多変量t分布

統計学において、多変量t分布（または多変量スチューデント分布）は多変量確率分布の一種です。これは、単変量確率変数に適用可能な分布であるスチューデントのt分布をランダムベクトルに一般化したものです。ランダム行列の場合もこの構造で扱うことができますが、行列 t 分布はそれとは異なり、行列構造を特に利用します。

意味

多変量t分布を構築する一般的な方法の1つは、 $p$ 次元は、もし $\mathbf {y}$ そして $u$ 独立しており分散している $N({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$ そして $\chi _{\nu }^{2}$ （すなわち、多変量正規分布およびカイ二乗分布）それぞれ、行列 $\mathbf {\Sigma } \,$ はp × p行列であり、 ${\boldsymbol {\mu }}$ 定数ベクトルである場合、確率変数 ${\textstyle {\mathbf {x} }={\mathbf {y} }/{\sqrt {u/\nu }}+{\boldsymbol {\mu }}}$ 密度は^{[ 1 ]}

${\frac {\Gamma \left[(\nu +p)/2\right]}{\Gamma (\nu /2)\nu ^{p/2}\pi ^{p/2}\left|{\boldsymbol {\Sigma }}\right|^{1/2}}}\left[1+{\frac {1}{\nu }}\left({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }}\right)^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\left({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }}\right)\right]^{-(\nu +p)/2}$

そして、パラメータを持つ多変量t分布として分布すると言われている。 ${\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\mu }},\nu$ 。ご了承ください $\mathbf {\Sigma }$ は共分散行列ではありません。共分散は次のように与えられます。 $\nu /(\nu -2)\mathbf {\Sigma }$ （のために $\nu >2$ )

多変量t分布の構成的定義は、同時にサンプリングアルゴリズムとしても機能する。

生成する $u\sim \chi _{\nu }^{2}$ そして $\mathbf {y} \sim N(\mathbf {0} ,{\boldsymbol {\Sigma }})$ 独立して。
計算する ${\textstyle \mathbf {x} \gets \mathbf {y} {\sqrt {\nu /u}}+{\boldsymbol {\mu }}}$ 。

この定式化により、多変量t分布を正規分布のスケール混合として階層的に表現することが可能となる。 $u\sim \mathrm {Ga} (\nu /2,\nu /2)$ どこ $\mathrm {Ga} (a,b)$ は、密度がに比例するガンマ分布を示します。 $x^{a-1}e^{-bx}$ 、そして $\mathbf {x} \mid u$ 条件付きで続く $N({\boldsymbol {\mu }},u^{-1}{\boldsymbol {\Sigma }})$ 。

特別な場合 $\nu =1$ 、その分布は多変量コーシー分布である。

導出

実際には、スチューデントのt分布の多変量一般化には多くの候補があります。この分野の広範な調査は、Kotz と Nadarajah (2004) によって行われています。重要な問題は、単変量の場合の公式の適切な一般化となる、複数の変数の確率密度関数を定義することです。1 次元 ( $p=1$ ）、と $t=x-\mu$ そして $\Sigma =1$ 確率密度関数は次のようになります。 $f(t)={\frac {\Gamma [(\nu +1)/2]}{{\sqrt {\nu \pi \,}}\,\Gamma [\nu /2]}}(1+t^{2}/\nu )^{-(\nu +1)/2}$ そして一つのアプローチは、複数の変数に対応する関数を使用することです。これが楕円分布理論の基本的な考え方であり、対応する関数を書き下します。 $p$ 変数 $t_i$ 置き換える $t²$ すべての二次関数によって $t_i$ これは、すべての周辺分布が同じ自由度を持つ場合にのみ意味を成すことは明らかである。 $\nu$ 。と $\displaystyle \mathbf {A} ={\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}}$ 多変量密度関数の単純な選択が可能

$f(\mathbf {t} )={\frac {\Gamma ((\nu +p)/2)\left|\mathbf {A} \right|^{1/2}}{{\sqrt {\nu ^{p}\pi ^{p}\,}}\,\Gamma (\nu /2)}}\left(1+\sum _{i,j=1}^{p,p}A_{ij}t_{i}t_{j}/\nu \right)^{-(\nu +p)/2}$

これは標準的な選択肢ではあるが、唯一の選択肢ではない。

重要な特殊ケースは、標準的な二変量t分布である。、p = 2:

$f(t_{1},t_{2})={\frac {\left|\mathbf {A} \right|^{1/2}}{2\pi }}\left(1+\sum _{i,j=1}^{2,2}A_{ij}t_{i}t_{j}/\nu \right)^{-(\nu +2)/2}$

