スチューデントのt検定

1標本スチューデントのt検定は、母集団の平均が帰無仮説で指定された値を持つかどうかを検定する位置検定です。母集団の平均が指定された値μ₀に等しいという帰無仮説を検定する場合、統計量を使用します_。

${\displaystyle t={\frac {{\bar {x}}-\mu _{0}}{s/{\sqrt {n}}}},}$

どこ${\displaystyle {\bar {x}}}$は標本平均、sは標本標準偏差、nは標本サイズです。この検定で使用される自由度はn  −  1です。母集団は正規分布である必要はありませんが、標本平均の母集団の分布は${\displaystyle {\bar {x}}}$正常であると想定される。

中心極限定理によれば、観測値が独立であり、2次モーメントが存在する場合、${\displaystyle t}$ほぼ通常通り${\textstyle {\mathcal {N}}(0,1)}$これはあくまで近似値です。中心極限定理は、sがxの実際の標準偏差である場合にtに適用されますが、実際にはsは標本標準偏差であり、実際の標準偏差は一般には不明です。したがって、tは漸近的にスチューデントのt分布に従います。

2 つの母集団の平均が等しいという帰無仮説に対する 2 標本位置検定。このような検定はすべて通常、スチューデントのt検定と呼ばれますが、厳密には、 2 つの母集団の分散も等しいと仮定する場合にのみこの名前を使用する必要があります。この仮定を外す場合に使用される検定の形式は、ウェルチのt検定と呼ばれることがあります。これらの検定は、比較される 2 つの標本の基礎となる統計単位が重複しない場合に適用されることが多いため、しばしば対応のない標本 t 検定または独立標本t検定と呼ばれます。 ^{[ 14 ]}

平均値の差を調べるための2 標本t検定では、独立標本 (非対応標本) または対応標本を使用します。対応t検定はブロッキングの一種であり、比較対象の 2 つのグループへの所属とは無関係な「ノイズ要因」(交絡因子を参照) に関して対応標本が類似している場合、非対応検定よりも検出力 (偽陰性とも呼ばれる II 型エラーを回避する確率) が高くなります。^{[ 15 ]}別の文脈では、対応t検定は観察研究における交絡因子の影響を軽減するために使用できます。

モデルを当てはめていると仮定します

${\displaystyle Y=\alpha +\beta x+\varepsilon ,}$

ここで、 xは既知であり、αとβは未知であり、ε は平均 0 で未知の分散σ ²を持つ正規分布に従う確率変数であり、Y は関心のある結果です。我々は、傾きβが特定の値β ₀に等しいという帰無仮説を検定したいと考えています(多くの場合 0 とみなされ、その場合、帰無仮説はxとyが無相関であるということです)。

させて

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\alpha }},{\hat {\beta }}&={\text{least-squares estimators}},\\SE_{\hat {\alpha }},SE_{\hat {\beta }}&={\text{the standard errors of least-squares estimators}}.\end{aligned}}}$

それから

${\displaystyle t_{\text{score}}={\frac {{\hat {\beta }}-\beta _{0}}{SE_{\hat {\beta }}}}\sim {\mathcal {T}}_{n-2}}$

帰無仮説が真である場合、 n − 2の自由度を持つt分布に従います。傾き係数の標準誤差は次のとおりです。

${\displaystyle SE_{\hat {\beta }}={\frac {\sqrt {\displaystyle {\frac {1}{n-2}}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\hat {y}}_{i})^{2}}}{\sqrt {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}}$

