詳細については、分位関数§ スチューデントの t 分布を参照してください。

の特定の値は、スチューデントの t 分布の単純な形を与えます。 ${\displaystyle \ \nu \ }$

t 分布 の生のモーメントは${\displaystyle \nu >1\ ,}$

${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left\{\ T^{k}\ \right\}={\begin{cases}\quad 0&k{\text{ odd }},\quad 0<k<\nu \ ,\\{}\\{\frac {1}{\ {\sqrt {\pi \ }}\ \Gamma \left({\frac {\ \nu \ }{2}}\right)}}\ \left[\ \Gamma \!\left({\frac {\ k+1\ }{2}}\right)\ \Gamma \!\left({\frac {\ \nu -k\ }{2}}\right)\ \nu ^{\frac {\ k\ }{2}}\ \right]&k{\text{ even }},\quad 0<k<\nu ~.\\\end{cases}}}$

秩序以上の瞬間は存在しない。^[4]${\displaystyle \ \nu \ }$

kの項は、ガンマ関数の特性を使用して次のように簡略化できます。 ${\displaystyle \ 0<k<\nu \ ,}$

${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left\{\ T^{k}\ \right\}=\nu ^{\frac {\ k\ }{2}}\ \prod _{j=1}^{k/2}\ {\frac {~2j-1~}{\nu -2j}}\qquad k{\text{ even}},\quad 0<k<\nu ~.}$

 自由度のあるt分布の場合、期待値はであり、分散はであり、歪度は0 であり、過剰尖度はである。${\displaystyle \ \nu \ }$${\displaystyle \ 0\ }$${\displaystyle \ \nu >1\ ,}$${\displaystyle \ {\frac {\nu }{\ \nu -2\ }}\ }$${\displaystyle \ \nu >2~.}$${\displaystyle \ \nu >3\ }$${\displaystyle \ {\frac {6}{\ \nu -4\ }}\ }$${\displaystyle \ \nu >4~.}$

自由度付きスチューデントのt分布は、ランダム変数Tの分布として定義される^{[5] [6]}${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle T={\frac {Z}{\sqrt {V/\nu }}}=Z{\sqrt {\frac {\nu }{V}}},}$

どこ

• Z は期待値が 0 で分散が 1 の標準正規分布です。
• Vは自由度を持つカイ二乗分布（χ2^分布）に従います。${\displaystyle \nu }$
• ZとV は独立しています。

異なる分布は、与えられた定数μに対して、次のように 定義される確率変数の分布として定義される 。

${\displaystyle (Z+\mu ){\sqrt {\frac {\nu }{V}}}.}$

このランダム変数は、非心度パラメータμを持つ非心t分布に従います。この分布は、スチューデントのt検定の検出力の研究において重要です。

X ₁ , ..., X _{n が}正規分布する確率変数Xの独立した実現であり、期待値がμで分散がσ ²であるとする。

${\displaystyle {\overline {X}}_{n}={\frac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n})}$

標本平均であり、

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}_{n}\right)^{2}}$

サンプルからの分散の不偏推定値となる。ランダム変数は

${\displaystyle V=(n-1){\frac {s^{2}}{\sigma ^{2}}}}$

は自由度を持つカイ二乗分布に従う（コクランの定理による）。^[7] 量 ${\displaystyle \nu =n-1}$

${\displaystyle Z=\left({\overline {X}}_{n}-\mu \right){\frac {\sqrt {n}}{\sigma }}}$

は平均0、分散1の正規分布をしています。これは、標本平均が平均μ、分散σ ² / nの正規分布をしているからです。さらに、これら2つのランダム変数（正規分布するZとカイ2乗分布するV ）が独立していることを示すことができます。その^{結果、重要}な量${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$

${\textstyle T\equiv {\frac {Z}{\sqrt {V/\nu }}}=\left({\overline {X}}_{n}-\mu \right){\frac {\sqrt {n}}{s}},}$

これは、正確な標準偏差σがランダム変数S _nに置き換えられている点でZとは異なり、上で定義されたスチューデントのt分布に従います。未知の母分散σ ^{2は分子と分母の両方にあるため}Tには現れず、打ち消されることに注意してください。ゴセットは、 n − 1に等しい上記の確率密度関数を直感的に得て 、フィッシャーは1925年にそれを証明しました。^[8]${\displaystyle \nu }$

