複合確率分布

複合分布${\displaystyle H}$各分布の具体的な表現、およびどのパラメータに依存するかによって決まります。${\displaystyle F}$分布に従って分布する${\displaystyle G}$、そしてパラメータ${\displaystyle H}$パラメータが含まれます${\displaystyle G}$疎外されたり、統合されたり、排除されたりしない人々。${\displaystyle H}$は、${\displaystyle F}$そして、後者が平均と分散でパラメータ化された2パラメータ分布である場合、いくつかの一般的な性質が存在する。

複合分布の最初の2つのモーメントは、全期待値の法則と全分散の法則によって与えられる。

$${\displaystyle \operatorname {E} _{H}[X]=\operatorname {E} _{G}{\bigl [}\operatorname {E} _{F}[X|\theta ]{\bigr ]}}$$

$$\displaystyle \operatorname {Var} _{H}(X)=\operatorname {E} _{G}{\bigl [}\operatorname {Var} _{F}(X|\theta ){\bigr ]}+\operatorname {Var} _{G}{\bigl (}\operatorname {E} _{F}[X|\theta ]{\bigr )}}$$

平均が${\displaystyle F}$配布される${\displaystyle G}$ひいては、${\displaystyle \mu }$および分散$\displaystyle \sigma ^{2}}$上記の表現は、${\displaystyle \オペレーター名 {E} _{H}[X]=\オペレーター名 {E} _{G}[\theta ]=\mu }$そして${\displaystyle \operatorname {Var} _{H}(X)=\operatorname {Var} _{F}(X|\theta )+\operatorname {Var} _{G}(Y)=\tau ^{2}+\sigma ^{2}}$、 どこ$\displaystyle \tau ^{2}}$分散は${\displaystyle F}$。

させて${\displaystyle F}$そして${\displaystyle G}$確率分布は平均と分散でパラメータ化され、$${\displaystyle {\begin{aligned}x&\sim {\mathcal {F}}(\theta ,\tau ^{2})\\\theta &\sim {\mathcal {G}}(\mu ,\sigma ^{2})\end{aligned}}}$$確率密度関数を次のように表す${\displaystyle f(x|\theta )=p_{F}(x|\theta )}$そして${\displaystyle g(\theta )=p_{G}(\theta )}$それぞれ、${\displaystyle h(x)}$確率密度${\displaystyle H}$我々は持っています$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} _{H}[X]=\int _{F}xh(x)dx&=\int _{F}x\int _{G}f(x|\theta )g(\theta )d\theta dx\\&=\int _{G}\int _{F}xf(x|\theta )dx\ g(\theta )d\theta \\&=\int _{G}\operatorname {E} _{F}[X|\theta ]g(\theta )d\theta \end{aligned}}}$$そして、パラメータ化から${\displaystyle {\mathcal {F}}}$そして${\displaystyle {\mathcal {G}}}$それ$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} _{F}[X|\theta ]&=\int _{F}xf(x|\theta )dx=\theta \\\operatorname {E} _{G}[\theta ]&=\int _{G}\theta g(\theta )d\theta =\mu \end{aligned}}}$$したがって、複合分布の平均は${\displaystyle \operatorname {E} _{H}[X]=\mu }$上記の最初のモーメントの式に従って。

分散${\displaystyle H}$は${\displaystyle \operatorname {E} _{H}[X^{2}]-(\operatorname {E} _{H}[X])^{2}}$、 そして$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} _{H}[X^{2}]=\int _{F}x^{2}h(x)dx&=\int _{F}x^{2}\int _{G}f(x|\theta )g(\theta )d\theta dx\\&=\int _{G}g(\theta )\int _{F}x^{2}f(x|\theta )dx\ d\theta \\&=\int _{G}g(\theta )(\tau ^{2}+\theta ^{2})d\theta \\&=\tau ^{2}\int _{G}g(\theta )d\theta +\int _{G}g(\theta )\theta ^{2}d\theta \\&=\tau ^{2}+(\sigma ^{2}+\mu ^{2}),\end{aligned}}}$$事実を考慮すると、${\displaystyle \int _{F}x^{2}f(x\mid \theta )dx=\operatorname {E} _{F}[X^{2}\mid \theta ]=\operatorname {Var} _{F}(X\mid \theta )+(\operatorname {E} _{F}[X\mid \theta ])^{2}}$そして${\displaystyle \int _{G}\theta ^{2}g(\theta )d\theta =\operatorname {E} _{G}[\theta ^{2}]=\operatorname {Var} _{G}(\theta )+(\operatorname {E} _{G}[\theta ])^{2}}$最終的に私たちは$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} _{H}(X)&=\operatorname {E} _{H}[X^{2}]-(\operatorname {E} _{H}[X])^{2}\\&=\tau ^{2}+\sigma ^{2}\end{aligned}}}$$

一般的な検定統計量の分布は、帰無仮説の下で複合分布となる。例えば、スチューデントのt検定（検定統計量は正規分布とカイ二乗分布の確率変数の比となる）やF検定（検定統計量は2つのカイ二乗分布の確率変数の比となる）などが挙げられる。

複合分布は、過分散、つまり特定のモデルで想定されるよりも大きな変動を示す結果をモデル化するのに役立ちます。たとえば、カウントデータは一般的にポアソン分布を使用してモデル化されます。ポアソン分布の分散は平均に等しくなります。この分布は、ガンマ分布を介して実装されるレートパラメータの変動を許容することで一般化でき、その結果、周辺負の二項分布が得られます。この分布は形状がポアソン分布に似ていますが、より大きな分散を許容します。同様に、二項分布は、成功確率パラメータにベータ分布を組み合わせることで、追加の変動を許容するように一般化でき、その結果、ベータ二項分布が得られます。

複合分布の特殊なケースと見なせる遍在する周辺分布に加えて、ベイズ推論では、上記の表記において、F が将来の観測値の分布を表し、G が観測データのセットに含まれる情報に基づいてFのパラメータの事後分布である場合に、複合分布が発生します。これにより、事後予測分布が得られます。同様に、事前予測分布では、Fは新しいデータポイントの分布であり、G はパラメータの事前分布です。

確率分布の畳み込み（確率変数の和の確率分布を導出するため）は、合成の特殊なケースと見なすこともできます。この場合、和の分布は、一方の項をもう一方の項のランダムな位置パラメータとして考えることによって本質的に得られます。^{[ 1 ]}