は残差を用いて表すことができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\varepsilon }}_{i}&=y_{i}-{\hat {y}}_{i}=y_{i}-({\hat {\alpha }}+{\hat {\beta }}x_{i})={\text{residuals}}={\text{estimated errors}},\\{\text{SSR}}&=\sum _{i=1}^{n}{{\hat {\varepsilon }}_{i}}^{2}={\text{sum of squares of residuals}}.\end{aligned}}}$

t_スコアは次のように与えられます。

${\displaystyle t_{\text{score}}={\frac {({\hat {\beta }}-\beta _{0}){\sqrt {n-2}}}{\sqrt {\frac {SSR}{\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}}.}$

t_スコアを決定する別の方法は

${\displaystyle t_{\text{score}}={\frac {r{\sqrt {n-2}}}{\sqrt {1-r^{2}}}},}$

ここで、rはピアソン相関係数である。

t値_{と傾きから、} t_{値と切片を}求めることができます。

${\displaystyle t_{\text{score,intercept}}={\frac {\alpha }{\beta }}{\frac {t_{\text{score,slope}}}{\sqrt {s_{\text{x}}^{2}+{\bar {x}}^{2}}}},}$

ここで、s _x ²は標本分散です。

この検定^{[ 25 ]}は、有名なベーレンス・フィッシャー問題を扱っており、2つの独立したサンプルに基づいて、2つの母集団の分散が等しいと仮定しない場合に、2つの正規分布母集団の平均の差を比較します。

このテストは、 2 つの母集団のサンプルサイズと分散が等しくない場合にも対応できる厳密なテストとして開発されました。厳密性は、サンプルサイズが極めて小さく不均衡な場合でも依然として成り立ちます(例:${\displaystyle \ m\equiv n_{\mathsf {X}}=50\ }$対${\displaystyle \ n\equiv n_{\mathsf {Y}}=5\ }$)

平均値に差があるかどうかを検定するための統計量は、次のように計算できます。

させて${\displaystyle \ X=\left[\ X_{1},X_{2},\ldots ,X_{m}\ \right]^{\top }\ }$そして${\displaystyle \ Y=\left[\ Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{n}\ \right]^{\top }\ }$独立同分布のサンプルベクトルとする（${\displaystyle \ m\geq n\ }$） から${\displaystyle \ {\mathsf {Norm}}\left(\ \mu _{\mathsf {X}},\ \sigma _{\mathsf {X}}^{2}\ \right)\ }$そして${\displaystyle \ {\mathsf {Norm}}\left(\ \mu _{\mathsf {Y}},\ \sigma _{\mathsf {Y}}^{2}\ \right)\ }$別々に。

させて${\displaystyle \ (P^{\top })_{n\times n}\ }$になる${\displaystyle n\times n}$最初の行の要素がすべて${\displaystyle \ {\tfrac {1}{\sqrt {n\ }}}\ ,}$同様に、${\displaystyle \ (Q^{\top })_{n\times m}\ }$最初に${\displaystyle \ n\ }$列${\displaystyle \ m\times m\ }$直交行列（最初の行の要素はすべて${\displaystyle \ {\tfrac {1}{\sqrt {m\ }}}\ }$)

それから${\displaystyle \ Z\equiv {\frac {\ \left(Q^{\top }\right)_{n\times m}\ X\ }{\sqrt {m\ }}}\ -\ {\frac {\ \left(P^{\top }\right)_{n\times n}\ Y\ }{\sqrt {n\ }}}\ }$はn次元の正規乱数ベクトルです。

${\displaystyle Z~\sim ~{\mathsf {Norm}}\left(\ \left[\ \mu _{\mathsf {X}}-\mu _{\mathsf {Y}},\ 0,\ 0,\ \ldots ,\ 0\ \right]^{\top }\ ,\ \left({\frac {\ \sigma _{\mathsf {X}}^{2}\ }{m}}+{\frac {\ \sigma _{\mathsf {Y}}^{2}\ }{n}}\right)\ I_{n}\ \right)~.}$

上記の分布から、ベクトルZの最初の要素は

${\displaystyle Z_{1}={\bar {X}}-{\bar {Y}}={\frac {1}{\ m\ }}\sum _{i=1}^{m}\ X_{i}-{\frac {1}{\ n\ }}\sum _{j=1}^{n}\ Y_{j}\ ,}$