検定統計量Tの分布はに依存しますが、μやσには依存しません。 μとσに依存しないことが、 t分布を理論と実践の両方で重要なものにしているのです。 ${\displaystyle \nu }$

t分布は、 t統計量 の標本分布として生じます 。以下では 1 標本のt 統計量について説明します。対応する 2 標本のt統計量については、スチューデントの t 検定 を参照してください。

平均と分散を持つ正規分布から独立かつ同一に分布するサンプルを とします。サンプル平均と不偏サンプル分散は次のように与えられます。 ${\displaystyle \ x_{1},\ldots ,x_{n}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})\ }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \ \sigma ^{2}~.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}&={\frac {\ x_{1}+\cdots +x_{n}\ }{n}}\ ,\\[5pt]s^{2}&={\frac {1}{\ n-1\ }}\ \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}~.\end{aligned}}}$

結果として得られる（1サンプルの）t 統計量は次のように表される。

${\displaystyle t={\frac {{\bar {x}}-\mu }{\ {\sqrt {s^{2}/n\ }}\ }}\sim t_{n-1}~.}$

自由度 を持つスチューデントのt 分布に従って分布します。${\displaystyle \ n-1\ }$

したがって、推論の目的のために、平均と分散が未知の母集団パラメータである場合、 t 統計量は、その場合、 t統計量は、どちら にも依存しない確率分布を持つという意味で、有用な「重要な量」である。${\displaystyle (\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \ \sigma ^{2}~.}$

不偏推定値の代わりに最大尤度推定値を使用することもできる。 ${\displaystyle \ s^{2}\ }$

${\displaystyle \ s_{\mathsf {ML}}^{2}={\frac {\ 1\ }{n}}\ \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\ }$

統計を導き出す

${\displaystyle \ t_{\mathsf {ML}}={\frac {{\bar {x}}-\mu }{\sqrt {s_{\mathsf {ML}}^{2}/n\ }}}={\sqrt {{\frac {n}{n-1}}\ }}\ t~.}$

これは位置スケールt 分布に従って分布します。

${\displaystyle t_{\mathsf {ML}}\sim {\mathcal {lst}}(0,\ \tau ^{2}=n/(n-1),\ n-1)~.}$

位置スケールt 分布は、平均と未知の分散を持つガウス分布(正規分布)と、パラメータとを持つ分散上に逆ガンマ分布を配置して合成した結果です。言い換えると、ランダム変数X は、未知の分散が逆ガンマとして分布するガウス分布を持つと仮定され、その後、分散が周辺化(積分) されます。 ${\displaystyle \ \mu \ }$${\displaystyle \ a={\frac {\ \nu \ }{2}}\ }$${\displaystyle b={\frac {\ \nu \ \tau ^{2}\ }{2}}~.}$

同様に、この分布は、パラメータを持つスケール逆カイ二乗分布とガウス分布を組み合わせた結果です。スケール逆カイ二乗分布は、逆ガンマ分布とまったく同じ分布ですが、パラメータ化が異なります。つまり、${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \ \tau ^{2}~.}$${\displaystyle \ \nu =2\ a,\;{\tau }^{2}={\frac {\ b\ }{a}}~.}$

この特徴付けが有用な理由は、ベイズ統計学において逆ガンマ分布はガウス分布の分散の共役事前分布であるためである。その結果、位置スケールt 分布は多くのベイズ推論問題で自然に生じる。^[9]

スチューデントのt 分布は、ランダム変量Xが固定されたときの最大エントロピー確率分布である。^{[10] [説明が必要] [より良い情報源が必要]}${\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {E} } \left\{\ \ln(\nu +X^{2})\ \right\}\ }$

関数A ( t | ν )は、 t ≥ 0の場合、スチューデントの確率密度関数f ( t )を-tとtの間で  積分したものです。したがって、これは、観測データから計算された値よりも小さいtの値が偶然に発生する確率を示します。したがって、関数A ( t | ν )は、2 つのデータ セットが同じ母集団から抽出された場合の対応するtの値とその発生確率を計算することにより、2 つのデータ セットの平均の差が統計的に有意であるかどうかをテストするときに使用できます。これは、さまざまな状況で使用されますが、特にt 検定で使用されます。自由度がνの統計量tの場合、 A ( t | ν )は、2 つの平均が同じである場合にt が観測値よりも小さくなる確率です(小さい方の平均が大きい方の平均から減算され、 t ≥ 0となる場合)。これは、 t分布の累積分布関数F _ν ( t )から簡単に計算できます 。

