非心t分布

非中心学生t

確率密度関数
パラメータ	ν > 0 自由度非心パラメータ ${\displaystyle \mu \in \Re \,\!}$
サポート	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\,\!}$
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ドイツ連邦共和国	テキストを参照
平均	テキストを参照
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歪度	テキストを参照
過剰尖度	テキストを参照

非心t分布は、非心パラメータを使用してスチューデントのt分布 を一般化したものです。中心確率分布は、検定される差が帰無仮説である場合に検定統計量t がどのように分布するかを説明しますが、非心分布は帰無仮説が偽である場合にt がどのように分布するかを説明します。このため、統計、特に統計的検出力の計算で使用されます。非心t分布は単独非心t分布とも呼ばれ、統計的推論での主な用途に加えて、データの堅牢なモデリングにも使用されます。

Zが標準正規分布のランダム変数で、V がZとは独立した自由度νのカイ二乗分布のランダム変数である場合、

${\displaystyle T={\frac {Z+\mu }{\sqrt {V/\nu }}}}$

は、自由度 ν と非心度パラメータμ ≠ 0 を持つ非心t分布のランダム変数です。非心度パラメータは負になる可能性があることに注意してください。

自由度νと非心パラメータμを持つ非心t分布の累積分布関数は次のように表される^[1]。

${\displaystyle F_{\nu ,\mu }(x)={\begin{cases}{\tilde {F}}_{\nu ,\mu }(x),&{\mbox{if }}x\geq 0;\\1-{\tilde {F}}_{\nu ,-\mu }(x),&{\mbox{if }}x<0,\end{cases}}}$

どこ

${\displaystyle {\tilde {F}}_{\nu ,\mu }(x)=\Phi (-\mu )+{\frac {1}{2}}\sum _{j=0}^{\infty }\left[p_{j}I_{y}\left(j+{\frac {1}{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)+q_{j}I_{y}\left(j+1,{\frac {\nu }{2}}\right)\right],}$

${\displaystyle I_{y}\,\!(a,b)}$は正規化された不完全ベータ関数であり、

${\displaystyle y={\frac {x^{2}}{x^{2}+\nu }},}$

${\displaystyle p_{j}={\frac {1}{j!}}\exp \left\{-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right\}}\left({\frac {\mu ^{2}}{2}}\right)^{j},}$

${\displaystyle q_{j}={\frac {\mu }{{\sqrt {2}}\Gamma (j+3/2)}}\exp \left\{-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right\}}\left({\frac {\mu ^{2}}{2}}\right)^{j},}$

Φは標準正規分布の累積分布関数です。

あるいは、非心t分布CDFは次のように表すこともできる^{[引用が必要]}。

${\displaystyle F_{v,\mu }(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}(-\mu {\sqrt {2}})^{j}e^{\frac {-\mu ^{2}}{2}}{\frac {\Gamma ({\frac {j+1}{2}})}{\sqrt {\pi }}}I\left({\frac {v}{v+x^{2}}};{\frac {v}{2}},{\frac {j+1}{2}}\right),&x\geq 0\\1-{\frac {1}{2}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}(-\mu {\sqrt {2}})^{j}e^{\frac {-\mu ^{2}}{2}}{\frac {\Gamma ({\frac {j+1}{2}})}{\sqrt {\pi }}}I\left({\frac {v}{v+x^{2}}};{\frac {v}{2}},{\frac {j+1}{2}}\right),&x<0\end{cases}}}$

ここで、Γはガンマ関数、Iは正規化された不完全ベータ関数です。

累積分布関数には他の形式もありますが、上記の最初の形式は再帰計算によって非常に簡単に評価できます。^{[1]統計ソフトウェア}Rでは、累積分布関数はptとして実装されています。

