ニュートン多角形

数学 において、ニュートン多角形は、局所体上、またはより一般的には超計量体 上の多項式の挙動を理解するためのツールです。元の場合、対象の超計量体は本質的に不定体Xの形式ローラン級数体、つまり上の形式冪級数環の分数の体であり、ここで は実数体または複素数体でした。これは、ピュイズー展開に関しても依然としてかなりの有用性があります。ニュートン多角形は、 が多項式環に係数を持つ多項式 である方程式 の冪級数展開解 の主要項、つまり暗黙的に定義された代数関数を理解するための効果的な手段です。ここでの指数は、選択した分岐に依存する特定の有理数であり、解自体は、分岐に対応する分母 を持つの冪級数です。ニュートン多角形は、 を計算するための効果的なアルゴリズム的アプローチを提供します。 ${\displaystyle K[[X]]}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle aX^{r}}$${\displaystyle P(F(X))=0}$${\displaystyle P}$${\displaystyle K[X]}$ ${\displaystyle r}$${\displaystyle K[[Y]]}$${\displaystyle Y=X^{\frac {1}{d}}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$

p進数の導入後、ニュートン多角形は局所体の分岐の問題、ひいては代数的整数論にも同様に有用であることが示された。ニュートン多角形は楕円曲線の研究にも有用であった。

先験的に、体上の多項式が与えられた場合、根の挙動（根があると仮定）は不明です。ニュートン多角形は、根の挙動を研究するための 1 つの手法を提供します。

を非アルキメデス的値を持つ体とし、 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle v_{K}:K\to \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$

${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\in K[x],}$

となります。すると、 のニュートン多角形は、 となる点を無視した点の集合の凸包の下界として定義されます。 ${\displaystyle a_{0}a_{n}\neq 0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle P_{i}=\left(i,v_{K}(a_{i})\right),}$${\displaystyle a_{i}=0}$

幾何学的に言い換えると、これらすべての点P _{i を}xy平面にプロットします。点のインデックスは左から右に向かって増加するものと仮定します ( P ₀は左端の点、P _nは右端の点)。次に、P ₀から始めて、y軸と平行にまっすぐ下に光線を描き、この光線を反時計回りに回転させて点P _{k 1} (必ずしもP ₁である必要はありません) に当てます。ここで光線を切断します。次に、P _{k 1}からy軸と平行にまっすぐ下に2 番目の光線を描き、この光線を反時計回りに回転させて点P _{k 2}に当てます。このプロセスを点P _nに達するまで続けます。結果として得られる多角形 (点P ₀、P _{k 1}、P _{k 2}、...、P _{k m}、P _nを含む) がニュートン多角形です。

このプロセスを見るもう 1 つの、おそらくより直感的な方法は、すべての点P ₀、...、P _{n を}囲む輪ゴムを考えます。輪ゴムを上方に伸ばし、輪ゴムの下側をいくつかの点で固定します (点は xy 平面に部分的に打ち込まれた釘のように機能します)。ニュートン多角形の頂点は、まさにそれらの点です。

このわかりやすい図については、JWS Cassels 著「Local Fields」(LMS Student Texts 3、CUP 1986) の第 6 章 §3 を参照してください。これは 1986 年のペーパーバック版の 99 ページにあります。

前のセクションの表記を用いると、ニュートン多角形に関する主な結果は次の定理である。^[1]これは、の根の値はそのニュートン多角形によって完全に決定されることを述べている。 ${\displaystyle f}$

を（上で定義した）ニュートン多角形の線分の傾きを昇順に並べた ものとし 、を x 軸上に投影された線分 の対応する長さとします（つまり、点間に伸びる線分がある場合、その長さは です）。 ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2},\ldots ,\mu _{r}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r}}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle P_{j}}$${\displaystyle ji}$

• これらは別個です。${\displaystyle \mu_{i}}$
• ${\displaystyle \sum _{i}\lambda _{i}=n}$;
• がの根である場合、;${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle f}$${\displaystyle K}$${\displaystyle v(\alpha )\in \{-\mu _{1},\ldots ,-\mu _{r}\}}$
• 任意の に対して、の根の値（重複度を数えると）が に等しいものの数は最大で であり、が 上の線型因子の積に分解される場合は と等しくなります。${\displaystyle i}$${\displaystyle f}$${\displaystyle -\mu_{i}}$${\displaystyle \lambda_{i}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle K}$

前のセクションの表記法を用いて、以下では上のの分解体を で表し、をに拡張したものを で表します。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle f}$${\displaystyle K}$${\displaystyle v_{L}}$${\displaystyle v_{K}}$${\displaystyle L}$

ニュートンの多角形定理は、次の系のように、多項式の既約性を示すためによく使用されます。

• 評価が離散的で正規化されており、 のニュートン多項式には、傾きが でx 軸への投影が である1 つのセグメントのみが含まれるものとします。が と互いに素である場合、は上で既約です。特に、アイゼンシュタイン多項式のニュートン多角形はとを結ぶ傾きの単一のセグメントで構成されるため、アイゼンシュタインの条件が成り立ちます。${\displaystyle v}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \mu =a/n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f}$${\displaystyle K}$${\displaystyle -{\frac {1}{n}}}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle (n,0)}$

確かに、主定理によれば、がの根である 場合、が 上で既約でなければ、の次数は となり、 が成り立ちます。しかし、は と互いに素であるため、これは不可能です。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle f}$${\displaystyle v_{L}(\alpha )=-a/n.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle K}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle <n}$${\displaystyle v_{L}(\alpha )\in {1 \over d}\mathbb {Z} }$${\displaystyle v_{L}(\alpha )=-a/n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle n}$