ご了承ください ${\frac {\Gamma {\left({\frac {\nu +2}{2}}\right)}}{\pi \nu \,\Gamma {\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}}={\frac {1}{2\pi }}$ 。

さて、もし $\mathbf {A}$ は単位行列であり、密度は

$f(t_{1},t_{2})={\frac {1}{2\pi }}\left(1+(t_{1}^{2}+t_{2}^{2})/\nu \right)^{-(\nu +2)/2}.$

標準的な表現の難しさは、周辺一次元分布の積に因数分解できないこの式によって明らかになる。 $\Sigma$ 対角線の場合、標準表現は相関がゼロであることが示されますが、周辺分布は統計的に独立ではありません。

楕円多変量分布の注目すべき自発的発生は、資産ポートフォリオに対する古典的なマークウィッツ最小分散計量経済学解などの多変量正規データに最小二乗法を適用した際の形式的な数学的出現である。^{[ 2 ]}

累積分布関数

1 次元の累積分布関数(cdf)の定義は、次の確率 (ここでは $\mathbf {x}$ （実数ベクトル）：

$F(\mathbf {x} )=\mathbb {P} (\mathbf {X} \leq \mathbf {x} ),\quad {\textrm {where}}\;\;\mathbf {X} \sim t_{\nu }({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }}).$ 単純な公式はありません $F(\mathbf {x} )$ しかし、モンテカルロ積分によって数値的に近似することができる。^[³^]^[⁴^]^[⁵^]

条件付き分布

これはミュアヘッド^{[ 6 ]}とコーニッシュ^{[ 7 ]によって開発されたが、後にロス}^{[ 1 ]}とディング^{[ 8 ]}によって上記のより単純なカイ二乗比表現を用いて導出された。ベクトルを $X$ 多変量t分布に従い、2つのサブベクトルに分割する $p_{1},p_{2}$ 要素: $X_{p}={\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\end{bmatrix}}\sim t_{p}\left(\mu _{p},\Sigma _{p\times p},\nu \right)$

どこ $p_{1}+p_{2}=p$ 既知の平均ベクトルは $\mu _{p}={\begin{bmatrix}\mu _{1}\\\mu _{2}\end{bmatrix}}$ スケール行列は $\Sigma _{p\times p}={\begin{bmatrix}\Sigma _{11}&\Sigma _{12}\\\Sigma _{21}&\Sigma _{22}\end{bmatrix}}$ 。

ロスとディングは条件付き分布を見つける $p(X_{1}|X_{2})$ 修正されたパラメータを持つ新しいt分布となる。

$X_{1}|X_{2}\sim t_{p_{1}}\left(\mu _{1|2},\,{\frac {\nu +d_{2}}{\nu +p_{2}}}\Sigma _{11|2},\,\nu +p_{2}\right)$

Kotz et al. の論文における同等の表現は、やや簡潔さに欠ける。

したがって、条件付き分布は2段階の手順で最も簡単に表現できます。まず中間分布を作成します。 $X_{1}|X_{2}\sim t_{p_{1}}\left(\mu _{1|2},\Psi ,{\tilde {\nu }}\right)$ 上記より、以下のパラメータを使用すると、明示的な条件付き分布は次のようになります。

$f(X_{1}|X_{2})={\frac {\Gamma {\left({\frac {{\tilde {\nu }}+p_{1}}{2}}\right)}}{\Gamma {\left({\frac {\tilde {\nu }}{2}}\right)}\left(\pi \,{\tilde {\nu }}\right)^{p_{1}/2}\left|{\boldsymbol {\Psi }}\right|^{1/2}}}\left[1+{\frac {1}{\tilde {\nu }}}\left(X_{1}-\mu _{1|2}\right)^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Psi }}^{-1}\left(X_{1}-\mu _{1|2}\right)\right]^{-({\tilde {\nu }}+p_{1})/2}$ どこ ${\tilde {\nu }}=\nu +p_{2}$ 有効自由度、 $\nu$ 使用されていない変数の数によって増加します $p_{2}$ 。 $\mu _{1|2}=\mu _{1}+\Sigma _{12}\Sigma _{22}^{-1}\left(X_{2}-\mu _{2}\right)$ は条件付き平均です $x_{1}$ $\Sigma _{11|2}=\Sigma _{11}-\Sigma _{12}\Sigma _{22}^{-1}\Sigma _{21}$ は、 $\Sigma _{22}{\text{ in }}\Sigma$ 。 $d_{2}=(X_{2}-\mu _{2})^{\mathsf {T}}\Sigma _{22}^{-1}(X_{2}-\mu _{2})$ は、 $X_{2}$ から $\mu _{2}$ スケール行列付き $\Sigma _{22}$ $\Psi ={\frac {\nu +d_{2}}{\tilde {\nu }}}\Sigma _{11|2}$ は条件付きスケール行列です ${\tilde {\nu }}>0$ そして $\Sigma _{cov}={\frac {\tilde {\nu }}{{\tilde {\nu }}-2}}\Psi ={\frac {\nu +d_{2}}{{\tilde {\nu }}-2}}\Sigma _{11|2}$ は、条件付き共分散行列です。 ${\tilde {\nu }}>2$ 。