${\displaystyle A(t\mid \nu )=F_{\nu }(t)-F_{\nu }(-t)=1-I_{\frac {\nu }{\nu +t^{2}}}\!\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\right),}$

ここでI _x ( a , b )は正規化された不完全ベータ関数です。

統計的仮説検定では、この関数を使用してp値を構築します。

• 非心t 分布は、t分布を一般化して 非心パラメータを含めます。非標準化t 分布とは異なり、非心分布は対称ではありません (中央値は最頻値と同じではありません)。
• 離散t分布 は、 rにおける確率質量関数が次式に比例すると定義される。 ^[11]ここでa、b、kはパラメータである。この分布は、連続分布に対するピアソン分布と同様の離散分布システムの構築から生じる。^[12] $${\displaystyle \prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{(r+j+a)^{2}+b^{2}}}\quad \quad r=\ldots ,-1,0,1,\ldots ~.}$$
• 正規分布とχ²分布の平方根から変数の比を取ることで、スチューデント A ( t | ν ) サンプルを生成できます。正規分布の代わりに、たとえばアーウィン・ホール分布を使用すると、正規分布、一様分布、三角分布、スチューデント t分布、コーシー分布を含む対称 4 パラメータ分布が得られます。これは、正規分布の他の対称的な一般化よりも柔軟性があります。
• t分布は比率分布 の一例です。
• t(n)に分布するランダム変数の2乗はF(1,n)に分布する。

スチューデントのt分布は、位置パラメータと尺度パラメータを 導入することで、  3パラメータの位置尺度t 分布に一般化されます。 ${\displaystyle \ {\mathcal {lst}}(\mu ,\ \tau ^{2},\ \nu )\ }$ ${\displaystyle \ \mu \ }$ ${\displaystyle \ \tau ~.}$

${\displaystyle \ T\sim t_{\nu }\ }$

地域規模の家族変革

${\displaystyle \ X=\mu +\tau \ T\ }$

私たちは得る

${\displaystyle \ X\sim {\mathcal {lst}}(\mu ,\ \tau ^{2},\ \nu )~.}$

結果として得られる分布は、非標準化スチューデントのt 分布とも呼ばれます。

位置スケールt分布の密度は次のように定義される: ^[13]

${\displaystyle p(x\mid \nu ,\mu ,\tau )={\frac {\ \Gamma \left({\frac {\ \nu +1\ }{2}}\right)\ }{\ \Gamma \left({\frac {\ \nu \ }{2}}\right)\ {\sqrt {\pi \ \nu \ }}\ \tau \ }}\ \left(1+{\frac {\ 1\ }{\nu }}\ \left(\ {\frac {\ x-\mu \ }{\tau }}\ \right)^{2}\ \right)^{-(\nu +1)/2}\ }$

同様に、密度は次のように表すことができます。 ${\displaystyle \tau ^{2}}$

${\displaystyle \ p(x\ \mid \ \nu ,\ \mu ,\ \tau ^{2})={\frac {\ \Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})\ }{\ \Gamma \left({\frac {\ \nu \ }{2}}\right)\ {\sqrt {\pi \ \nu \ \tau ^{2}}}\ }}\ \left(\ 1+{\frac {\ 1\ }{\nu }}\ {\frac {\ (x-\mu )^{2}\ }{\ \tau ^{2}\ }}\ \right)^{-(\nu +1)/2}\ }$

このバージョンの分布の他の特性は次のとおりです。^[13]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\mathbb {E} } \{\ X\ \}&=\mu &{\text{ for }}\nu >1\ ,\\\operatorname {var} \{\ X\ \}&=\tau ^{2}{\frac {\nu }{\nu -2}}&{\text{ for }}\nu >2\ ,\\\operatorname {mode} \{\ X\ \}&=\mu ~.\end{aligned}}}$

• が位置スケールt 分布に従う場合、は平均と分散で正規分布します。${\displaystyle \ X\ }$${\displaystyle \ X\sim {\mathcal {lst}}\left(\mu ,\ \tau ^{2},\ \nu \right)\ }$${\displaystyle \ \nu \rightarrow \infty \ }$ ${\displaystyle \ X\ }$${\displaystyle X\sim \mathrm {N} \left(\mu ,\tau ^{2}\right)}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \ \tau ^{2}~.}$
• 自由度のある位置スケールt 分布はコーシー分布と同等である。${\displaystyle \ {\mathcal {lst}}\left(\mu ,\ \tau ^{2},\ \nu =1\right)\ }$${\displaystyle \nu =1}$ ${\displaystyle \mathrm {Cau} \left(\mu ,\tau \right)~.}$
• およびの位置スケールt 分布は、スチューデントのt 分布に帰着する。${\displaystyle \ {\mathcal {lst}}\left(\mu =0,\ \tau ^{2}=1,\ \nu \right)\ }$${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \ \tau ^{2}=1\ }$${\displaystyle \ t_{\nu }~.}$