自由度 ν > 0 および非心度パラメータ μ を持つ非心t分布の確率密度関数( pdf)は、いくつかの形式で表現できます。

密度関数の 合流型超幾何関数形は

${\displaystyle f(x)=\underbrace {{\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\tfrac {\nu +1}{2}}}} _{{\text{StudentT}}(x\,;\,\mu =0)}\exp {\big (}-{\tfrac {\mu ^{2}}{2}}{\big )}{\Big \{}A_{\nu }(x\,;\,\mu )+B_{\nu }(x\,;\,\mu ){\Big \}},}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\nu }(x\,;\,\mu )&={_{1}F}_{1}\left({\frac {\nu +1}{2}}\,;\,{\frac {1}{2}}\,;\,{\frac {\mu ^{2}x^{2}}{2(x^{2}+\nu )}}\right),\\B_{\nu }(x\,;\,\mu )&={\frac {{\sqrt {2}}\mu x}{\sqrt {x^{2}+\nu }}}{\frac {\Gamma ({\frac {\nu }{2}}+1)}{\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}}{_{1}F}_{1}\left({\frac {\nu }{2}}+1\,;\,{\frac {3}{2}}\,;\,{\frac {\mu ^{2}x^{2}}{2(x^{2}+\nu )}}\right),\end{aligned}}}$

ここで₁ F _1は合流型超幾何関数である。

代替の積分形式は^{[2]である。}

${\displaystyle f(x)={\frac {\nu ^{\frac {\nu }{2}}\exp \left(-{\frac {\nu \mu ^{2}}{2(x^{2}+\nu )}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\Gamma ({\frac {\nu }{2}})2^{\frac {\nu -1}{2}}(x^{2}+\nu )^{\frac {\nu +1}{2}}}}\int _{0}^{\infty }y^{\nu }\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left(y-{\frac {\mu x}{\sqrt {x^{2}+\nu }}}\right)^{2}\right)dy.}$

密度の 3 番目の形式は、次のように累積分布関数を使用して取得されます。

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {\nu }{x}}\left\{F_{\nu +2,\mu }\left(x{\sqrt {1+{\frac {2}{\nu }}}}\right)-F_{\nu ,\mu }(x)\right\},&{\mbox{if }}x\neq 0;\\{\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\pi \nu }}\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\exp \left(-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right),&{\mbox{if }}x=0.\end{cases}}}$

これは、 Rのdt関数によって実装されるアプローチです。

一般に、非心t分布のk次の生のモーメントは^[3]

${\displaystyle {\mbox{E}}\left[T^{k}\right]={\begin{cases}\left({\frac {\nu }{2}}\right)^{\frac {k}{2}}{\frac {\Gamma \left({\frac {\nu -k}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}{\mbox{exp}}\left(-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right){\frac {d^{k}}{d\mu ^{k}}}{\mbox{exp}}\left({\frac {\mu ^{2}}{2}}\right),&{\mbox{if }}\nu >k;\\{\mbox{Does not exist}},&{\mbox{if }}\nu \leq k.\\\end{cases}}}$

特に、非心t分布の平均と分散は

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{E}}\left[T\right]&={\begin{cases}\mu {\sqrt {\frac {\nu }{2}}}{\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}},&{\mbox{if }}\nu >1;\\{\mbox{Does not exist}},&{\mbox{if }}\nu \leq 1,\\\end{cases}}\\{\mbox{Var}}\left[T\right]&={\begin{cases}{\frac {\nu (1+\mu ^{2})}{\nu -2}}-{\frac {\mu ^{2}\nu }{2}}\left({\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}\right)^{2},&{\mbox{if }}\nu >2;\\{\mbox{Does not exist}},&{\mbox{if }}\nu \leq 2.\\\end{cases}}\end{aligned}}}$

の優れた近似値はであり、両方の式で使用できます。^{[4] [5]}${\displaystyle {\sqrt {\frac {\nu }{2}}}{\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}}$${\displaystyle \left(1-{\frac {3}{4\nu -1}}\right)^{-1}}$

非心t分布は、μ が 0 でない限り非対称です。つまり、中心t分布です。さらに、自由度が大きいほど非対称性は小さくなります。μ > 0 の場合、右裾は左裾よりも重くなり、その逆も同様です。ただし、自由度が 3 以下であれば、第 3 モーメントはまったく存在しないため、通常の歪度は一般にこの分布の非対称性の適切な尺度ではありません。自由度が 3 より大きい場合でも、サンプル サイズが非常に大きくない限り、歪度のサンプル推定値は非常に不安定です。

非心t分布は常に単峰性でベル型であるが、その最頻値は解析的に得られない。ただし、μ≠0の場合には^[6]

