ウィルクスのラムダ分布

統計学において、ウィルクスのラムダ分布（サミュエル・S・ウィルクスにちなんで命名）は、多変量仮説検定、特に尤度比検定や多変量分散分析（MANOVA）において用いられる確率分布である。

ウィルクスのラムダ分布は、2 つの独立したウィシャート分布変数から、それらの行列式の比率分布として定義されます。^{[ 1 ]}

与えられた

${\displaystyle \mathbf {A} \sim W_{p}(\Sigma ,m)\qquad \mathbf {B} \sim W_{p}(\Sigma ,n)}$

独立して${\displaystyle m\geq p}$

${\displaystyle \lambda ={\frac {\det(\mathbf {A} )}{\det(\mathbf {A+B} )}}={\frac {1}{\det(\mathbf {I} +\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} )}}\sim \Lambda (p,m,n)}$

ここでpは次元数です。尤度比検定の文脈では、 mは通常誤差の自由度であり、n は仮説の自由度であるため、${\displaystyle n+m}$は自由度の総数です。^{[ 1 ]}

ウィルクス分布のパラメータ間には対称性がある。^{[ 1 ]}

${\displaystyle \Lambda (p,m,n)\sim \Lambda (n,m+np,p)}$

この分布は、独立したベータ分布に従う確率変数の積と関連付けることができる。

${\displaystyle u_{i}\sim B\left({\frac {m+ip}{2}},{\frac {p}{2}}\right)}$

$\displaystyle \prod _{i=1}^{n}u_{i}\sim \Lambda (p,m,n).}$

したがって、これはベータ分布の多変量一般化とみなすことができる。

1次元問題の場合、ウィシャート分布が1次元で${\displaystyle p=1}$（つまり、カイ二乗分布）の場合、ウィルクス分布は特定のパラメータセットを持つベータ分布と等しくなります。

${\displaystyle \Lambda (1,m,n)\sim B\left({\frac {m}{2}},{\frac {n}{2}}\right).}$

ベータ分布とF分布の関係から、ウィルクスのラムダ分布のパラメータの1つが1または2の場合、ウィルクスのラムダはF分布と関連付けることができます。例: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\frac {1-\Lambda (p,m,1)}{\Lambda (p,m,1)}}\sim {\frac {p}{m-p+1}}F_{p,m-p+1},}$

そして

${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {\Lambda (p,m,2)}}}{\sqrt {\Lambda (p,m,2)}}}\sim {\frac {p}{m-p+1}}F_{2p,2(m-p+1)}.}$