機能的再正規化グループ

理論物理学において、関数的繰り込み群( FRG ) は、量子場理論や統計場理論、特に強い相互作用系を扱う際に用いられる繰り込み群(RG) の概念を実装したものです。この方法は、量子場理論の関数的方法と、ケネス・G・ウィルソンの直感的な繰り込み群の概念を組み合わせたものです。この手法により、物理系における既知の微視的法則と複雑な巨視的現象との間の滑らかな補間が可能になります。この意味で、微視的物理の単純さから巨視的物理の複雑さへの移行を橋渡しします。比喩的に言えば、FRG は可変解像度の顕微鏡として機能します。既知の微視的物理法則の高解像度画像から始め、その後解像度を下げて巨視的な集団現象の粗視化された画像を取得します。この方法は非摂動的であり、小さな結合定数の展開に依存しません。数学的には、FRG はスケール依存の有効作用に対する厳密な関数微分方程式に基づいています。

量子場理論では、有効作用${\displaystyle \Gamma }$これは古典的な作用汎関数の類似物である。${\displaystyle S}$そして、特定の理論の分野に依存します。すべての量子ゆらぎと熱ゆらぎを含みます。${\displaystyle \Gamma }$宇宙論や超伝導体の電気力学など、正確な量子場方程式が得られます。数学的には、${\displaystyle \Gamma }$は、1粒子既約ファインマン図の生成汎関数です。相互作用の伝播関数や有効結合などの興味深い物理は、そこから直接抽出できます。一般的な相互作用場理論では、有効作用は${\displaystyle \Gamma }$しかし、は入手が困難です。FRGは、を計算するための実用的なツールを提供します。${\displaystyle \Gamma }$繰り込み群の概念を用いる。

FRGの中心となる対象は、スケール依存型の有効作用汎関数である。$\displaystyle \Gamma _{k}}$平均作用または流動作用と呼ばれることが多い。RGスライディングスケールへの依存性${\displaystyle k}$レギュレーター（赤外線カットオフ）を追加することで導入されます。${\displaystyle R_{k}}$完全な逆伝播器へ${\displaystyle \Gamma _{k}^{(2)}}$おおまかに言えば、規制当局は${\displaystyle R_{k}}$運動量と遅いモードを分離する${\displaystyle q\lesssim k}$大きな質量を与えることで、高運動量モードは影響を受けない。したがって、$\displaystyle \Gamma _{k}}$運動量を持つすべての量子および統計的ゆらぎを含む${\displaystyle q\gtrsim k}$流れるような動き$\displaystyle \Gamma _{k}}$正確な関数流方程式に従う

${\displaystyle k\,\partial _{k}\Gamma _{k}={\frac {1}{2}}{\text{STr}}\,k\,\partial _{k}R_{k}\,(\Gamma _{k}^{(1,1)}+R_{k})^{-1},}$

1993 年にChristof WetterichとTim R. Morrisによって導出されました。$\displaystyle \partial _{k}}$はRGスケールに関する微分を表す。${\displaystyle k}$フィールドの固定値において。さらに、${\displaystyle \Gamma _{k}^{(1,1)}}$は、の関数微分を表す。$\displaystyle \Gamma _{k}}$方程式のテンソル構造により、左辺と右辺からそれぞれ。この特徴は、有効作用の2階微分によって簡略化されて示されることが多い。関数微分方程式は$\displaystyle \Gamma _{k}}$初期条件を補足する必要がある${\displaystyle \Gamma _{k\to \Lambda }=S}$「古典的作用」${\displaystyle S}$微視的な紫外線スケールでの物理学を記述する${\displaystyle k=\Lambda }$重要なことに、赤外線限界では${\displaystyle k\to 0}$完全な有効アクション${\displaystyle \Gamma =\Gamma _{k\to 0}}$ヴェッテリッヒ方程式では、${\displaystyle {\text{STr}}}$は、運動量、周波数、内部インデックス、および場を合計したスーパートレースを表します（ボソンにはプラス、フェルミオンにはマイナスの符号を付けます）。$\displaystyle \Gamma _{k}}$1ループ構造を持つ。これは、多重ループ図を含める必要がある摂動論と比較して重要な簡略化である。2次関数微分${\displaystyle \Gamma _{k}^{(2)}=\Gamma _{k}^{(1,1)}}$完全な逆場伝播関数は、レギュレータの存在によって修正されます。${\displaystyle R_{k}}$。

繰り込み群の進化$\displaystyle \Gamma _{k}}$これは、考えられるすべての実行結合の多次元空間である理論空間で図示することができる。${\displaystyle \{c_{n}\}}$問題の対称性によって許容される。図に模式的に示すように、微視的な紫外スケールでは${\displaystyle k=\Lambda }$1つは初期条件から始まる${\displaystyle \Gamma _{k=\Lambda }=S}$。