多変量tに基づくコピュラ

このような分布の使用は、特にスチューデントのtコピュラの使用を通じて、数理ファイナンスへの応用により再び注目を集めている。^[⁹^]

楕円表現

楕円分布として構築され、^{[ 10 ]}球対称でスケーリングのない最も単純な中心化ケースを取り上げます。 $\Sigma =\operatorname {I} \,$ すると、多変量t -PDFは次の形式になる。

$f_{X}(X)=g(X^{\mathsf {T}}X)={\frac {\Gamma {\left({\frac {\nu +p}{2}}\right)}}{(\nu \pi )^{\,p/2}\Gamma {\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}}\left(1+\nu ^{-1}X^{\mathsf {T}}X\right)^{-(\nu +p)/2}$

どこ $X=(x_{1},\cdots ,x_{p})^{\mathsf {T}}$ は $p$ -ベクトルと $\nu$ ^{は、Muirhead [ 6 ] の}セクション 1.5で定義されている自由度です。共分散は $X$ は

$\operatorname {E} \left(XX^{\mathsf {T}}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x_{1},\dots ,x_{p})XX^{\mathsf {T}}\,dx_{1}\dots dx_{p}={\frac {\nu }{\nu -2}}\operatorname {I}$

目的は、デカルト座標系の確率密度関数を放射状座標系の確率密度関数に変換することである。KibriaとJoarder ^{[ 11 ]}は放射状測度を定義している。 $r_{2}=R^{2}={\frac {X^{\mathsf {T}}X}{p}}$ そして、密度は r ₂のみに依存することに注目すると、次の式が得られます。

$\operatorname {E} [r_{2}]=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x_{1},\dots ,x_{p}){\frac {X^{\mathsf {T}}X}{p}}\,dx_{1}\dots dx_{p}={\frac {\nu }{\nu -2}}$

これは分散に等しい $p$ -要素ベクトル $X$ 相関はないが統計的に依存する要素を持つ、単変量で裾の重いゼロ平均のランダムシーケンスとして扱われる。

放射状分布

$r_{2}={\frac {X^{\mathsf {T}}X}{p}}$ フィッシャー・スネデカー法に従うか、 $F$ 分布：

$r_{2}\sim f_{F}(p,\nu )=B{\bigg (}{\frac {p}{2}},{\frac {\nu }{2}}{\bigg )}^{-1}{\bigg (}{\frac {p}{\nu }}{\bigg )}^{p/2}r_{2}^{p/2-1}{\bigg (}1+{\frac {p}{\nu }}r_{2}{\bigg )}^{-(p+\nu )/2}$

平均値を持つ $\operatorname {E} [r_{2}]={\frac {\nu }{\nu -2}}$ 。 $F$ -分布は、標本標準偏差で正規化された標本データの二乗和の検定において自然に発生する。

ランダム変数の変更により $y={\frac {p}{\nu }}r_{2}={\frac {X^{\mathsf {T}}X}{\nu }}$ 上記の式では、 $p$ -ベクター $X$ 、我々は持っています $\operatorname {E} [y]=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(X){\frac {X^{\mathsf {T}}X}{\nu }}\,dx_{1}\dots dx_{p}={\frac {p}{\nu -2}}$ 確率分布 ${\begin{aligned}f_{Y}(y|\,p,\nu )&=\left|{\frac {p}{\nu }}\right|^{-1}B\left({\frac {p}{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)^{-1}\left({\frac {p}{\nu }}\right)^{p/2}\left({\frac {p}{\nu }}\right)^{-p/2-1}y^{\,p/2-1}{\bigl (}1+y{\bigr )}^{-(p+\nu )/2}\\[2ex]&=B\left({\frac {p}{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)^{-1}y^{\,p/2-1}{\bigl (}1+y{\bigr )}^{-(\nu +p)/2}\end{aligned}}$

これは通常のベータプライム分布です $y\sim \beta \,'{\bigg (}y;{\frac {p}{2}},{\frac {\nu }{2}}{\bigg )}$ 平均値を持つ ${\frac {{\frac {1}{2}}p}{{\frac {1}{2}}\nu -1}}={\frac {p}{\nu -2}}$ 。

