数学において、 アダマール正規化 （ アダマール有限部分 または アダマールの有限部分 とも呼ばれる）は、発散積分から発散項をいくつか削除し有限部分を残すことによって正規化する手法であり、 アダマール （1923、第3巻第1章、1932）によって導入された。 リース （1938、1949）は、これが 収束積分の
有理型接続を取ることとして解釈できることを示した。
コーシー主値 積分
が存在する 場合、それを x
に関して微分すると 、次のようにアダマール有限部分積分が得られます。
Ｃ
∫
1つの
b
ふ （ t ）
t − x
d t （
のために
1つの < x < b ）
{\displaystyle {\mathcal {C}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{tx}}\,dt\quad ({\text{a<x<b の場合)}
d
d x
（
Ｃ
∫
1つの
b
ふ （ t ）
t − x
d t
）
=
H
∫
1つの
b
ふ （ t ）
（ t − x
）
2
d t （
のために
1つの < x < b ） 。
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({\mathcal {C}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{tx}}\,dt\right)={\mathcal {H}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{(tx)^{2}}}\,dt\quad ({\text{a<x<b の場合).}
ここで、記号 とが それぞれコーシー主値とアダマール有限部分積分を表すために使用されていることに注意してください。
Ｃ
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
上記のアダマール有限部分積分（ a < x < b ）は、次の同等の定義によっても与えられます。
H
∫
1つの
b
ふ （ t ）
（ t − x
）
2
d t =
リム
ε →
0
+
{
∫
1つの
x − ε
ふ （ t ）
（ t − x
）
2
d t +
∫
x + ε
b
ふ （ t ）
（ t − x
）
2
d t −
ふ （ x + ε ） + ふ （ x − ε ）
ε
}
、
{\displaystyle {\mathcal {H}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{(tx)^{2}}}\,dt=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left\{\int _{a}^{x-\varepsilon }{\frac {f(t)}{(tx)^{2}}}\,dt+\int _{x+\varepsilon }^{b}{\frac {f(t)}{(tx)^{2}}}\,dt-{\frac {f(x+\varepsilon )+f(x-\varepsilon )}{\varepsilon }}\right\},}
H
∫
1つの
b
ふ （ t ）
（ t − x
）
2
d t =
リム
ε →
0
+
{
∫
1つの
b
（ t − x
）
2
ふ （ t ）
（ （ t − x
）
2
+
ε
2
）
2
d t −
π ふ （ x ）
2 ε
−
ふ （ x ）
2
（
1
b − x
−
1
1つの − x
）
}
。
{\displaystyle {\mathcal {H}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{(tx)^{2}}}\,dt=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left\{\int _{a}^{b}{\frac {(tx)^{2}f(t)}{((tx)^{2}+\varepsilon ^{2})^{2}}}\,dt-{\frac {\pi f(x)}{2\varepsilon }}-{\frac {f(x)}{2}}\left({\frac {1}{bx}}-{\frac {1}{ax}}\right)\right\}}.}
上記の定義は、関数 f ( t ) が t = xにおいて a < x < b に対して 無限回微分可能であると仮定することによって 、つまり、 f ( t )が t = x についてのテイラー級数で表すことができると仮定することによって導かれる 。詳細については、Ang (2013) を参照のこと。（用語 − 関数 x / 2 （ 1 / b − x − 1 / a − x ) は、Ang (2013) では欠落していますが、この本の正誤表では修正されています。
アダマール有限部分積分（ f ( t ) は未知）を含む積分方程式は、 超特異積分方程式と呼ばれます。超特異積分方程式は、破壊解析など、力学における多くの問題の定式化で発生します。
例 発散積分を考えてみましょう。
その コーシー主値 も発散します
。
なぜなら
、この発散積分に有限値を割り当てるには、
次
のように考えます。内部コーシー主値は次のように与えられます
。したがって
、この値は、明らかに常に正である曲線 y ( t ) = 1/ t 2 の下の領域を表していないことに注意してください。しかし、これがどこから来るのかはわかります。この積分のコーシー主値は、端点で評価すると、次の形式になることを思い出してください。
∫
− 1
1
1
t
2
d t =
（
リム
1つの →
0
−
∫
− 1
1つの
1
t
2
d t
）
+
（
リム
b →
0