したがって、最初の要素は次のように分配されます。

${\displaystyle Z_{1}-\left(\mu _{\mathsf {X}}-\mu _{\mathsf {Y}}\right)~\sim ~{\mathsf {Norm}}\left(\ 0,\ {\frac {\ \sigma _{\mathsf {X}}^{2}\ }{m}}+{\frac {\ \sigma _{\mathsf {Y}}^{2}\ }{n}}\ \right)\ ,}$

そして、 Zの残りの要素の二乗はカイ二乗分布に 従う。

${\displaystyle {\frac {\ \sum _{i=2}^{n}Z_{i}^{2}\ }{\ n-1\ }}~\sim ~{\frac {\ \chi _{n-1}^{2}\ }{\ n-1\ }}\times \left({\frac {\ \sigma _{\mathsf {X}}^{2}\ }{m}}+{\frac {\ \sigma _{\mathsf {Y}}^{2}\ }{n}}\right)}$

そして直交行列PとQの構成により、

${\displaystyle Z_{1}-\left(\mu _{\mathsf {X}}-\mu _{\mathsf {Y}}\right)\quad \perp \quad \sum _{i=2}^{n}Z_{i}^{2}\ ,}$

したがって、 Zの最初の要素であるZ ₁は、直交性により、残りの要素とは統計的に独立しています。最後に、検定統計量として、

${\displaystyle T_{\mathsf {e}}~\equiv ~{\frac {\ Z_{1}-\left(\mu _{\mathsf {X}}-\mu _{\mathsf {Y}}\right)\ }{\ {\sqrt {\left(\sum _{i=2}^{n}Z_{i}^{2}\right)/\left(n-1\right)\ }}\ }}~\sim ~t_{n-1}~.}$

この検定は、サンプルが従属している場合、つまり、1つのサンプルが2回テストされている場合（反復測定）、または2つのサンプルが対応付けられている場合に使用されます。これは、対応のある差の検定の例です。t統計量は次のように計算されます。

${\displaystyle t={\frac {{\bar {X}}_{D}-\mu _{0}}{s_{D}/{\sqrt {n}}}},}$

どこ${\displaystyle {\bar {X}}_{D}}$そして${\displaystyle s_{D}}$は、すべてのペア間の差の平均と標準偏差です。ペアとは、例えば、ある人の事前テストと事後テストのスコア、または意味のあるグループにマッチングされた人同士のペア（例えば、同じ家族や年齢層から抽出された人：表を参照）です。差の平均が有意に異なるかどうかを検定したい場合は、定数μ ₀はゼロになります。使用される自由度はn − 1で、n はペアの数を表します。

不等分散に対するアプローチ（上記で説明した）に従うと、結果は次のようになる。

${\displaystyle {\sqrt {{\frac {s_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {s_{2}^{2}}{n_{2}}}}}\approx 0.04849}$

そして自由度

${\displaystyle {\text{d.f.}}\approx 7.031.}$

検定統計量は約1.959であり、両側検定のp値は0.09077となる。

等分散のアプローチ（上記で説明した）に従うと、結果は次のようになる。

${\displaystyle s_{p}\approx 0.08399}$

そして自由度

${\displaystyle {\text{d.f.}}=10.}$

検定統計量は約1.959であり、両側検定のp値は0.07857となる。

t検定は、分散が未知ではあるが等しい2つの独立同分布正規母集団の平均の等価性について正確な検定を提供する。(ウェルチのt検定は、データが正規分布に従うが分散が異なる場合のほぼ正確な検定である。) 中程度の大きさのサンプルと片側検定の場合、t検定は正規性仮定の軽微な違反に対して比較的頑健である。^{[ 26 ]}十分に大きなサンプルでは、​​t検定は漸近的にz検定に近づき、正規性からの大きな逸脱に対しても頑健になる。^{[ 18 ]}

データが著しく非正規分布であり、かつサンプルサイズが小さい場合、t検定は誤解を招く結果をもたらす可能性があります。特定の非正規分布族に関する理論については、「ガウス尺度混合分布の位置検定」を参照してください。

