コピュラ（統計学）

確率論と統計学において、コピュラは、各変数の周辺確率分布が区間[0, 1]上で一様である多変量累積分布関数です。コピュラは、確率変数間の依存関係（相互相関）を記述/モデル化するために使用されます。^{[ 1 ]} 応用数学者アベ・スクラーが1959 年に導入したその名前は、ラテン語で「リンク」または「結び目」を意味し、言語学における文法コピュラと似ていますが、比喩的な関係しかありません。コピュラは、定量金融においてテールリスクのモデル化と最小化^{[ 2 ]} およびポートフォリオ最適化アプリケーション^{[ 3 ]}に広く使用されています。  

スカラーの定理によれば、任意の多変量同時分布は、単変量周辺分布関数と、変数間の依存構造を記述するコピュラを用いて表すことができる。

コピュラは、周辺分布とコピュラを個別に推定することで、確率ベクトルの分布を容易にモデル化および推定できるため、高次元統計アプリケーションで広く用いられています。パラメトリックコピュラには多くの種類があり、通常は依存性の強さを制御するパラメータを備えています。以下に、代表的なパラメトリックコピュラモデルをいくつか紹介します。

2次元コピュラは、数学の他の分野では、順列や二重確率測度という名前で知られています。

ランダムベクトルを考える${\displaystyle \ {\bigl (}X_{1},X_{2},\dots ,X_{d}{\bigr )}.}$周辺分布が連続であると仮定します。つまり、周辺累積分布関数は次のようになります。${\displaystyle \ F_{i}(x)=\Pr {\bigl [}\ X_{i}\leq x\ {\bigr ]}\ }$は連続関数です。各成分に確率積分変換を適用することで、ランダムベクトルは

${\displaystyle {\bigl (}U_{1},U_{2},\dots ,U_{d}{\bigr )}={\Bigl (}\ F_{1}(X_{1}),F_{2}(X_{2}),\dots ,F_{d}(X_{d})\ {\Bigr )}}$

周辺分布は区間[0, 1]上で一様に分布します。  

のコピュラ${\displaystyle \ {\bigl (}\ X_{1},X_{2},\dots ,X_{d}\ {\bigr )}\ }$は、 の同時累積分布関数として定義される。${\displaystyle \ {\bigl (}\ U_{1},U_{2},\dots ,U_{d}\ {\bigr )}\$ :}

${\displaystyle C\!\left(\ u_{1},u_{2},\dots ,u_{d}\ \right)=\Pr {\Bigl [}\ U_{1}\leq u_{1},\ U_{2}\leq u_{2},\ \dots ,\ U_{d}\leq u_{d}\ {\Bigr ]}~.}$

コピュラC には、コンポーネント間の依存構造に関するすべての情報が含まれています。${\displaystyle \ {\bigl (}\ X_{1},X_{2},\dots ,X_{d}\ {\bigr )}\ }$一方、周辺累積分布関数は${\displaystyle F_{i}}$周辺分布に関するすべての情報が含まれています${\displaystyle \ X_{i}~.}$

これらの手順の逆は、多変量確率分布の一般的なクラスから擬似乱数サンプルを生成するために使用できます。つまり、サンプルを生成する手順が与えられた場合、${\displaystyle (U_{1},U_{2},\dots ,U_{d})}$コピュラ関数から、必要なサンプルは次のように構築できます。

${\displaystyle {\bigl (}\ X_{1},X_{2},\dots ,X_{d}\ {\bigr )}={\Bigl (}\ F_{1}^{-1}(U_{1}),\ F_{2}^{-1}(U_{2}),\ \dots ,\ F_{d}^{-1}(U_{d})\ {\Bigr )}~.}$

一般化逆行列${\displaystyle \ F_{i}^{-1}\ }$ほぼ間違いなく問題ない、なぜなら${\displaystyle \ F_{i}\ }$は連続であると仮定した。さらに、上記のコピュラ関数の式は次のように書き換えることができる。

