過剰数

数学において、過剰数はある種の自然数です。自然数n は、すべてのm < nに対して次の場合に過剰数と呼ばれます。

${\displaystyle {\frac {\sigma (m)}{m}}} <{\frac {\sigma (n)}{n}}}$

ここで、σ は、約数の合計関数（つまり、n自身を含むnのすべての正の約数の合計）を表します。最初のいくつかの過剰数は、 1、2、4、6、12、24、36、48、60、120、... （ OEISのシーケンスA004394）です。たとえば、数5は過剰数ではありません。1、2、3、4、および 5 の場合、シグマは1、3、4、7、6、および7/4 > 6/5 だからです。

過剰数は、レオニダス・アラオグルとポール・エルデシュ (1944) によって定義されました。アラオグルとエルデシュは知りませんでしたが、ラマヌジャンの 1915 年の論文「高度合成数」の約 30 ページが出版中止になりました。それらのページは最終的にラマヌジャン ジャーナル1 (1997)、119-153に掲載されました。その論文のセクション 59 で、ラマヌジャンは過剰数を含む一般化された高度合成数を定義しています。

レオニダス・アラオグルとポール・エルデシュ （1944）は、 nが過剰であれば、a kとa ₁、a ₂、...、a _kが存在し、

${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{k}(p_{i})^{a_{i}}}$

ここでp _{i は}i番目の素数であり、

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \dotsb \geq a_{k}\geq 1.}$

つまり、nが過剰数である場合、 nの素数分解は指数が増加しないこと（大きい素数の指数が小さい素数の指数を超えることはない）と、n までのすべての素数がnの因数であることを証明した。特に、過剰数は偶数であり、k番目の素数の倍数である。${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle p_{k}\#.}$

実際、最後の指数a _{k は}、n が 4 または 36 の場合を除き、1 に等しくなります。

過剰数は高度合成数と密接な関係があります。過剰数はすべて高度合成数というわけではありません。実際、過剰数と高度合成数が同一なのは 449 個だけです ( OEISのシーケンスA166981 )。たとえば、7560 は高度合成数ですが過剰数ではありません。逆に、1163962800 は過剰数ですが高度合成数ではありません。

アラオグルとエルデシュは、過剰数はすべて非常に豊富であることを観察しました。

すべての過剰数がハーシャッド数であるわけではありません。最初の例外は 105 番目の過剰数 149602080797769600 です。数字の合計は 81 ですが、81 はこの過剰数を割り切れません。

過剰数は、リーマン予想や、リーマン予想が次の命題と同値であるという ロビンの定理との関連でも興味深い。

${\displaystyle {\frac {\sigma (n)}{e^{\gamma }n\log \log n}}}1}$

既知の最大の例外である過剰数 5040 より大きいすべてのnに対して。この不等式に、リーマン予想が偽であることを証明するより大きな反例がある場合、そのような最小の反例は過剰数でなければならない (Akbary & Friggstad 2009)。

過剰数は、必ずしも莫大に多いというわけではありません。

一般化された-超過剰数は、${\displaystyle k}$すべての に対してとなる数であり、ここで はの約数の - 乗の合計です。 ${\displaystyle {\frac {\sigma _{k}(m)}{m^{k}}}}<{\frac {\sigma _{k}(n)}{n^{k}}}}$${\displaystyle m<n}$${\displaystyle \sigma _{k}(n)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$

1 超過剰数は過剰数です。0 超過剰数は高度合成数です。

例えば、一般化された2超過剰数は1、2、4、6、12、24、48、60、120、240、...（OEISの配列A208767） である。

• ブリッグス、キース（2006）、「過剰数とリーマン予想」、実験数学、15（2）：251–256、doi：10.1080 / 10586458.2006.10128957、S2CID  46047029。
• アクバリ、アミール; フリッグスタッド、ザカリー (2009)、「過剰数とリーマン予想」、アメリカ数学月刊誌、116 (3): 273–275、doi :10.4169/193009709X470128。
• アログル、レオニダス;エルデシュ、ポール(1944)、「高度に合成された数と類似の数について」、アメリカ数学会誌、56 (3)、アメリカ数学会: 448–469、doi :10.2307/1990319、JSTOR  1990319。

• MathWorld: 過剰数