累積放射状分布

ベータプライム分布が与えられた場合、放射状累積分布関数は $y$ 知られていること： $F_{Y}(y)\sim I{\bigg (}{\frac {y}{1+y}};\,{\frac {p}{2}},{\frac {\nu }{2}}{\bigg )}\,B{\bigg (}{\frac {p}{2}},{\frac {\nu }{2}}{\bigg )}^{-1}$

どこ $I$ は不完全なベータ関数であり、球面に適用されます $\Sigma$ 予測。

スカラーの場合、 $p=1$ 、分布は等価なスチューデントt分布と等価である。 $t^{2}=y^{2}\sigma ^{-1}$ 変数tはCDFの目的で両側の裾を持つ、つまり「両側t検定」である。

半径分布は、デカルト座標から球面座標への単純な座標変換によっても導出できます。 ${\textstyle R=\left(X^{\mathsf {T}}X\right)^{1/2}}$ PDF付き ${\textstyle p_{X}(X)\propto \left(1+\nu ^{-1}R^{2}\right)^{-(\nu +p)/2}}$ は等密度面です。この密度値を与えると、表面積のシェル上の確率量子は $A_{R}$ 厚さ $\delta R$ で $R$ は $\delta P=p_{X}(R)\,A_{R}\delta R$ 。

同封の $p$ 半径の球 $R$ 表面積を持つ $A_{R}={\frac {2\pi ^{p/2}R^{\,p-1}}{\Gamma (p/2)}}$ 代入 $\delta P$ シェルには確率の要素があることを示している $\delta P=p_{X}(R){\frac {2\pi ^{p/2}R^{p-1}}{\Gamma (p/2)}}\delta R$ これは動径密度関数に相当する。 $f_{R}(R)={\frac {\Gamma {\big (}{\frac {1}{2}}(\nu +p)\,{\big )}}{\nu ^{\,p/2}\pi ^{\,p/2}\Gamma {\big (}{\frac {1}{2}}\nu {\big )}}}{\frac {2\pi ^{p/2}R^{p-1}}{\Gamma (p/2)}}{\bigg (}1+{\frac {R^{2}}{\nu }}{\bigg )}^{-(\nu +p)/2}$ さらに簡略化すると $f_{R}(R)={\frac {2}{\nu ^{1/2}B{\big (}{\frac {1}{2}}p,{\frac {1}{2}}\nu {\big )}}}{\bigg (}{\frac {R^{2}}{\nu }}{\bigg )}^{(p-1)/2}{\bigg (}1+{\frac {R^{2}}{\nu }}{\bigg )}^{-(\nu +p)/2}$ どこ $B(*,*)$ はベータ関数です。

半径変数を変更して $y=R^{2}/\nu$ 以前のベータプライム配布を返します $f_{Y}(y)={\frac {1}{B{\left({\frac {1}{2}}p,{\frac {1}{2}}\nu \right)}}}y^{\,p/2-1}\left(1+y\right)^{-(\nu +p)/2}$

放射状形状関数を変更せずに放射状変数をスケーリングするには、スケール行列を定義します。 $\Sigma =\alpha \operatorname {I}$ 3パラメータのデカルト密度関数、すなわち確率 $\Delta _{P}$ 体積要素 $dx_{1}\dots dx_{p}$ は

$\Delta _{P}{\big (}f_{X}(X\,|\alpha ,p,\nu ){\big )}={\frac {\Gamma {\left({\frac {1}{2}}(\nu +p)\,\right)}}{(\nu \pi )^{\,p/2}\alpha ^{\,p/2}\Gamma {\left({\frac {1}{2}}\nu \right)}}}\left(1+{\frac {X^{\mathsf {T}}X}{\alpha \nu }}\right)^{-(\nu +p)/2}\;dx_{1}\dots dx_{p}$

または、スカラー動径変数の観点から $R$ 、

$f_{R}(R\,|\alpha ,p,\nu )={\frac {2}{\alpha ^{1/2}\;\nu ^{1/2}B{\big (}{\frac {1}{2}}p,{\frac {1}{2}}\nu {\big )}}}{\bigg (}{\frac {R^{2}}{\alpha \,\nu }}{\bigg )}^{(p-1)/2}{\bigg (}1+{\frac {R^{2}}{\alpha \,\nu }}{\bigg )}^{-(\nu +p)/2}$