${\displaystyle C\!\left(\ u_{1},u_{2},\dots ,u_{d}\ \right)=\Pr {\Bigl [}\ X_{1}\leq F_{1}^{-1}(u_{1}),\ X_{2}\leq F_{2}^{-1}(u_{2}),\ \dots ,\ X_{d}\leq F_{d}^{-1}(u_{d})\ {\Bigr ]}~.}$

確率論的に言えば、${\displaystyle C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]}$Cが単位立方体上のd次元ランダムベクトルの同時累積分布関数である場合、はd次元コピュラである。${\displaystyle [0,1]^{d}}$一様な周辺分布を持つ。^{[ 4 ]}

分析的に言えば、${\displaystyle C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]}$は、 d次元コピュラである。

• ${\displaystyle C(u_{1},\dots ,u_{i-1},0,u_{i+1},\dots ,u_{d})=0}$引数のいずれかがゼロの場合、コピュラはゼロになります。
• ${\displaystyle C(1,\dots ,1,u,1,\dots ,1)=u}$、引数の 1 つがuで、他のすべてが 1 の場合、コピュラはuと等しくなります。
• Cはd非減少である。すなわち、各超直方体に対して${\displaystyle B=\prod _{i=1}^{d}[x_{i},y_{i}]\subseteq [0,1]^{d}}$BのC体積は非負である。

  ${\displaystyle \int _{B}\mathrm {d} C(u)=\sum _{\mathbf {z} \in \prod _{i=1}^{d}\{x_{i},y_{i}\}}(-1)^{N(\mathbf {z} )}C(\mathbf {z} )\geq 0,}$

どこで${\displaystyle N(\mathbf {z} )=\#\{k:z_{k}=x_{k}\}}$。

例えば、二変量の場合、${\displaystyle C:[0,1]\times [0,1]\rightarrow [0,1]}$二変量コピュラである場合${\displaystyle C(0,u)=C(u,0)=0}$、${\displaystyle C(1,u)=C(u,1)=u}$そして${\displaystyle C(u_{2},v_{2})-C(u_{2},v_{1})-C(u_{1},v_{2})+C(u_{1},v_{1})\geq 0}$すべての人々のために${\displaystyle 0\leq u_{1}\leq u_{2}\leq 1}$そして${\displaystyle 0\leq v_{1}\leq v_{2}\leq 1}$。

アベ・スクラーにちなんで名付けられたスクラーの定理は、コピュラの応用に関する理論的基礎を提供する。^{[ 5 ] [ 6 ]} スクラーの定理は、すべての多変量累積分布関数が

${\displaystyle H(x_{1},\dots ,x_{d})=\Pr[X_{1}\leq x_{1},\dots ,X_{d}\leq x_{d}]}$

ランダムベクトルの${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})}$周辺値で表現できる${\displaystyle F_{i}(x_{i})=\Pr[X_{i}\leq x_{i}]}$そしてコピュラ${\displaystyle C}$。 確かに：

${\displaystyle H(x_{1},\dots ,x_{d})=C\left(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d})\right).}$

多変量分布が密度を持つ場合${\displaystyle h}$、そしてこの密度が利用可能であれば、次のことも成り立つ。

${\displaystyle h(x_{1},\dots ,x_{d})=c(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d}))\cdot f_{1}(x_{1})\cdot \dots \cdot f_{d}(x_{d}),}$

どこ${\displaystyle c}$これはコピュラの密度です。

また、この定理は、${\displaystyle H}$コピュラはユニークです${\displaystyle \operatorname {Ran} (F_{1})\times \cdots \times \operatorname {Ran} (F_{d})}$これは周辺累積分布関数の範囲の直積です。これは、周辺分布が であればコピュラが一意であることを意味します。${\displaystyle F_{i}}$連続的である。

逆もまた真である。コピュラが与えられた場合${\displaystyle C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]}$および周辺${\displaystyle F_{i}(x)}$それから${\displaystyle C\left(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d})\right)}$周辺分布を持つd次元累積分布関数を定義する${\displaystyle F_{i}(x)}$。