もう一つの単純な帰結は次のようになります。

• がヘンゼルであると仮定します。 のニュートン多角形が何らかの に対して を満たす場合、 はに根を持ちます。${\displaystyle (K,v_{K})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \lambda _{i}=1}$${\displaystyle i}$${\displaystyle f}$${\displaystyle K}$

証明:主定理により、は という単一の根を持つ必要があります。特に、は上で分離可能です。が に属さない場合、 は上で別個のガロア共役を持ち、、^[2]を伴い、の根であるため、矛盾が生じます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle v_{L}(\alpha )=-\mu _{i}.}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha '}$${\displaystyle K}$${\displaystyle v_{L}(\alpha ')=v_{L}(\alpha )}$${\displaystyle \alpha '}$${\displaystyle f}$

より一般的には、次の因数分解定理が成り立ちます。

• がヘンゼルであると仮定する。すると、 は任意の に対して単項であり、 の根は付値 であり、 である。${\displaystyle (K,v_{K})}$${\displaystyle f=A\,f_{1}\,f_{2}\cdots f_{r},}$${\displaystyle A\in K}$${\displaystyle f_{i}\in K[X]}$${\displaystyle i}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle -\mu_{i}}$${\displaystyle \deg(f_{i})=\lambda _{i}}$^[3]

さらに、 であり、 が と互いに素である場合、は 上で既約です。${\displaystyle \mu_{i}=v_{K}(f_{i}(0))/\lambda_{i}}$${\displaystyle v_{K}(f_{i}(0))}$${\displaystyle \lambda_{i}}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle K}$

証明: 任意の に対して、がの根であり であるような単項式の積を で表します。また、 を素一価因数に因数分解する と表します。を の根とし ます。 は上のの最小多項式であると仮定できます。が の根である場合、を に送るのK-自己同型が存在し、 はヘンゼルなので が成り立ちます。したがっても の根です。さらに、重複根は明らかに同じ値を共有するため、重複 の のすべての根は明らかに重複の の根です。これは、 がを割り切ることを示します。 とします。の根を選択します。 の根はの根とは異なることに注意してください。上の の最小多項式を使用して前の議論を繰り返し、wlg を と仮定して、 が を割り切ることを示します。 のすべての根が尽きるまでこのプロセスを続けると、最終的にに到達します 。したがって、明らかに となり、主な論点が示されます。 という事実は主定理から導かれ、 という事実も、 のニュートン多角形はに接続する線分を 1 つしか持てないことに注目することで導かれます。 の既約性の条件は、上記の系から導かれます。(qed) ${\displaystyle i}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle (X-\alpha )}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle f}$${\displaystyle v_{L}(\alpha )=-\mu _{i}}$${\displaystyle f=AP_{1}^{k_{1}}P_{2}^{k_{2}}\cdots P_{s}^{k_{s}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle K[X]}$${\displaystyle (A\in K).}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \alpha '}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha '}$${\displaystyle v_{L}(\sigma \alpha )=v_{L}(\alpha )}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \alpha '}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle k_{1}\nu }$${\displaystyle P_{1}^{k_{1}}}$${\displaystyle f_{i}.}$${\displaystyle g_{i}=f_{i}/P_{1}^{k_{1}}}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle g_{i}}$${\displaystyle g_{i}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle K}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle P_{2}^{k_{2}}}$${\displaystyle g_{i}}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle f_{i}=P_{1}^{k_{1}}\cdots P_{m}^{k_{m}}}$${\displaystyle m\leq s}$${\displaystyle f_{i}\in K[X]}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle f=Af_{1}\cdot f_{2}\cdots f_{r}}$${\displaystyle \lambda_{i}=\deg(f_{i})}$${\displaystyle \mu_{i}=v_{K}(f_{i}(0))/\lambda_{i}}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle (0,v_{K}(f_{i}(0))}$${\displaystyle (\lambda _{i},0=v_{K}(1))}$${\displaystyle f_{i}}$

以下は上記の因数分解の直接の系であり、ヘンゼル体上の多項式の可約性のテストを構成します。

• がヘンゼルであると仮定します。ニュートン多角形が単一の線分に縮小されない場合、 は上で縮小可能です。${\displaystyle (K,v_{K})}$${\displaystyle (\mu ,\lambda ),}$${\displaystyle f}$${\displaystyle K}$

ニュートン多角形の他の応用は、ニュートン多角形がニュートン多面体の特殊なケースであることもあり、次のような2変数多項式方程式の漸近解を構成するために使用できるという 事実から来ています。${\displaystyle 3x^{2}y^{3}-xy^{2}+2x^{2}y^{2}-x^{3}y=0.}$

評価の文脈では、多項式の根の基本対称関数の評価の形で特定の情報が与えられ、代数的閉包における実際の根の評価に関する情報が必要になります。これは、分岐理論と特異点理論の両方の側面を持っています。可能な有効な推論は、ニュートンの恒等式によるべき乗和の評価です。

ニュートン多角形は、1676年にヘンリー・オルデンバーグに宛てた書簡の中で初めてニュートン多角形とその用途について記述したアイザック・ニュートンにちなんで名付けられました。^[4]

• Fクリスタル
• エイゼンシュタインの基準
• ニュートン・オクンコフ体
• ニュートン多面体

• Goss、David (1996)、関数フィールド算術の基本構造、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [数学および関連分野の結果 (3)]、vol. 35、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、doi :10.1007/978-3-642-61480-4、ISBN 978-3-540-61087-8、MR  1423131
• Gouvêa、Fernando : p 進数: 概要。 Springer Verlag 1993. p. 199.

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• ニュートン多角形を描くアプレット