シェル繰り込みスキームについて

量子場の理論、特に量子電磁力学では、相互作用理論によって無限の量が生じ、それを繰り込み手続きで吸収して初めて測定可能な量を予測できるようになります。繰り込みスキームは、検討対象の粒子の種類によって異なります。漸近的に長い距離を移動できる粒子や低エネルギー過程の場合、オンシェルスキーム（物理スキームとも呼ばれる）が適しています。これらの条件が満たされない場合は、最小減算スキーム（MSスキーム） などの他のスキームを使用できます。

異なる伝播関数を知ることは、例えば散乱実験の結果を予測するのに便利なツールであるファインマン図を計算するための基礎となる。唯一の場がディラック場である理論では、ファインマン伝播関数は次のように表される。

${\displaystyle \langle 0|T(\psi (x){\bar {\psi }}(0))|0\rangle =iS_{F}(x)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {ie^{-ip\cdot x}}{p\!\!\!/-m+i\epsilon }}}$

ここで、は時間順序付け演算子、は非相互作用理論における真空、ディラック場とそのディラック随伴関数であり、 式の左辺はディラック場の 2 点相関関数です。${\displaystyle T}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)}$

新しい理論では、ディラック場は他の場、例えば量子電気力学の電磁場と相互作用することができ、相互作用の強さはパラメータによって測定される。QEDの場合、それは裸の電子電荷である。伝播関数の一般形は変わらないはずであり、つまり、相互作用理論において真空を表す場合、2点相関関数は次のように表される。 ${\displaystyle e}$${\displaystyle |\オメガ \rangle }$

${\displaystyle \langle \Omega |T(\psi (x){\bar {\psi }}(0))|\Omega \rangle =\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {iZ_{2}e^{-ip\cdot x}}{p\!\!\!/-m_{r}+i\epsilon }}}$

2 つの新しい量が導入されました。まず、再正規化された質量が、ファインマン プロパゲーターのフーリエ変換の極として定義されました。これは、オンシェル再正規化スキームの主な規定です (最小減算スキームのように他の質量スケールを導入する必要はありません)。量は、ディラック場の新しい強度を表します。 とすることで相互作用がゼロに下がるため、これらの新しいパラメータは、自由フェルミオンのプロパゲーター、つまりおよび を回復するような値に近づくはずです。 ${\displaystyle m_{r}}$${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle e\rightarrow 0}$${\displaystyle m_{r}\rightarrow m}$${\displaystyle Z_{2}\rightarrow 1}$

これは、このパラメータが十分小さい場合（単位系 、、、ここでは微細構造定数） 、およびは の級数として定義できることを意味します。したがって、これらのパラメータは次のように表すことができます。 ${\displaystyle m_{r}}$${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle \hbar =c=1}$${\displaystyle e={\sqrt {4\pi \alpha }}\simeq 0.3}$${\displaystyle \alpha}$

${\displaystyle Z_{2}=1+\delta _{2}}$

${\displaystyle m_{r}=m+\delta m}$

一方、プロパゲーターの修正は、ファインマン図を用いてあるオーダーまで計算することができる。これらの修正は、フェルミオンの自己エネルギーにまとめられる。${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \Sigma (p)}$

${\displaystyle \langle \Omega |T(\psi (x){\bar {\psi }}(0))|\Omega \rangle =\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {ie^{-ip\cdot x}}{p\!\!\!/-m-\Sigma (p)+i\epsilon }}}$

これらの補正はループを含むため、発散することがよくあります。 における相関関数の 2 つの式を特定の順序まで特定することで、反対項を定義することができ、フェルミオン伝播関数への補正の発散寄与を吸収します。したがって、 などの再正規化された量は有限のままであり、実験で測定される量になります。 ${\displaystyle e}$${\displaystyle m_{r}}$

