C定理

量子場の理論におけるC定理は、考慮される量子場の理論の結合定数とエネルギースケール に依存して、次の特性を持つ 正の実関数 が存在することを述べています。${\displaystyle C(g_{i}^{},\mu )}$${\displaystyle g_{i}^{}}$${\displaystyle \mu_{}^{}}$

• ${\displaystyle C(g_{i}^{},\mu )}$繰り込み群（RG）フローの下では単調に減少します。
• 固定点カップリングのセットによって指定されるRGフローの固定点では、関数はエネルギースケールに依存しない定数です。${\displaystyle g_{i}^{*}}$${\displaystyle C(g_{i}^{*},\mu)=C_{*}}$

この定理は、高エネルギーの理論は低エネルギーの理論よりも自由度が高く、前者から後者に流れるときに情報が失われるという概念を形式化します。

アレクサンダー・ザモロドチコフは1986年に、2次元量子場理論には常にそのようなC関数が存在することを証明した。さらに、RGフローの固定点（共形場理論に対応する）では、ザモロドチコフのC関数は対応する共形場理論の中心電荷に等しく、 ^{[1]この定理に}Cという名前が付けられている。

ジョン・カーディは1988年にC定理を高次元量子場理論に一般化できる可能性を検討した。彼は^{[2] 、4次元時空において、繰り込み群の流れの下で単調に振る舞い、したがって2次元の中心電荷}cに類似した役割を果たす量は、ある異常係数であり、それがaと表記されるようになると予想した。このため、 4次元におけるC定理の類似物はA定理と呼ばれている。

摂動論、つまり自由理論から大きく逸脱しない繰り込み流においては、 4次元におけるA定理がヒュー・オズボーン^[3]によって局所繰り込み群方程式を用いて証明された。しかし、摂動論を超えて有効な証明を見つける問題は長年未解決のままであった。

2011 年、ワイツマン科学研究所のZohar Komargodskiと Adam Schwimmer はA定理の非摂動論的証明を提案し、これが受け入れられました。^{[4] [5]} (それでも、同時単調かつ周期的 (リミット サイクル) な RG フロー、さらにはカオス的な RG フローは、特定のシステムで実証されているように、結合が多値である場合、このようなフロー関数と互換性があります。^[6] ) 4 次元の理論の RG フローと、スケール不変性が共形不変性を意味するかどうかという問題は、活発に研究されている分野であり、すべての問題が解決されているわけではありません。

• 共形場理論