スチューデントのt分布は、データが加法誤差 を伴って観測される設定で平均値などの未知のパラメータを推定することを目的とするさまざまな統計推定問題で発生します。(ほぼすべての実際の統計作業と同様に) これらの誤差の母標準偏差が未知であり、データから推定する必要がある場合、この推定から生じる追加の不確実性を説明するためにt分布がよく使用されます。このような問題のほとんどでは、誤差の標準偏差がわかっている場合は、 t分布 の代わりに正規分布が使用されます 。

信頼区間と仮説検定は、特定の統計量 (標準得点など) の標本分布の分位数が必要となる2 つの統計手法です。この統計量がデータの線形関数であり、標準偏差の通常の推定値で割った値である場合は、結果の量をスチューデントのt分布に従うように再スケール化して中心化できます 。平均、加重平均、回帰係数を含む統計分析はすべて、この形式の統計量になります。

多くの場合、教科書の問題では母集団の標準偏差が既知であるかのように扱われ、スチューデントのt 分布を使用する必要がありません。これらの問題には、一般的に次の 2 種類があります。(1) サンプル サイズが非常に大きいため、分散のデータに基づく推定値が確実であるかのように扱うことができる問題、および (2) 数学的推論を説明する問題で、標準偏差の推定問題は、著者または講師が説明しているポイントではないため、一時的に無視されます。

興味深い帰無仮説のもとでは、多くの統計が 中程度のサイズのサンプルに対してt分布を示すことが示されており、 t 分布は有意性検定の基礎となる。たとえば、帰無仮説 (ゼロ相関) の場合のスピアマンの順位相関係数ρの分布は、約 20 を超えるサンプル サイズではt分布によってよく近似される。 ^{[引用が必要]}

数Aが次のように選ばれると仮定する。

${\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ -A<T<A\ \right\}=0.9\ ,}$

Tが自由度n − 1のt 分布に従うとき、対称性により、これはAが以下を満たすと 言っているのと同じである。  

${\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ T<A\ \right\}=0.95\ ,}$

つまり、A はこの確率分布の「95パーセンタイル」であり、${\displaystyle \ A=t_{(0.05,n-1)}~.}$

${\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ -A<{\frac {\ {\overline {X}}_{n}-\mu \ }{S_{n}/{\sqrt {n\ }}}}<A\ \right\}=0.9\ ,}$

これは次の式と同等である。

${\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ {\overline {X}}_{n}-A{\frac {S_{n}}{\ {\sqrt {n\ }}\ }}<\mu <{\overline {X}}_{n}+A\ {\frac {S_{n}}{\ {\sqrt {n\ }}\ }}\ \right\}=0.9.}$

したがって、端点が

${\displaystyle \ {\overline {X}}_{n}\ \pm A\ {\frac {S_{n}}{\ {\sqrt {n\ }}\ }}\ }$

は、μ の90%信頼区間です。したがって、正規分布に従うと合理的に期待できる観測値セットの平均を求める場合、t分布を使用して、その平均の信頼限界に、帰無仮説 で予測される値など、理論的に予測される値が含まれているかどうかを調べることができます。

この結果は、スチューデントのt 検定で使用されます。2 つの正規分布からのサンプルの平均の差は、それ自体が正規分布しているため、t 分布を使用して、その差が合理的にゼロであると想定できるかどうかを調べることができます。

データが正規分布している場合、平均値の片側（1 − α）上側信頼限界（UCL）は次の式を使用して計算できます。

${\displaystyle {\mathsf {UCL}}_{1-\alpha }={\overline {X}}_{n}+t_{\alpha ,n-1}\ {\frac {S_{n}}{\ {\sqrt {n\ }}\ }}~.}$