半径方向モーメント

球面分布を仮定した場合、すべての動径変数のモーメントはベータプライム分布から導出できます。 $Z\sim \beta '(a,b)$ それから $\operatorname {E} (Z^{m})={\frac {B(a+m,b-m)}{B(a,b)}}$ 既知の結果である。したがって、変数については $y={\frac {p}{\nu }}R^{2}$ 我々は持っています $\operatorname {E} (y^{m})={\frac {B({\frac {1}{2}}p+m,{\frac {1}{2}}\nu -m)}{B({\frac {1}{2}}p,{\frac {1}{2}}\nu )}}={\frac {\Gamma {\big (}{\frac {1}{2}}p+m{\big )}\;\Gamma {\big (}{\frac {1}{2}}\nu -m{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {1}{2}}p{\big )}\;\Gamma {\big (}{\frac {1}{2}}\nu {\big )}}},\;\nu /2>m$ 瞬間 $r_{2}=\nu \,y$ は $\operatorname {E} (r_{2}^{m})=\nu ^{m}\operatorname {E} (y^{m})$ スケール行列を導入しながら $\alpha \operatorname {I}$ 収量 $\operatorname {E} (r_{2}^{m}|\alpha )=\alpha ^{m}\nu ^{m}\operatorname {E} (y^{m})$ 半径方向変数に関連するモーメント $R$ 設定により見つける $R=(\alpha \nu y)^{1/2}$ そして $M=2m$ そこで ${\begin{aligned}\operatorname {E} (R^{M})&=\operatorname {E} \!\left((\alpha \nu y)^{1/2}\right)^{2m}=(\alpha \nu )^{M/2}\operatorname {E} (y^{M/2})\\[1ex]&=(\alpha \nu )^{M/2}{\frac {B{\big (}{\frac {1}{2}}(p+M),{\frac {1}{2}}(\nu -M){\big )}}{B{\left({\frac {p}{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)}}}\end{aligned}}$

線形結合とアフィン変換

フルランク変身

これは多変量正規分布法と密接に関連しており、KotzとNadarajah、KibriaとJoarder、Roth、Cornishによって説明されています。中心MV-t pdfのやや簡略化されたバージョンから始めます。 $f_{X}(X)={\frac {\mathrm {K} }{\left|\Sigma \right|^{1/2}}}\left(1+\nu ^{-1}X^{\mathsf {T}}\Sigma ^{-1}X\right)^{-\left(\nu +p\right)/2}$ 、どこ $\mathrm {K}$ は定数であり、 $\nu$ は任意だが固定されている、 $\Theta \in \mathbb {R} ^{p\times p}$ フルランク行列であり、ベクトルを形成する $Y=\Theta X$ そして、単純な変数変換によって

$f_{Y}(Y)={\frac {\mathrm {K} }{\left|\Sigma \right|^{1/2}}}\left(1+\nu ^{-1}Y^{\mathsf {T}}\Theta ^{-{\mathsf {T}}}\Sigma ^{-1}\Theta ^{-1}Y\right)^{-\left(\nu +p\right)/2}\left|{\frac {\partial Y}{\partial X}}\right|^{-1}$

偏微分行列は ${\frac {\partial Y_{i}}{\partial X_{j}}}=\Theta _{i,j}$ そしてヤコビアンは次のようになる $\left|{\frac {\partial Y}{\partial X}}\right|=\left|\Theta \right|$ 。したがって $f_{Y}(Y)={\frac {\mathrm {K} }{\left|\Sigma \right|^{1/2}\left|\Theta \right|}}\left(1+\nu ^{-1}Y^{\mathsf {T}}\Theta ^{-{\mathsf {T}}}\Sigma ^{-1}\Theta ^{-1}Y\right)^{-\left(\nu +p\right)/2}$

分母は次のように簡約されます。 $\left|\Sigma \right|^{1/2}\left|\Theta \right|=\left|\Sigma \right|^{1/2}\left|\Theta \right|^{1/2}\left|\Theta ^{\mathsf {T}}\right|^{1/2}=\left|\Theta \Sigma \Theta ^{\mathsf {T}}\right|^{1/2}$ 全文： $f_{Y}(Y)={\frac {\Gamma \left[(\nu +p)/2\right]}{\Gamma (\nu /2)\,(\nu \,\pi )^{\,p/2}\left|\Theta \Sigma \Theta ^{\mathsf {T}}\right|^{1/2}}}\left(1+\nu ^{-1}Y^{\mathsf {T}}\left(\Theta \Sigma \Theta ^{\mathsf {T}}\right)^{-1}Y\right)^{-\left(\nu +p\right)/2}$

これは通常のMV- t分布です。

一般的に、 $X\sim t_{p}(\mu ,\Sigma ,\nu )$ そして $\Theta ^{p\times p}$ 完全なランクを持っています $p$ それから $\Theta X+c\sim t_{p}(\Theta \mu +c,\Theta \Sigma \Theta ^{\mathsf {T}},\nu )$