正規性の仮定が成り立たない場合、t検定のノンパラメトリックな代替法の方が統計的検出力が高い可能性があります。ただし、データが非正規分布でグループ間の分散が異なる場合、t検定の方が一部のノンパラメトリックな代替法よりも第一種過誤の制御が優れている可能性があります。 ^{[ 27 ]}さらに、以下で説明するMann-Whitney U 検定などのノンパラメトリックな方法は、通常、平均値の差を検定しないため、平均値の差が主な科学的関心事である場合は、慎重に使用する必要があります。^{[ 18 ]}例えば、Mann-Whitney U 検定は、両方のグループが同じ分布を持つ場合、第一種過誤を望ましいレベル α に維持します。また、グループ B が A と同じ分布を持つが定数分だけシフトしているという代替案を検出する検出力も持ちます (この場合、実際に 2 つのグループの平均値に差が生じます)。しかし、グループAとグループBの分布は異なるものの平均値が同じになるケースも考えられます（例えば、正の歪度を持つ分布と負の歪度を持つ分布が、平均値が同じになるようにシフトされている場合など）。このような場合、MW検定は帰無仮説を棄却する際に有意水準αを超える検出力を持つ可能性がありますが、平均値の差の解釈をこのような結果に帰するのは誤りです。

外れ値が存在する場合、t検定は頑健ではありません。たとえば、2 つの独立したサンプルについて、データ分布が非対称 (つまり、分布が歪んでいる) または分布の裾が大きい場合、ウィルコクソン順位和検定 (マン・ホイットニーU検定とも呼ばれる) はt検定よりも 3 ～ 4 倍高い検出力を持つことがあります。^{[ 26 ] [ 28 ] [ 29 ]}対応のあるサンプルt検定のノンパラメトリック対応物は、対応のあるサンプルのウィルコクソン符号順位検定です。t検定とノンパラメトリックな代替手段の選択に関する議論については、Lumley ら (2002) を参照してください。^{[ 18 ]}

一元配置分散分析（ANOVA）は、データが2つ以上のグループに属する場合に、2標本t検定を一般化したものです。

2 つのサンプル設計において、ペアの観測値と独立した観測値の両方が存在する場合、データが完全にランダムに欠損している (MCAR) と仮定すると、上記の標準検定を進めるために、ペアの観測値または独立した観測値を破棄することができます。あるいは、正規性と MCAR を仮定して、利用可能なすべてのデータを使用して、一般化された部分的に重複するサンプルt検定を使用することもできます。^{[ 30 ]}

スチューデントのt統計量の一般化であるホテリングのt二乗統計量を用いると、同一サンプル内の複数の（多くの場合相関のある）測定値について仮説検定を行うことができる。例えば、研究者は複数の性格尺度（ミネソタ多面人格目録など）からなる性格検査に被験者を複数回実施するかもしれない。この種の測定値は通常正の相関があるため、仮説検定のために個別の単変量t検定を実施することは推奨されない。なぜなら、これらの検定では測定値間の共分散が無視され、少なくとも1つの仮説を誤って棄却する可能性（第一種過誤）が増大するからである。この場合、仮説検定には単一の多変量検定が望ましい。^{検定間の正の相関に対して}α値を低減して複数の検定を組み合わせるフィッシャー法はその一つである。もう一つは、ホテリングのT²統計量がT²分布に従うというもの^である。しかし、 T²^の表形式の値を見つけるのが難しいため、実際にはこの分布はほとんど使用されない。通常、T2^はF統計量に変換されます。

1標本多変量検定の場合、仮説は平均ベクトル（μ ）_が与えられたベクトル（μ₀）に等しいというものです。検定統計量はホテリングのt²^です。

${\displaystyle t^{2}=n({\bar {\mathbf {x} }}-{{\boldsymbol {\mu }}_{0}})'{\mathbf {S} }^{-1}({\bar {\mathbf {x} }}-{{\boldsymbol {\mu }}_{0}})}$