結果として得られる UCL は、特定の信頼区間と母集団サイズで発生する最大の平均値になります。言い換えると、観測値セットの平均であるため、分布の平均がUCL _{1 − α}より劣る確率は、信頼水準1 − αに等しくなります。${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$

t分布は、平均と分散が不明な正規分布から、観測されていないサンプルの 予測区間 を構築するために使用できます。

スチューデントのt 分布、特に3パラメータ（位置スケール）バージョンは、正規分布との関連からベイズ統計で頻繁に登場します。正規分布するランダム変数の分散が未知であり、逆ガンマ分布に従う共役事前分布がその上に配置されると、結果として得られる変数の周辺分布はスチューデントのt 分布に従います。同じ結果をもたらす同等の構成には、分散上の共役スケール逆カイ2乗分布、または精度上の共役ガンマ分布が含まれます。⁠に比例する不適切な事前分布が1/ σ²​ ⁠ を分散の上に置くと、t 分布も発生します。これは、正規分布する変数の平均が既知であるか、共役正規分布事前分布に従って未知分布であるか、不適切な定数事前分布に従って未知分布であるかに関係なく当てはまります。

t分布が生成される関連する状況は次のとおり です。

• 上記のモデルに従い、事前平均と分散が不明な、正規分布変数の平均が不明な場合の周辺 事後分布。
• 上記のモデルと同様に事前平均と分散を使用して、一連の独立した同一分布の正規分布データ ポイントが観測された場合の、新しい正規分布データ ポイントの事前予測分布と事後予測分布。

t分布 は、正規分布よりも裾が重いデータに対するモデルとして、正規分布の代わりとしてよく使用されます。たとえば、Lange et al. ^[14]を参照してください。古典的なアプローチは、外れ値を特定し（たとえば、Grubbsの検定を使用）、何らかの方法でそれらを除外または重み付けを下げることでした。ただし、外れ値を特定することは必ずしも容易ではなく（特に高次元の場合）、t 分布はそのようなデータのモデルとして自然に選択され、堅牢な統計に対するパラメトリックなアプローチを提供します。

ベイズの説明は、Gelman et al. ^[15]に見ることができます。自由度パラメータは分布の尖度を制御し、スケールパラメータと相関しています。尤度は複数の極大値を持つ可能性があるため、自由度をかなり低い値に固定し、これを所与として他のパラメータを推定することがしばしば必要になります。一部の著者^{[引用が必要]}は、3 から 9 の間の値が多くの場合良い選択であると報告しています。Venables と Ripley ^{[引用が必要] は}、値 5 が多くの場合良い選択であると示唆しています。

実用的な回帰と予測のニーズのために、 関数に対するスチューデントt分布 の一般化であるスチューデントt過程が導入されました。ガウス過程がガウス分布から構築される のと同じように、スチューデントt分布からスチューデントt 過程が構築されます。ガウス過程の場合、すべての値のセットは多次元ガウス分布を持ちます。同様に、過程（）の対応する値が結合多変量スチューデントt 分布を持つ場合、は 区間上のスチューデントt過程です。^[16]これらの過程は、回帰、予測、ベイズ最適化、および関連する問題に使用されます。多変量回帰と多出力予測のために、多変量スチューデントt 過程が導入され、使用されています。^[17]${\displaystyle X(t)}$${\displaystyle I=[a,b]}$${\displaystyle \ X(t_{1}),\ \ldots \ ,X(t_{n})\ }$${\displaystyle t_{i}\in I}$

次の表は、片側または両側の臨界領域の範囲における自由度νのt 分布の値を示しています。最初の列はν、上部のパーセンテージは信頼水準、表の本体の数字は信頼区間のセクションで説明されている係数です。 ${\displaystyle \ \alpha \ ,}$${\displaystyle t_{\alpha ,n-1}}$

無限のνを持つ最後の行は、正規分布の臨界点を示します。これは、 無限の自由度を持つ t分布が正規分布であるためです。(上記の関連分布を参照)。

信頼区間の計算

 サンプルサイズが11、サンプル平均が10、サンプル分散が2であるとします。自由度10で90%の信頼度の場合、表の 片側t値は1.372です。次に、信頼区間は次のように計算されます。

${\displaystyle \ {\overline {X}}_{n}\pm t_{\alpha ,\nu }\ {\frac {S_{n}}{\ {\sqrt {n\ }}\ }}\ ,}$

