3次元空間におけるユークリッド平面

ユークリッド幾何学では、平面とは、無限に広がる平らな2次元 面のことです。 ユークリッド平面は、多くの場合、 3 次元空間の部分空間として生じます。典型的な例としては、部屋の壁が無限に広がり、無限に薄いと仮定されます。平面上の点は、実数のペアで記述できますが、平面外の点との関係では、周囲の空間への埋め込みについて特別な考慮が必要です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

あ平面セグメントまたは平面領域（または、一般的には単に「平面」）は、平面の表面領域、線分。バイベクトルは、有向平面セグメントであり有向線分。^[a] 面は、立体の境界となる平面セグメントです。^[1] スラブは、2 つの平行な平面で囲まれた領域です。平行六面体は、 3 組の平行な平面で囲まれた領域です。

ユークリッドは、幾何学の公理的扱いという数学思想の最初の偉大な記念碑を打ち立てた。^{[2]彼は定義されていない用語（}共通概念と呼ばれる）と公準（または公理）の小さな核を選び、それらを使って様々な幾何学的命題を証明した。現代的な意味での平面は『原論』のどこにも直接定義されていないが、共通概念の一部と考えることができる。^{[3]ユークリッドは長さ、角度、面積を測るのに数字を使うことはなかった。選択された}直交座標系を備えたユークリッド平面は直交平面と呼ばれ、極座標系を備えた非直交ユークリッド平面は極平面と呼ばれる。

平面は線織面です。

数学において、ユークリッド平面は2 次元のユークリッド空間で、または で表されます。これは、各点の位置を決定するために2 つの実数が必要となる幾何学的な空間です。これはアフィン空間であり、特に平行線の概念が含まれます。また、距離によって誘導される計量特性も備えており、これにより円の定義や角度の測定が可能になります。 ${\displaystyle {\textbf {E}}^{2}}$${\displaystyle \mathbb {E} ^{2}}$

選択された直交座標系を持つユークリッド平面は、直交平面と呼ばれます。

実数の対の集合（ 実座標平面）は、ドット積を備えており、すべてのユークリッド平面がこれに同型であるため、ユークリッド平面または標準ユークリッド平面と呼ばれることがよくあります。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

このセクションでは、3 次元、具体的にはR ³に埋め込まれた平面のみを扱います。

任意の次元数のユークリッド空間では、平面は次のいずれかによって一意に決定されます。

• 同一直線上にない3 つの点。
• 線とその線上にない点。
• 2 つの異なるが交差する線。
• 2 つの異なるが平行な線。

次のステートメントは 3 次元ユークリッド空間では成立しますが、高次元では成立しません。ただし、高次元には類似のステートメントがあります。

• 2 つの異なる平面は平行であるか、または直線で交差します。
• 線は平面に平行であるか、平面と 1 点で交差するか、平面内に含まれるかのいずれかです。
• 同じ平面に対して垂直な2 つの異なる線は、互いに平行でなければなりません。
• 同じ線に対して垂直な 2 つの異なる平面は、互いに平行でなければなりません。

2 次元空間の線が点と傾きの形式を使用して方程式として記述されるのと同様に、3 次元空間の平面は、平面内の点とそれに直交するベクトル (法線ベクトル)を使用してその「傾斜」を示す自然な記述を持ちます。

具体的には、r _{0 をある点}P ₀ = ( x ₀ , y ₀ , z ₀ )の位置ベクトルとし、n = ( a , b , c )を非ゼロベクトルとします。点P ₀とベクトルnによって決まる平面は、位置ベクトルrを持つ点Pで構成され、 P _0からPに引かれたベクトルはnに垂直になります。2 つのベクトルが垂直になるのは、それらのドット積がゼロの場合のみであることを思い出すと、目的の平面は、となる すべての点rの集合として記述できることがわかります。 ここでのドットはドット (スカラー) 積を意味します。これを展開すると、平面の方程式の点正規形 に なります 。 ^[4]これは単なる線形方程式 で、 はの展開形です。$${\displaystyle {\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0})=0.}$$
$${\displaystyle a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0,}$$ $${\displaystyle ax+by+cz+d=0,}$$$${\displaystyle d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}),}$$${\displaystyle -{\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {r}}_{0}.}$

数学では法線を単位ベクトルとして表現するのが一般的な慣例ですが、上記の議論は任意の非ゼロの長さの法線ベクトルに当てはまります。

逆に、 a、b、c、dが定数で、a、b、cがすべてゼロでない場合、方程式のグラフは ベクトルn = ( a、b、c )を法線とする平面になることは簡単に示されます。^[5]このよく知られた平面方程式は、平面方程式の一般形、または単に平面方程式と呼ばれます。^[6]$${\displaystyle ax+by+cz+d=0,}$$

したがって、たとえば、y = d + ax + cz（b = −1 ）という形式の回帰方程式は、説明変数が2つある場合に、3次元空間で最適な平面を確立します。

あるいは、平面は、次の形式のすべての点の集合としてパラメトリックに記述されることもある。 $${\displaystyle {\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {r}}_{0}+s{\boldsymbol {v}}+t{\boldsymbol {w}},}$$

ここで、sとt はすべての実数の範囲にあり、vとw は平面を定義する線形独立 ベクトルとして与えられ、 r ₀は平面上の任意の（ただし固定された）点の位置を表すベクトルです。ベクトルvとw は、 r ₀から始まり、平面に沿って異なる方向を指すベクトルとして視覚化できます。ベクトルvとw は垂直になることはできますが、平行になることはできません。

p ₁ = ( x ₁ , y ₁ , z ₁ )、p ₂ = ( x ₂ , y ₂ , z ₂ )、p ₃ = ( x ₃ , y ₃ , z ₃ )を非同一線上の点とします 。

p ₁、p ₂、p ₃を通る平面は、次の行列式を満たすすべての点 ( x、y、z )の集合として記述できます。 $${\displaystyle {\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_ {1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end {vmatrix}}={\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x-x_{2}&y-y_{2}&z-z_{2}\ \x-x_{3}&y-y_{3}&z-z_{3}\end{vmatrix}}=0.}$$