+
∫
b
1
1
t
2
d t
）
=
リム
1つの →
0
−
（
−
1 1つの
− 1
）
+
リム
b →
0
+
（
− 1 +
1 b
）
= + ∞
{\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt=\left(\lim _{a\to 0^{-}}\int _{-1}^{a}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt\right)+\left(\lim _{b\to 0^{+}}\int _{b}^{1}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt\right)=\lim _{a\to 0^{-}}\left(-{\frac {1}{a}}-1\right)+\lim _{b\to 0^{+}}\left(-1+{\frac {1}{b}}\right)=+\infty }
Ｃ
∫
− 1
1
1
t
2
d t =
リム
ε →
0
+
（
∫
− 1
− ε
1
t
2
d t +
∫
ε
1
1
t
2
d t
）
=
リム
ε →
0
+
（
1 ε
− 1 − 1 +
1 ε
）
= + ∞
{\displaystyle {\mathcal {C}}\int _{-1}^{1}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(\int _{-1}^{-\varepsilon }{\frac {1}{t^{2}}}\,dt+\int _{\varepsilon }^{1}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt\right)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left({\frac {1}{\varepsilon }}-1-1+{\frac {1}{\varepsilon }}\right)=+\infty }
H
∫
−
1
1
1
t
2
d
t
=
H
∫
−
1
1
1
(
t
−
x
)
2
d
t
|
x
=
0
=
d
d
x
(
C
∫
−
1
1
1
t
−
x
d
t
)
|
x
=
0
{\displaystyle {\mathcal {H}}\int _{-1}^{1}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt={\mathcal {H}}\int _{-1}^{1}{\frac {1}{(t-x)^{2}}}\,dt{\Bigg |}_{x=0}={\frac {d}{dx}}\left({\mathcal {C}}\int _{-1}^{1}{\frac {1}{t-x}}\,dt\right){\Bigg |}_{x=0}}
C
∫
−
1
1
1
t
−
x
d
t
=
lim
ε
→
0
+
(
∫
−
1
−
ε
1
t
−
x
d
t
+
∫
ε
1
1
t
−
x
d
t
)
=
lim
ε
→
0
+
(
ln
|
ε
+
x
1
+
x
|
+
ln
|
1
−
x
ε
−
x
|
)
=
ln
|
1
−
x
1
+
x
|
{\displaystyle {\mathcal {C}}\int _{-1}^{1}{\frac {1}{t-x}}\,dt=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(\int _{-1}^{-\varepsilon }{\frac {1}{t-x}}\,dt+\int _{\varepsilon }^{1}{\frac {1}{t-x}}\,dt\right)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(\ln \left|{\frac {\varepsilon +x}{1+x}}\right|+\ln \left|{\frac {1-x}{\varepsilon -x}}\right|\right)=\ln \left|{\frac {1-x}{1+x}}\right|}
H
∫
−
1
1
1
t
2
d
t
=
d
d
x
(
ln
|
1
−
x
1
+
x
|
)
|
x
=
0
=
2
x
2
−
1
|
x
=
0
=
−
2
{\displaystyle {\mathcal {H}}\int _{-1}^{1}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt={\frac {d}{dx}}\left(\ln \left|{\frac {1-x}{1+x}}\right|\right){\Bigg |}_{x=0}={\frac {2}{x^{2}-1}}{\Bigg |}_{x=0}=-2}
lim
ε
→
0
+
(
1
ε
−
1
−
1
+
1
ε
)
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left({\frac {1}{\varepsilon }}-1-1+{\frac {1}{\varepsilon }}\right)=+\infty }
無限要素、つまり項のペアを取り除くと 、残るのは
1
ε
{\displaystyle {\frac {1}{\varepsilon }}}
lim
ε
→
0
+
(
−
1
−
1
)
=
−
2
{\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(-1-1\right)=-2}
これは上記で導出された値に等しくなります。
参考文献 