コピュラは主に時系列が定常的^{[ 7 ]かつ連続的[ 8 ]} な場合に機能します 。したがって、非常に重要な前処理ステップは、時系列内の自己相関、トレンド、季節性 をチェックすることです。

時系列に自己相関がある場合、変数セット間に存在しない依存関係が生成され、誤ったコピュラ依存構造が生じる可能性があります。^{[ 9 ]}

フレシェ – ヘフディングの定理 (モーリス ルネ フレシェとワシリー ヘフディング^{[ 10 ]}にちなんで) は、あらゆるコピュラに対して次のように述べています。${\displaystyle C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]}$そしてどんな${\displaystyle (u_{1},\dots ,u_{d})\in [0,1]^{d}}$以下の境界条件が成り立つ。

${\displaystyle W(u_{1},\dots ,u_{d})\leq C(u_{1},\dots ,u_{d})\leq M(u_{1},\dots ,u_{d}).}$

関数Wは下側フレシェ・ホフディング限界と呼ばれ、次のように定義される。

${\displaystyle W(u_{1},\ldots ,u_{d})=\max \left\{1-d+\sum \limits _{i=1}^{d}{u_{i}},\,0\right\}.}$

関数Mは上側フレシェ・ホフディング限界と呼ばれ、次のように定義される。

${\displaystyle M(u_{1},\ldots ,u_{d})=\min\{u_{1},\dots ,u_{d}\}.}$

上限は明確です。Mは常にコピュラであり、同調確率変数に対応します。

下限は点ごとに厳密であり、固定されたuに対してコピュラが存在する。${\displaystyle {\tilde {C}}}$そのため${\displaystyle {\tilde {C}}(u)=W(u)~.}$しかし、Wは2次元の場合にのみコピュラであり、その場合は反単調確率変数に対応する。

2次元、すなわち2変数の場合、フレシェ・ホフディングの定理は次のように述べている。

${\displaystyle \max\{u+v-1,\,0\}\leq C(u,v)\leq \min\{u,v\}.}$

複数の種類のコピュラが記述されている。

ガウス型コピュラ

ガウス型コピュラは単位超立方体上の分布である。${\displaystyle [0,1]^{d}}$これは、多変量正規分布から構築されています。${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$確率積分変換を用いることにより。

与えられた相関行列に対して${\displaystyle R\in [-1,1]^{d\times d}}$パラメータ行列を持つガウス型コピュラ${\displaystyle R}$次のように書くことができます

${\displaystyle C_{R}^{\text{Gauss}}(u)=\Phi _{R}\left(\Phi ^{-1}(u_{1}),\dots ,\Phi ^{-1}(u_{d})\right),}$

どこ${\displaystyle \Phi ^{-1}}$は標準正規分布の逆累積分布関数であり、${\displaystyle \Phi _{R}}$は、平均ベクトルがゼロで共分散行列が相関行列に等しい多変量正規分布の同時累積分布関数である。${\displaystyle R}$コピュラ関数には単純な解析式はありませんが、${\displaystyle C_{R}^{\text{Gauss}}(u)}$、上限または下限が定められており、数値積分を使用して近似することができます。^{[ 11 ] [ 12 ]}密度は次のように書くことができます^{[ 13 ]}

${\displaystyle c_{R}^{\text{Gauss}}(u)={\frac {1}{\ {\sqrt {\det {R}\ }}\ }}\ \exp \left(-{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}\Phi ^{-1}(u_{1})\\\vdots \\\Phi ^{-1}(u_{d})\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}\,\left(R^{-1}-I\right)\,{\begin{bmatrix}\Phi ^{-1}(u_{1})\\\vdots \\\Phi ^{-1}(u_{d})\end{bmatrix}}\right)\ ,}$