我々は90%の信頼度で真の平均値が以下にあると判断した。

${\displaystyle \ 10+1.372\ {\frac {\sqrt {2\ }}{\ {\sqrt {11\ }}\ }}=10.585~.}$

言い換えれば、特定のサンプルからこの方法で上限しきい値を計算すると、その上限しきい値が真の平均を超える確率は 90% になります。

そして90%の信頼度で、真の平均は上記の通りである。

${\displaystyle \ 10-1.372\ {\frac {\sqrt {2\ }}{\ {\sqrt {11\ }}\ }}=9.414~.}$

言い換えれば、この方法で特定のサンプルから下限しきい値が計算された場合、その下限しきい値は 90% の確率で真の平均を下回ります。

したがって、80%の信頼度（100% − 2 × (1 − 90%) = 80%から計算）では、真の平均は次の区間内に存在する。

${\displaystyle \left(\ 10-1.372\ {\frac {\sqrt {2\ }}{\ {\sqrt {11\ }}\ }},\ 10+1.372\ {\frac {\sqrt {2\ }}{\ {\sqrt {11\ }}\ }}\ \right)=(\ 9.414,\ 10.585\ )~.}$

この方法で特定のサンプルから上限と下限の閾値を計算すると、80% の確率で真の平均が上限閾値を下回り、下限閾値を上回るということは、この方法で計算された特定の上限と下限の閾値の間に真の平均が存在する確率が 80% であるということとは異なります。信頼区間と検察官の誤謬を参照してください。

現在では、 R プログラミング言語などの統計ソフトウェアや、多くのスプレッドシート プログラムで使用できる関数により、表を使用せずにt分布とその逆分布の値が計算されます 。

スチューデントのt 分布からランダムサンプルを構築するには、さまざまな方法があります。問題は、サンプルがスタンドアロンベースで必要なのか、または均一なサンプルに分位関数を適用して構築する必要があるのか​​によって異なります。たとえば、コピュラ依存性の多次元アプリケーションベースです。^[要出典]スタンドアロンサンプリングの場合、ボックス-ミュラー法とその極形式の拡張は簡単に展開できます。^[18]この方法の利点は、すべての実数の正の自由度νに同様に適用できるのに対し、他の多くの候補方法はνがゼロに近い場合に失敗します。^[18]

統計学において、t 分布は1876年にヘルメルト^{[19] [20] [21]}とリュロス^{[22] [ 23]によって}事後分布として初めて導き出されました。^{[24]このように、スチューデントの}t分布はスティグラーの同名法則の一例です。t分布は、カール・ピアソンの1895年の論文でピアソンIV型分布 としてより一般的な形でも登場しました。^[25]

英語の文献では、この分布はウィリアム・シーリー・ゴセットが1908年にバイオメトリカ誌に発表した「Student」というペンネームに由来している。^[26]ペンネームの由来に関する一説では、ゴセットの雇用主は、科学論文を発表する際には本名ではなくペンネームを使うことをスタッフに望んでいたため、ゴセットは身元を隠すために「Student」という名前を使ったという。別の説では、ギネスは競合他社に 原材料の品質を判断するためにt検定を使用していることを知られたくなかったという。 ^{[27] [28]}

ゴセットはアイルランドのダブリンにあるギネスビール醸造所で働いており、サンプルサイズが3ほどしかない大麦の化学的性質など、小さなサンプルの問題に興味を持っていました。ゴセットの論文では、分布を「正規母集団から抽出されたサンプルの標準偏差の頻度分布」と呼んでいます。これはロナルド・フィッシャーの研究によってよく知られるようになりました。フィッシャーはこの分布を「スチューデントの分布」と呼び、検定値を文字tで表しました。^{[8] [29]}

• Senn, S.; Richardson, W. (1994). 「最初のt 検定」.医学統計. 13 (8): 785–803. doi :10.1002/sim.4780130802. PMID  8047737.
• Hogg RV、Craig AT (1978)。『数理統計学入門』（第4版）。ニューヨーク：Macmillan。ASIN B010WFO0SA  。
• Venables, WN; Ripley, BD (2002). Modern Applied Statistics with S (第 4 版). Springer.
• ゲルマン、アンドリュー、ジョン B. カーリン、ハル S. スターン、ドナルド B. ルービン (2003)。ベイジアン データ分析 (第 2 版)。CRC/Chapman & Hall。ISBN 1-58488-388-X。

• 「学生分布」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 数学用語の最も古い使用例 (S) (「スチューデント分布」という用語の歴史に関する注釈)
• Rouaud, M. (2013)、「確率、統計、推定」(PDF) (短縮版)112 ページの最初の生徒。
• スチューデントのt分布、2021年4月10日にWayback Machineにアーカイブ