${\displaystyle {\sqrt {\frac {\nu }{\nu +(5/2)}}}<{\frac {\mathrm {mode} }{\mu }}<{\sqrt {\frac {\nu }{\nu +1}}}}$

特に、モードは常に非心度パラメータ μ と同じ符号を持ちます。さらに、モードの負の値は、自由度 ν は同じだが非心度パラメータが −μ である 非心t分布のモードとまったく同じです。

モードはμとともに厳密に増加する（μが調整されると常に同じ方向に移動する）。極限では、μ → 0のとき、モードは次のように近似される。

${\displaystyle {\sqrt {\frac {\nu }{2}}}{\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +2}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu +3}{2}}\right)}}\mu ;\,}$

μ → ∞のとき、モードは次のように近似される。

${\displaystyle {\sqrt {\frac {\nu }{\nu +1}}}\mu .}$

• 中心t分布：中心t分布は位置/スケールファミリーに変換できます。この分布ファミリーは、データモデリングでさまざまな裾の挙動を捉えるために使用されます。中心t分布の位置/スケール一般化は、この記事で説明する非心t分布とは異なる分布です。特に、この近似は非心t分布の非対称性を尊重しません。ただし、中心t分布は非心t分布の近似として使用できます。^[7]
• T が自由度 ν 、非心度パラメータ μ を持つ非心t分布であり、 F = T ²である場合、F は分子の自由度が 1、分母の自由度が ν 、非心度パラメータ μ ^2を持つ非心F分布になります。
• T が自由度 ν 、非心パラメータ μ および を持つ非心t分布に従う場合、Z は平均 μ と単位分散を持つ正規分布に従います。${\displaystyle Z=\lim _{\nu \rightarrow \infty }T}$
• 二重非心 t 分布の分母非心度パラメータがゼロの場合、非心t分布になります。

• μ = 0 の場合、非心t分布は同じ自由度を持つ中心 (スチューデントの) t分布になります。

独立かつ同一分布の標本X ₁ , ..., X _nがあり、それぞれが平均θと分散σ ^{2で正規分布しているとします。}帰無仮説θ = 0と対立仮説θ ≠ 0を検​​定したいとします。検定統計量を使用して1標本t検定を実行できます。

${\displaystyle T={\frac {\bar {X}}{{\hat {\sigma }}/{\sqrt {n}}}}={\frac {{\frac {{\bar {X}}-\theta }{(\sigma /{\sqrt {n}})}}+{\frac {\theta }{(\sigma /{\sqrt {n}})}}}{\sqrt {\left.\left({\frac {{\hat {\sigma }}^{2}}{\sigma ^{2}/(n-1)}}\right)\right/(n-1)}}}}$

ここで、は標本平均、 は不偏標本分散です。2番目の等式の右辺は、上で説明した非心t分布の特徴と正確に一致するため、Tは自由度がn −1で非心パラメータが の非心t分布になります。 ${\displaystyle {\bar {X}}}$${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}\,\!}$${\displaystyle {\sqrt {n}}\theta /\sigma \,\!}$

検定手順が のときはいつでも帰無仮説を棄却する場合、 は事前に指定された α ∈ (0, 1) に対する（中心）スチューデントのt分布の上限α/2四分位数であり、この検定の検出力は次のように表される。 ${\displaystyle |T|>t_{1-\alpha /2}\,\!}$${\displaystyle t_{1-\alpha /2}\,\!}$

${\displaystyle 1-F_{n-1,{\sqrt {n}}\theta /\sigma }(t_{1-\alpha /2})+F_{n-1,{\sqrt {n}}\theta /\sigma }(-t_{1-\alpha /2}).}$

非心t分布の同様の応用は、一般的な正規理論線型モデルの検出力分析にも見られ、これには上記の1 サンプルt検定が特殊なケースとして含まれています。

片側正規許容区間は、非心t分布に基づく標本平均と標本分散に関して正確な解を持ちます。^[8]これにより、ある信頼水準で、標本集団の指定された割合が含まれる統計区間を計算することができます。

• 非心F分布

• Eric W. Weisstein。「非心スチューデントの t 分布」。MathWorld より - Wolfram Web リソース
• 生命や科学のための高精度計算: 非心t分布 カシオ社製。