どこ${\displaystyle I}$は単位行列です。

統計学の応用では、多くの問題を次のように定式化できます。応答関数の期待値に関心がある場合です。${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} }$ランダムなベクトルに適用${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{d})}$^{[ 18 ]}この確率ベクトルの累積分布関数を次のように表すとします。${\displaystyle H}$したがって、関心のある量は次のように表すことができます。

${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{\mathbb {R} ^{d}}g(x_{1},\dots ,x_{d})\,\mathrm {d} H(x_{1},\dots ,x_{d}).}$

もし${\displaystyle H}$コピュラモデルによって与えられます。つまり、

${\displaystyle H(x_{1},\dots ,x_{d})=C(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d}))}$

この期待は次のように書き換えることができる。

${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{[0,1]^{d}}g(F_{1}^{-1}(u_{1}),\dots ,F_{d}^{-1}(u_{d}))\,\mathrm {d} C(u_{1},\dots ,u_{d}).}$

コピュラCが絶対連続である場合、すなわちCが密度cを持つ場合、この方程式は次のように書くことができます。

${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{[0,1]^{d}}g(F_{1}^{-1}(u_{1}),\dots ,F_{d}^{-1}(u_{d}))\cdot c(u_{1},\dots ,u_{d})\,du_{1}\cdots \mathrm {d} u_{d},}$

そして各周辺分布の密度が${\displaystyle f_{i}}$さらに、

${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{\mathbb {R} ^{d}}g(x_{1},\dots x_{d})\cdot c(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d}))\cdot f_{1}(x_{1})\cdots f_{d}(x_{d})\,\mathrm {d} x_{1}\cdots \mathrm {d} x_{d}.}$

コピュラと周辺分布が既知である場合（または推定されている場合）、この期待値は次のモンテカルロアルゴリズムによって近似できます。

1. サンプルを描く${\displaystyle (U_{1}^{k},\dots ,U_{d}^{k})\sim C\;\;(k=1,\dots ,n)}$コピュラCからのサイズn
2. 逆周辺累積分布関数を適用して、サンプルを生成します。${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{d})}$設定することで${\displaystyle (X_{1}^{k},\dots ,X_{d}^{k})=(F_{1}^{-1}(U_{1}^{k}),\dots ,F_{d}^{-1}(U_{d}^{k}))\sim H\;\;(k=1,\dots ,n)}$
3. 近似${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]}$その経験的価値によって：

${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]\approx {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}g(X_{1}^{k},\dots ,X_{d}^{k})}$

多変量データを研究する場合、基礎となるコピュラを調査したいと思うかもしれません。観測値があると仮定します。

${\displaystyle (X_{1}^{i},X_{2}^{i},\dots ,X_{d}^{i}),\,i=1,\dots ,n}$

ランダムなベクトルから${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})}$連続周辺分布を持つ。対応する「真の」コピュラ観測値は次のようになる。

${\displaystyle (U_{1}^{i},U_{2}^{i},\dots ,U_{d}^{i})=\left(F_{1}(X_{1}^{i}),F_{2}(X_{2}^{i}),\dots ,F_{d}(X_{d}^{i})\right),\,i=1,\dots ,n.}$

しかし、周辺分布関数${\displaystyle F_{i}}$通常は不明である。したがって、経験分布関数を用いて擬似コピュラ観測値を構築することができる。

${\displaystyle F_{k}^{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} (X_{k}^{i}\leq x)}$

代わりに、擬似コピュラ観測値は次のように定義されます。

${\displaystyle ({\tilde {U}}_{1}^{i},{\tilde {U}}_{2}^{i},\dots ,{\tilde {U}}_{d}^{i})=\left(F_{1}^{n}(X_{1}^{i}),F_{2}^{n}(X_{2}^{i}),\dots ,F_{d}^{n}(X_{d}^{i})\right),\,i=1,\dots ,n.}$

対応する経験的コピュラは次のように定義される。

${\displaystyle C^{n}(u_{1},\dots ,u_{d})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} \left({\tilde {U}}_{1}^{i}\leq u_{1},\dots ,{\tilde {U}}_{d}^{i}\leq u_{d}\right).}$