ここで、 nはサンプルサイズ、xは列平均のベクトル、Sはm × mのサンプル共分散行列である。

2標本多変量検定の場合、仮説は2つの標本の平均ベクトル（μ1、μ2）が等しいというものです_。検定統計量_はホテリングの2標本t2^です。

${\displaystyle t^{2}={\frac {n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\left({\bar {\mathbf {x} }}_{1}-{\bar {\mathbf {x} }}_{2}\right)'{\mathbf {S} _{\text{pooled}}}^{-1}\left({\bar {\mathbf {x} }}_{1}-{\bar {\mathbf {x} }}_{2}\right).}$

2標本t検定は単純線形回帰の特殊なケースである^{[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ]}。この関係は次の例で示される。

臨床試験では、6人の患者に薬剤またはプラセボを投与します。3人の患者には薬剤を投与せず（プラセボ群）、残りの3人の患者には薬剤を投与します（有効治療群）。治療終了後、研究者は各患者が記憶力テストで思い出すことができる単語数のベースラインからの変化を測定します。

患者の単語想起能力と薬剤投与量の値を示す表を以下に示します。

t検定と線形回帰のための関数と関数を用いたRプログラミング言語による分析のためのデータとコードが提供されています。以下は、上記と同じ（架空の）データをRで生成したものです。t.testlm

> word.recall.data = data.frame ( drug.dose = c ( 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 1 ), word.recall = c ( 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 7 ))

t検定を実行してください。var.equal=T分析を単純線形回帰と完全に等価にするためには、等分散性の仮定が必要であることに注意してください。

> ( word.recall.data 、t.test ( word.recall ~ drug.dose 、var.equal = T ) )

Rコードを実行すると、以下の結果が得られます。

• 0 薬物投与群の平均単語想起数は 2 です。
• 1 薬物投与群の平均単語想起数は 6 です。
• 治療群間の平均単語想起率の差は 6 - 2 = 4 です。
• 薬物投与量による単語想起率の差は有意である（p=0.00805）。

同じデータに対して線形回帰分析を実行します。計算は、Rlm()の線形モデル関数を使用して実行できます。

> word.recall.data.lm = lm ( word.recall ~ drug.dose , data = word.recall.data ) > summary ( word.recall.data.lm )

線形回帰分析では、係数とp値の表が提供されます。

係数表から以下の結果が得られます。

• 切片の推定値2は、薬剤投与量が0の場合の単語想起の平均値である。
• 薬剤投与量の推定値4は、薬剤投与量が1単位変化する（0から1へ）と、平均単語想起率が4単位変化する（2から6へ）ことを示しています。これは、2つのグループの平均値を結ぶ直線の傾きです。
• 傾きが4であることと0であることのp値はp = 0.00805です。

線形回帰の係数は、グラフに示すように、2つのグループ平均を結ぶ直線の傾きと切片を指定します。切片は2、傾きは4です。

線形回帰分析の結果とt検定の結果を比較してください。

• t検定の結果、グループ平均の差は6-2=4である。
• 回帰分析の結果、傾きも4であり、これは薬剤投与量が1単位変化する（0から1へ）と、平均単語想起数が4単位変化する（2から6へ）ことを示している。
• 平均値の差に関するt検定のp値と、傾きに関する回帰分析のp値は、いずれも0.00805である。これらの手法は同一の結果をもたらす。

この例は、値が0と1の単一のx変数を持つ単純線形回帰の特殊なケースにおいて、t検定が線形回帰と同じ結果をもたらすことを示しています。この関係は代数的にも示すことができます。

t検定と線形回帰の関係を認識することで、重回帰分析や多変量分散分析の使用が容易になります。これらのt検定の代替手法では、応答に関連する追加の説明変数を含めることができます 。回帰分析や分散分析を用いてこのような追加の説明変数を含めることで、説明されない分散が減少し、2標本t検定よりも差を検出する力が大きくなります。^{[ 37 ]}