平面を の形式の方程式で記述するには、次の連立方程式を解きます。 ${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$$${\displaystyle ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d=0}$$ $${\displaystyle ax_{2}+by_{2}+cz_{2}+d=0}$$ $${\displaystyle ax_{3}+by_{3}+cz_{3}+d=0.}$$

このシステムはクラメールの規則と基本的な行列操作 を使って解くことができます。$${\displaystyle D={\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3 }\end{vmatrix}}.}$$

Dがゼロでない場合（つまり、原点を通らない平面の場合）、 a、b、cの値は次のように計算できます。 $${\displaystyle a={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}1&y_{1}&z_{1}\\1&y_{2}&z_{2}\\1&y_{3}&z_{3} \end{vmatrix}}}$$ $${\displaystyle b={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}x_{1}&1&z_{1}\\x_{2}&1&z_{2}\\x_{3}&1&z_{3} \end{vmatrix}}}$$ $${\displaystyle c={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{ 3}&1\end{vmatrix}}.}$$

これらの方程式はdに関してパラメトリックです。d を任意のゼロ以外の数値に設定し、これらの方程式に代入すると、1 つの解セットが生成されます。

この平面は、上記の平面規定の方程式の§点法線形式と一般形式でも記述できます。適切な法線ベクトルは外積によって与えられ、 点r _{0は、与えられた点}p ₁、p ₂、またはp ₃ ^[7]（または平面内の他の任意の点） のいずれかになります。$${\displaystyle {\boldsymbol {n}}=({\boldsymbol {p}}_{2}-{\boldsymbol {p}}_{1})\times ({\boldsymbol {p}}_{3}-{\boldsymbol {p}}_{1}),}$$

ユークリッド空間では、点から平面までの距離は、与えられた点とその平面上の直交投影との間の距離、つまり平面上の最も近い点までの 垂直距離です。

これは、変数の変更から始めて原点を指定された点と一致させ、次にシフトした平面上で 原点に最も近い点を見つけることで見つけることができます。結果として得られる点は、直交座標を持ちます。 ${\displaystyle ax+by+cz=d}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle \displaystyle x={\frac {ad}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\quad \quad \displaystyle y={\frac {bd}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\quad \quad \displaystyle z={\frac {cd}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$。

原点と点の間の距離はです。${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

解析幾何学では、 3 次元空間における直線と平面の交点は、空集合、点、または直線になります。直線が平面に埋め込まれている場合は、その直線全体が交点となります。直線が平面と平行だが平面の外側にある場合は、空集合となります。それ以外の場合は、直線は 1 点で平面を横切ります。

これらのケースを区別し、後者の場合の点と線の方程式を決定することは、コンピュータグラフィックス、動作計画、衝突検出に役立ちます。

解析幾何学では、 3 次元空間における2 つの平面の交点は直線です。

平面は、平面鏡の鏡面反射や進行する平面波の波面など、多くの物理現象の数学的モデルとして機能します。乱されていない液体の自由表面は、ほぼ平坦になる傾向があります (平坦性を参照)。これまでに製造された中で最も平坦な表面は、量子安定化原子ミラーです。^[11] 天文学では、軌道上の位置を定義するためにさまざまな基準面が使用されます。 解剖学上の平面は、側方 (「矢状」)、前頭 (「冠状」)、または横断面です。地質学では、ベッド(堆積物の層) は平面であることが多いです。平面は、焦点面、ピクチャー プレーン、イメージ プレーンなど、さまざまな形式のイメージングに関係しています。

格子面の姿勢は、面の法線の向きであり、^[12]面のミラー指数によって記述されます。3次元空間では、面の族（一連の平行面）はミラー指数（hkl）によって表すことができます。^{[13] [14]}そのため、面の族は、その構成面すべてに共通の姿勢を持ちます。

地質学で観察される多くの特徴は平面または線であり、その方向は一般に姿勢と呼ばれます。これらの姿勢は 2 つの角度で指定されます。

線の場合、これらの角度はトレンドとプランジと呼ばれます。トレンドは線の方位であり、プランジは水平面に対して線が作る下向きの角度です。^[15]

平面の場合、2 つの角度は走向 (角度)と傾斜 (角度)と呼ばれます。走向線は、水平面と観測される平面的特徴 (したがって水平線) との交点であり、走向角はこの線の方位(つまり、地理的北または磁北に対する方位) です。傾斜は、走向線に垂直な 3 番目の垂直面で観測される、水平面と観測される平面的特徴との間の角度です。

• アントン・ハワード（1994年）、初等線形代数（第7版）、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ISBN 0-471-58742-7
• イブス、ハワード（1963）「幾何学の概観」第1巻、ボストン：アリン＆ベーコン社。
• ホッブス、チャールズ・オースティン (1921) 。立体幾何学。ケンブリッジ、GHケント。pp. 396-400。LCCN  21016427。

ウィキメディア・コモンズには、3次元空間におけるユークリッド平面に関連するメディアがあります。

• 「平面」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ワイスタイン、エリック W.「平面」。MathWorld。
• 「算術と平面幾何学の難しさの緩和」は、平面幾何学と算術に関するチュートリアルとして機能する、15 世紀のアラビア語の写本です。