周辺分布

これは、以下のランク削減線形変換の特殊なケースです。Kotz は周辺分布を次のように定義しています。分割 $X\sim t(p,\mu ,\Sigma ,\nu )$ 2 つのサブベクトルに $p_{1},p_{2}$ 要素: $X_{p}={\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\end{bmatrix}}\sim t\left(p_{1}+p_{2},\mu _{p},\Sigma _{p\times p},\nu \right)$

と $p_{1}+p_{2}=p$ 、手段 $\mu _{p}={\begin{bmatrix}\mu _{1}\\\mu _{2}\end{bmatrix}}$ 、スケール行列 $\Sigma _{p\times p}={\begin{bmatrix}\Sigma _{11}&\Sigma _{12}\\\Sigma _{21}&\Sigma _{22}\end{bmatrix}}$

それから $X_{1}\sim t\left(p_{1},\mu _{1},\Sigma _{11},\nu \right)$ 、 $X_{2}\sim t\left(p_{2},\mu _{2},\Sigma _{22},\nu \right)$ そのため $f(X_{1})={\frac {\Gamma \left[(\nu +p_{1})/2\right]}{\Gamma (\nu /2)\,(\nu \,\pi )^{\,p_{1}/2}\left|{{\boldsymbol {\Sigma }}_{11}}\right|^{1/2}}}\left[1+{\frac {1}{\nu }}({\mathbf {X} _{1}}-{{\boldsymbol {\mu }}_{1}})^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Sigma }}_{11}^{-1}({\mathbf {X} _{1}}-{{\boldsymbol {\mu }}_{1}})\right]^{-(\nu \,+\,p_{1})/2}$

$f(X_{2})={\frac {\Gamma \left[(\nu +p_{2})/2\right]}{\Gamma (\nu /2)\,(\nu \,\pi )^{\,p_{2}/2}\left|{{\boldsymbol {\Sigma }}_{22}}\right|^{1/2}}}\left[1+{\frac {1}{\nu }}({\mathbf {X} _{2}}-{{\boldsymbol {\mu }}_{2}})^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Sigma }}_{22}^{-1}({\mathbf {X} _{2}}-{{\boldsymbol {\mu }}_{2}})\right]^{-(\nu \,+\,p_{2})/2}$

変換が次の形式で構築される場合 $\Theta _{p_{1}\times \,p}={\begin{bmatrix}1&\cdots &0&\cdots &0\\0&\ddots &0&\cdots &0\\0&\cdots &1&\cdots &0\end{bmatrix}}$

次にベクトル $Y=\Theta X$ は、以下で説明するように、の周辺分布と同じ分布を持つ。 $X_{1}$ 。

ランク削減線形変換

線形変換の場合、 $\Theta$ 長方形行列です $\Theta \in \mathbb {R} ^{m\times p},m<p$ 階級 $m$ その結果、次元削減が実現する。ここで、ヤコビアン $\left|\Theta \right|$ 一見長方形に見えるが、その値は $\left|\Theta \Sigma \Theta ^{\mathsf {T}}\right|^{1/2}$ 分母のpdfはそれでも正しい。Aitkenには長方形行列の積の行列式についての議論がある。^{[ 12 ]}一般に、 $X\sim t(p,\mu ,\Sigma ,\nu )$ そして $\Theta ^{m\times p}$ 完全なランクを持っています $m$ それから

$Y=\Theta X+c\sim t(m,\Theta \mu +c,\Theta \Sigma \Theta ^{\mathsf {T}},\nu )$ $f_{Y}(Y)={\frac {\Gamma \left[(\nu +m)/2\right]}{\Gamma (\nu /2)\,(\nu \,\pi )^{\,m/2}\left|\Theta \Sigma \Theta ^{\mathsf {T}}\right|^{1/2}}}\left[1+{\frac {1}{\nu }}(Y-c_{1})^{\mathsf {T}}(\Theta \Sigma \Theta ^{\mathsf {T}})^{-1}(Y-c_{1})\right]^{-(\nu \,+\,m)/2},\;c_{1}=\Theta \mu +c$

極限では、m = 1 の場合、 $\Theta$ 行ベクトルになると、スカラーY は、次のように定義される単変量両側スチューデント t 分布に従います。 $t^{2}=Y^{2}/\sigma ^{2}$ 同じ $\nu$ 自由度。Kibria らはアフィン変換を使用して周辺分布を見つけますが、これも MV- tです。

楕円分布を持つ変数のアフィン変換では、すべてのベクトルは最終的に1つの初期等方性球面ベクトルから派生する必要があります。 $Z$ その要素は「絡み合った」状態にあり、統計的に独立していない。
独立したt分布の標本のベクトルは、多変量t分布とは一致しません。
独立したカイ二乗サンプルと異なるサンプルで生成された2つのサンプル多変量tベクトルを追加する $\nu$ 値: ${\textstyle {1}/{\sqrt {u_{1}/\nu _{1}}},\;\;{1}/{\sqrt {u_{2}/\nu _{2}}}}$ 内部的に一貫性のある分布は生成されないが、ベレンス・フィッシャー問題は発生する。^{[ 13 ]}
タレブは、裾の厚い楕円型多変量分布と非楕円型多変量分布の多くの例を比較している。