フェルミオン伝播関数で行われたのと同様に、自由光子場からヒントを得た光子伝播関数の形を、相互作用理論で特定の順序まで計算された光子伝播関数と比較します。光子の自己エネルギーが記録され、計量テンソル（ここでは+---規則を採用） ${\displaystyle e}$${\displaystyle \Pi (q^{2})}$ ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$

${\displaystyle \langle \Omega |T(A^{\mu }(x)A^{\nu }(0))|\Omega \rangle =\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}{\frac {-i\eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}(1-\Pi (q^{2}))+i\epsilon }}=\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}{\frac {-iZ_{3}\eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}+i\epsilon }}}$

反項の振る舞いは入射光子の運動量に依存しません。これを修正するには、遠距離での QED の振る舞い (これは古典的電磁力学の回復に役立つはずです)、つまり のときの振る舞いを使用します。 ${\displaystyle \delta _{3}=Z_{3}-1}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q^{2}\rightarrow 0}$

${\displaystyle {\frac {-i\eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}(1-\Pi (q^{2}))+i\epsilon }}\sim {\frac {-i\eta ^{\mu \nu }e^{-ip\cdot x}}{q^{2}}}}$

したがって、反対項は の値に固定されます。 ${\displaystyle \delta _{3}}$${\displaystyle \Pi (0)}$

頂点関数を使用した同様の推論により、電荷 の再正規化が導かれます。この再正規化と再正規化項の固定は、大規模な空間スケールでの古典電気力学で知られているものを使用して行われます。これにより、カウンター項 の値が導かれますが、ウォード・タカハシ恒等式により、この値は実際には に等しくなります。フェルミオンの異常磁気双極子モーメントを説明するのはこの計算です。 ${\displaystyle e_{r}}$${\displaystyle \delta _{1}}$${\displaystyle \delta _{2}}$

我々は、プロパゲーターの形から定義されたいくつかの比例係数（ など）を検討した。しかし、それらはこのセクションで行われるQEDラグランジアンから定義することもでき、これらの定義は同等である。量子電磁力学の物理を記述するラグランジアンは、 ${\displaystyle Z_{i}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\bar {\psi }}(i\partial \!\!\!/-m)\psi +e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }}$

ここで、は場の強度テンソル、はディラックスピノル（波動関数の相対論的等価物）、 は電磁気の 4 元ポテンシャルです。理論のパラメータは、、、です。これらの量は、ループ補正により無限大になります（下記参照）。正規化された量（有限かつ観測可能）を次のように定義できます。 ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle m}$${\displaystyle e}$

${\displaystyle \psi ={\sqrt {Z_{2}}}\psi _{r}\;\;\;\;\;A={\sqrt {Z_{3}}}A_{r}\;\;\;\;\;m=m_{r}+\delta m\;\;\;\;\;e={\frac {Z_{1}}{Z_{2}{\sqrt {Z_{3}}}}}e_{r}\;\;\;\;\;{\text{with}}\;\;\;\;\;Z_{i}=1+\delta _{i}}$

はカウンタータームと呼ばれます（他の定義も可能です）。これらはパラメータ で小さいと想定されています。ラグランジアンは、カウンタータームで 1 次まで再正規化された量で表されます。 ${\displaystyle \delta _{i}}$${\displaystyle e}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}Z_{3}F_{\mu \nu ,r}F_{r}^{\mu \nu }+Z_{2}{\bar {\psi }}_{r}(i\partial \!\!\!/-m_{r})\psi _{r}-{\bar {\psi }}_{r}\delta m\psi _{r}+Z_{1}e_{r}{\bar {\psi }}_{r}\gamma ^{\mu }\psi _{r}A_{\mu ,r}}$

再正規化の規定は、発散のどの部分が再正規化された量に含まれるべきか、またどの部分が反比例項に含まれるべきかを記述する一連の規則です。規定は多くの場合、自由場理論、つまり とが相互作用しないときの挙動 (ラグランジアンから項を削除することに相当) に基づいています。 ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }}$

• M. Peskin、D. Schroeder (1995)。量子場理論入門。参考文献: Addison-Weasley。