擬似コピュラサンプルの成分は次のように記述することもできます。${\displaystyle {\tilde {U}}_{k}^{i}=R_{k}^{i}/n}$、 どこ${\displaystyle R_{k}^{i}}$観測値のランク${\displaystyle X_{k}^{i}}$:

${\displaystyle R_{k}^{i}=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {1} (X_{k}^{j}\leq X_{k}^{i})}$

したがって、経験的コピュラは、順位変換されたデータの経験的分布と見なすことができる。

スピアマンのρのサンプルバージョン：^{[ 19 ]}

${\displaystyle r={\frac {12}{n^{2}-1}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left[C^{n}\left({\frac {i}{n}},{\frac {j}{n}}\right)-{\frac {i}{n}}\cdot {\frac {j}{n}}\right]}$

任意の2つの確率変数XとYについて、連続同時確率分布関数は次のように表すことができます。

${\displaystyle F_{XY}(x,y)=\Pr {\begin{Bmatrix}X\leq {x},Y\leq {y}\end{Bmatrix}},}$

どこ${\textstyle F_{X}(x)=\Pr {\begin{Bmatrix}X\leq {x}\end{Bmatrix}}}$そして ${\textstyle F_{Y}(y)=\Pr {\begin{Bmatrix}Y\leq {y}\end{Bmatrix}}}$これらはそれぞれ、確率変数XおよびYの周辺累積分布関数である。

次に、コピュラ分布関数${\displaystyle C(u,v)}$^{Sklarの定理[ 73 ] [ 6 ]}を用いて次のように定義できる。

${\displaystyle F_{XY}(x,y)=C(F_{X}(x),F_{Y}(y))\triangleq C(u,v),}$

どこ${\displaystyle u=F_{X}(x)}$そして${\displaystyle v=F_{Y}(y)}$周辺分布関数は、${\displaystyle F_{XY}(x,y)}$共同および${\displaystyle u,v\in (0,1)}$。

仮定すると${\displaystyle F_{XY}(\cdot ,\cdot )}$が2回微分可能である場合、まず結合確率密度関数（PDF）と結合累積分布関数（CDF）およびその偏導関数の関係を利用することから始めます。

${\displaystyle {\begin{alignedat}{6}f_{XY}(x,y)={}&{\partial ^{2}F_{XY}(x,y) \over \partial x\,\partial y}\\\vdots \\f_{XY}(x,y)={}&{\partial ^{2}C(F_{X}(x),F_{Y}(y)) \over \partial x\,\partial y}\\\vdots \\f_{XY}(x,y)={}&{\partial ^{2}C(u,v) \over \partial u\,\partial v}\cdot {\partial F_{X}(x) \over \partial x}\cdot {\partial F_{Y}(y) \over \partial y}\\\vdots \\f_{XY}(x,y)={}&c(u,v)f_{X}(x)f_{Y}(y)\\\vdots \\{\frac {f_{XY}(x,y)}{f_{X}(x)f_{Y}(y)}}={}&c(u,v)\end{alignedat}}}$

どこ${\displaystyle c(u,v)}$はコピュラ密度関数であり、${\displaystyle f_{X}(x)}$そして${\displaystyle f_{Y}(y)}$はそれぞれXとYの周辺確率密度関数です。この式には 4 つの要素があり、3 つの要素が分かれば、4 番目の要素を計算できます。たとえば、次のように使用できます。

• 2 つの確率変数間の同時確率密度関数が既知で、コピュラ密度関数が既知で、2 つの周辺関数のうちの 1 つが既知である場合、もう 1 つの周辺関数を計算できます。
• 2つの周辺関数とコピュラ密度関数が既知の場合、2つの確率変数間の同時確率密度関数を計算できます。
• 2つの周辺関数と、2つの確率変数間の同時確率密度関数が分かれば、コピュラ密度関数を計算することができる。

• 結合（確率）