参考文献

1 2 Roth, Michael (2013年4月17日). 「多変量t分布について」(PDF) .自動制御グループ。リンシェーピン大学、スウェーデン。2022年7月31日のオリジナルからアーカイブ(PDF) 。 2022年6月1日取得。
1 2 Bodnar, T; Okhrin, Y (2008). "Properties of the Singular, Inverse and Generalized inverse Partitioned Wishart Distribution" (PDF) . Journal of Multivariate Analysis . 99 (Eqn.20): 2389– 2405. doi : 10.1016/j.jmva.2008.02.024 .
↑ボテフ、Z.;チェン、Y.-L. （2022年）。「第 4 章: 指数関数的傾斜による切り捨てられた多変量スチューデントの計算」。ズドラフコのボテフにて。ケラー、アレクサンダー。ルミュー、クリスティアーヌ。タフィン、ブルーノ (編)。モデリングとシミュレーションの進歩: Pierre L'Ecuyer のフェストシュリフト。スプリンガー。 pp. 65–87 .土井: 10.1007/978-3-031-10193-9_4。ISBN 978-3-031-10192-2。
↑ Botev, ZI; L'Ecuyer, P. (2015年12月6日). 「切断された多変量スチューデントt分布の効率的な確率推定とシミュレーション」. 2015 Winter Simulation Conference (WSC) . ハンティントンビーチ、カリフォルニア州、米国: IEEE. pp. 380–391 . doi : 10.1109/WSC.2015.7408180 . hdl : 1959.4/unsworks_38275 .
↑ Genz, Alan (2009).多変量正規分布とt分布の確率の計算. 統計学講義ノート. 第195巻. Springer. doi : 10.1007/978-3-642-01689-9 . ISBN 978-3-642-01689-92022年8月27日にオリジナルからアーカイブされました。2017年9月5日に取得。
1 2 Muirhead, Robb (1982). Aspects of Multivariate Statistical Theory . USA: Wiley. pp. 32–36 定理 1.5.4. ISBN 978-0-47 1-76985-9。
↑ Cornish, EA (1954). "正規標本偏差のセットに関連する多変量t分布" . Australian Journal of Physics . 7 : 531– 542. doi : 10.1071/PH550193 .
↑ Ding, Peng (2016). "多変量t分布の条件付き分布について" .The American Statistician . 70 (3): 293–295 . arXiv : 1604.00561 . doi : 10.1080/00031305.2016.1164756 . S2CID 55842994 .
↑ Demarta, Stefano; McNeil, Alexander (2004). "The t Copula and Related Copulas" (PDF) . Risknet .
↑ Osiewalski, Jacek; Steele, Mark (1996). "楕円サンプリングモデルにおける尺度パラメータの事後モーメント".ベイズ統計学および計量経済学における分析. Wiley. pp. 323–335 . ISBN 0-471-11856-7。
↑ Kibria, KMG; Joarder, AH (2006年1月) 「多変量t分布の簡単なレビュー」(PDF) . Journal of Statistical Research . 40 (1): 59– 72. doi : 10.1007/s42979-021-00503-0 . S2CID 232163198 .
↑ Aitken, AC - (1948). Determinants and Matrices (5th ed.). Edinburgh: Oliver and Boyd. pp. Chapter IV, section 36.
↑ Giron, Javier; del Castilo, Carmen (2010). "多変量Behrens–Fisher分布" . Journal of Multivariate Analysis . 101 (9): 2091–2102 . doi : 10.1016/j.jmva.2010.04.008 .
↑ Okhrin, Y; Schmid, W (2006). "ポートフォリオウェイトの分布特性" . Journal of Econometrics . 134 : 235– 256. doi : 10.1016/j.jeconom.2005.06.022 .
↑ Bodnar, T; Dmytriv, S; Parolya, N; Schmid, W (2019). "高次元設定におけるグローバル最小分散ポートフォリオの重みのテスト". IEEE Transactions on Signal Processing . 67 (17): 4479–4493 . arXiv : 1710.09587 . Bibcode : 2019ITSP...67.4479B . doi : 10.1109/TSP.2019.2929964 .