スライドスケールとして${\displaystyle k}$下がると、流れる動作$\displaystyle \Gamma _{k}}$理論空間において関数流方程式に従って進化する。レギュレータの選択${\displaystyle R_{k}}$一意ではないため、繰り込み群の流れにスキーム依存性が生じます。このため、レギュレータのさまざまな選択${\displaystyle R_{k}}$図中の異なる経路に対応します。赤外線スケールでは${\displaystyle k=0}$しかし、完全な有効作用${\displaystyle \Gamma _{k=0}=\Gamma }$カットオフのあらゆる選択肢に対して回復される${\displaystyle R_{k}}$そして、すべての軌跡は理論空間内の同じ点で交わる。

ほとんどの場合、興味深いウェッテリッヒ方程式は近似的にしか解けません。通常、何らかの展開によって$\displaystyle \Gamma _{k}}$が実行され、その後有限次数で打ち切られ、有限個の常微分方程式系が得られます。さまざまな体系的な展開スキーム（導関数展開、頂点展開など）が開発されました。適切なスキームの選択は物理的に動機付けられ、与えられた問題に依存します。展開には必ずしも小さなパラメータ（相互作用結合定数など）が含まれないため、一般に非摂動的な性質を持ちます。

ただし、（前因子）慣例や有効作用の具体的な定義に関して複数の選択肢があるため、文献にはウェッテリッヒ方程式の他の（同等の）バージョンが見られることに注意してください。^{[ 1 ]}

• ヴェッテリッヒ流方程式は厳密な方程式です。しかし実際には、関数微分方程式は切り捨てられなければなりません。つまり、少数の変数の関数、あるいは有限次元の部分理論空間に射影されなければなりません。あらゆる非摂動法と同様に、関数繰り込みにおける誤差推定の問題は自明ではありません。FRGにおける誤差を推定する一つの方法は、段階的に切り捨てを改善していくこと、つまり、実行結合をますます多く含めることで部分理論空間を拡大していくことです。異なる切り捨てにおける流れの差は、誤差の良い推定値を与えます。あるいは、異なるレギュレータ関数を用いることもできます。${\displaystyle R_{k}}$与えられた（固定された）切り捨て条件において、それぞれのレギュレータ選択における赤外領域のRGフローの差を決定する。ボソン化を用いる場合は、異なるボソン化手順に対する最終結果の非感度性を確認できる。
• FRGでは、すべてのRG法と同様に、 RGフローのトポロジーから物理システムに関する多くの洞察を得ることができます。特に、繰り込み群進化の固定点の特定は非常に重要です。固定点の近くでは、実行結合の流れが事実上停止し、RG${\displaystyle \beta }$-関数はゼロに近づく。(部分的に)安定な赤外固定点の存在は、普遍性の概念と密接に関係している。普遍性は、非常に異なる物理系が同じ臨界挙動を示すという観察によって明らかになる。例えば、水における液相-気相転移と磁石における強磁性相転移の臨界指数は、高い精度で同じである。繰り込み群の言葉で言えば、同じ普遍性クラスに属する異なる系は、同じ(部分的に)安定な赤外固定点へと流れ込む。このようにして、巨視的物理学は、特定の物理モデルの微視的な詳細から独立する。
• 摂動論と比較すると、関数的繰り込みでは繰り込み可能な結合と繰り込み不可能な結合を厳密に区別しない。問題の対称性によって許容されるすべての実行結合は、FRGフロー中に生成される。しかし、繰り込み不可能な結合は、赤外領域への進化中に部分固定点に非常に速く近づくため、フローは繰り込み可能な結合の数によって与えられる次元の超曲面上に効果的に崩壊する。繰り込み不可能な結合を考慮に入れることで、微視的作用の具体的な選択に敏感な非普遍的な特徴を研究することができる。${\displaystyle S}$そして有限の紫外カットオフ${\displaystyle \Lambda }$。
• ヴェッテリッヒ方程式は、1984年にジョセフ・ポルチンスキーによって導出されたポルチンスキー関数方程式のルジャンドル変換から得られる。しかし、FRGで用いられる有効平均作用の概念は、ポルチンスキー方程式における流動的な裸の作用よりも直感的である。さらに、FRG法は実用的な計算により適していることが証明されている。
• 一般的に、強相互作用系の低エネルギー物理学は、巨視的な自由度（すなわち粒子励起）によって記述されますが、これは微視的な高エネルギー自由度とは大きく異なります。例えば、量子色力学は相互作用するクォークとグルーオンの場の理論です。しかし、低エネルギー領域では、真の自由度はバリオンとメソンです。別の例として、凝縮系物理学におけるBEC/BCSクロスオーバー問題があります。微視的な理論は2成分非相対論的フェルミオンで定義されますが、低エネルギー領域では複合（粒子-粒子）ダイマーが追加の自由度となり、これをモデルに明示的に含めることが推奨されます。低エネルギー領域の複合自由度は、部分ボソン化（ハバード-ストラトノビッチ変換）によって記述に導入できます。ただし、この変換は紫外領域で一度だけ行われます。${\displaystyle \Lambda }$FRGでは、マクロな自由度をより効率的に取り入れる方法として、フローボソン化または再ボソン化と呼ばれる手法が導入された。スケール依存の場の変換を用いることで、あらゆるRGスケールにおいてハバード・ストラトノビッチ変換を連続的に実行することが可能になる。${\displaystyle k}$。

有効作用のフロー方程式とは対照的に、このスキームは有効相互作用に対して定式化されている。

${\displaystyle {\mathcal {V}}[\eta ,\eta ^{+}]=-\ln Z[G_{0}^{-1}\eta ,G_{0}^{-1}\eta ^{+}]-\eta G_{0}^{-1}\eta ^{+}}$

これは、裸の伝播関数によって切断されたn粒子相互作用頂点を生成する。${\displaystyle G_{0}}$; ${\displaystyle Z[\eta ,\eta ^{+}]}$は、n粒子グリーン関数の「標準」生成汎関数である。

グリーン関数に関する有効相互作用のウィック順序${\displaystyle D}$定義できる

${\displaystyle {\mathcal {W}}[\eta ,\eta ^{+}]=\exp(-\Delta _{D}){\mathcal {V}}[\eta ,\eta ^{+}]}$。

どこ${\displaystyle \Delta =D\delta ^{2}/(\delta \eta \delta \eta ^{+})}$は場空間におけるラプラシアンです。この操作は正規順序に似ており、ソース場とそれぞれのグリーン関数 D の畳み込みによって形成されるすべての可能な項を相互作用から除外します。カットオフを導入します。${\displaystyle \Lambda }$ポルチンスキー方程式

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \Lambda }}{{V}_{\Lambda }}(\psi )=-{{\dot {\Delta }}_{G_{0,\Lambda }}}{{V}_{\Lambda }}(\psi )+\Delta _{{\dot {G}}_{0,\Lambda }}^{12}{\mathcal {V}}_{\Lambda }^{(1)}{\mathcal {V}}_{\Lambda }^{(2)}}$

ウィック順序方程式の形をとる

${\displaystyle {\partial _{\Lambda }}{{\mathcal {W}}_{\Lambda }}=-{\Delta _{{{\dot {D}}_{\Lambda }}+{{\dot {G}}_{0,\Lambda }}}}{{\mathcal {W}}_{\Lambda }}+{e^{-\Delta _{D_{\Lambda }}^{12}}}\Delta _{{\dot {G}}_{0,\Lambda }}^{12}{\mathcal {W}}_{\Lambda }^{(1)}{\mathcal {W}}_{\Lambda }^{(2)}}$

どこ

${\displaystyle \Delta _{{\dot {G}}_{0,\Lambda }}^{12}{\mathcal {V}}_{\Lambda }^{(1)}{\mathcal {V}}_{\Lambda }^{(2)}={\frac {1}{2}}\left({{\frac {\delta {{V}_{\Lambda }}(\psi )}{\delta \psi }},{{\dot {G}}_{0,\Lambda }}{\frac {\delta {{V}_{\Lambda }}(\psi )}{\delta \psi }}}\right)}$

この方法は物理学における数多くの問題に適用された。例えば、

• 統計場理論において、FRGは古典的な線形相転移の統一的な描像を提供した。${\displaystyle O(N)}$異なる次元における対称スカラー理論${\displaystyle d}$重要な指数を含む${\displaystyle d=3}$そしてベレジンスキー・コステリッツ・サウレス相転移${\displaystyle d=2}$、${\displaystyle N=2}$。
• ゲージ量子場理論において、FRGは例えば、QCDとその大フレーバー拡張におけるカイラル相転移や赤外線特性を研究するために用いられた。
• 凝縮系物理学において、この方法は格子モデル（例えばハバードモデルやフラストレーションのある磁気系）、反発ボーズガス、二成分フェルミガスのBEC/BCSクロスオーバー、近藤効果、無秩序系、非平衡現象の解析に有効であることが証明されている。
• FRGを重力に適用することで、漸近的安全性シナリオとして知られる、4次元時空における量子重力の非摂動的繰り込み可能性を支持する議論が得られた。
• 数理物理学において、FRGは様々な場の理論の繰り込み可能性を証明するために用いられた。

• 繰り込み群
• 繰り込み
• 臨界現象
• スケール不変性
• 量子重力における漸近的安全性