文学

コッツ、サミュエル；ナダラジャ、サラリース（2004）。多変量t分布とその応用。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0521826549。
ケルビーニ、ウンベルト。ルチアーノ、エリサ。ウォルター、ヴェッキアート (2004)。金融におけるコピュラ手法。ジョン・ワイリー＆サンズ。ISBN 978-0470863442。
タレブ、ナシム・ニコラス（2023）。『ファットテールの統計的帰結』（第1 版）。アカデミック・プレス。ISBN 979-8218248031。

外部リンク

コピュラ法と正準多変量分布の比較：一般自由度を持つ多変量スチューデントt分布
多変量スチューデントのt分布

[:0-1] 1 2 Roth, Michael (2013年4月17日). 「多変量t分布について」(PDF) .自動制御グループ。リンシェーピン大学、スウェーデン。2022年7月31日のオリジナルからアーカイブ(PDF) 。 2022年6月1日取得。

[:2-2] 1 2 Bodnar, T; Okhrin, Y (2008). "Properties of the Singular, Inverse and Generalized inverse Partitioned Wishart Distribution" (PDF) . Journal of Multivariate Analysis . 99 (Eqn.20): 2389– 2405. doi : 10.1016/j.jmva.2008.02.024 .

[bochen22-3] ボテフ、Z.;チェン、Y.-L. （2022年）。「第 4 章: 指数関数的傾斜による切り捨てられた多変量スチューデントの計算」。ズドラフコのボテフにて。ケラー、アレクサンダー。ルミュー、クリスティアーヌ。タフィン、ブルーノ (編)。モデリングとシミュレーションの進歩: Pierre L'Ecuyer のフェストシュリフト。スプリンガー。 pp. 65–87 .土井: 10.1007/978-3-031-10193-9_4。ISBN 978-3-031-10192-2。

[boLec16-4] Botev, ZI; L'Ecuyer, P. (2015年12月6日). 「切断された多変量スチューデントt分布の効率的な確率推定とシミュレーション」. 2015 Winter Simulation Conference (WSC) . ハンティントンビーチ、カリフォルニア州、米国: IEEE. pp. 380–391 . doi : 10.1109/WSC.2015.7408180 . hdl : 1959.4/unsworks_38275 .

[Genz-5] Genz, Alan (2009).多変量正規分布とt分布の確率の計算. 統計学講義ノート. 第195巻. Springer. doi : 10.1007/978-3-642-01689-9 . ISBN 978-3-642-01689-92022年8月27日にオリジナルからアーカイブされました。2017年9月5日に取得。

[:1-6] 1 2 Muirhead, Robb (1982). Aspects of Multivariate Statistical Theory . USA: Wiley. pp. 32–36 定理 1.5.4. ISBN 978-0-47 1-76985-9。

[7] Cornish, EA (1954). "正規標本偏差のセットに関連する多変量t分布" . Australian Journal of Physics . 7 : 531– 542. doi : 10.1071/PH550193 .

[8] Ding, Peng (2016). "多変量t分布の条件付き分布について" .The American Statistician . 70 (3): 293–295 . arXiv : 1604.00561 . doi : 10.1080/00031305.2016.1164756 . S2CID 55842994 .

[9] Demarta, Stefano; McNeil, Alexander (2004). "The t Copula and Related Copulas" (PDF) . Risknet .

[10] Osiewalski, Jacek; Steele, Mark (1996). "楕円サンプリングモデルにおける尺度パラメータの事後モーメント".ベイズ統計学および計量経済学における分析. Wiley. pp. 323–335 . ISBN 0-471-11856-7。

[11] Kibria, KMG; Joarder, AH (2006年1月) 「多変量t分布の簡単なレビュー」(PDF) . Journal of Statistical Research . 40 (1): 59– 72. doi : 10.1007/s42979-021-00503-0 . S2CID 232163198 .

[12] Aitken, AC - (1948). Determinants and Matrices (5th ed.). Edinburgh: Oliver and Boyd. pp. Chapter IV, section 36.

[13] Giron, Javier; del Castilo, Carmen (2010). "多変量Behrens–Fisher分布" . Journal of Multivariate Analysis . 101 (9): 2091–2102 . doi : 10.1016/j.jmva.2010.04.008 .

[14] Okhrin, Y; Schmid, W (2006). "ポートフォリオウェイトの分布特性" . Journal of Econometrics . 134 : 235– 256. doi : 10.1016/j.jeconom.2005.06.022 .

[15] Bodnar, T; Dmytriv, S; Parolya, N; Schmid, W (2019). "高次元設定におけるグローバル最小分散ポートフォリオの重みのテスト". IEEE Transactions on Signal Processing . 67 (17): 4479–4493 . arXiv : 1710.09587 . Bibcode : 2019ITSP...67.4479B . doi : 10.1109/TSP.2019.2929964 .

[

[

[

[ 7 ]によって開発されたが、後にロス

[ 8 ]

[

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]