膨大な数

数論において、超過剰数（CAと略されることもある）は、特定の厳密な意味で、多くの約数を持つ自然数である。特に、それは整数の約数の合計とその整数の1 より大きい累乗との比によって定義される。そのような指数について、どの整数が最も高い比を持つかが超過剰数である。これは過剰数よりも強い制約であるが、過剰数よりも厳密には強いわけではない。

正式には、数nが超過剰であるとは、ε >0が存在し、すべてのk >1に対して、

${\displaystyle {\frac {\sigma (n)}{n^{1+\varepsilon }}}\geq {\frac {\sigma (k)}{k^{1+\varepsilon }}}}$

ここでσは除数和関数を表す。^[1]

最初の 15 個の非常に豊富な数、2、6、12、60、120、360、2520、5040、55440、720720、1441440、4324320、21621600、367567200、6983776800 (OEIS のシーケンスA004490 )は、最初の 15 個の優れた高度な合成数でもありますが、どちらのセットも他方のサブセット ではありません。

超過剰数はラマヌジャンによって初めて研究され、彼の研究結果は1915年の高度に合成された数に関する論文に盛り込まれる予定だった。^[2] 残念ながら、ラマヌジャンが論文を投稿した雑誌の発行元であるロンドン数学会は当時財政難に陥っており、ラマヌジャンは印刷コストを削減するために論文の一部を削除することに同意した。^{[3]彼の研究結果は主に}リーマン予想 を条件としており、この仮定のもとで超過剰数の大きさの上限と下限を見つけ、ロビンの不等式（下記参照）として知られるようになるものがnの十分に大きな値すべてに対して成り立つことを証明した。^[4]

数のクラスは、レオニダス・アラオグルとポール・エルデシュの1944年の論文で、ラマヌジャンの結果を拡張しようとした、やや強い形で再考されました。^[5]

非常に多い数は、約数が多数あるという概念を捉えようとする整数のいくつかのクラスのうちの 1 つです。正の整数nに対して、約数の和関数 σ( n ) は、1 とn自身を含む、 n を割り切るすべての数の合計を与えます。ポール・バッハマンは、平均すると σ( n ) は π ² n  / 6程度であることを示しました。 ^[6]一方、グロンヴァルの定理は、σ( n )の最大次数がわずかに大きいこと、具体的には、これらの整数nに対して σ( n ) がe ^γ n  log(log( n ))とほぼ同じサイズになるような整数の増加シーケンスが存在することを述べています。ここで、γ はオイラー・マスケローニ定数です。^{[6]したがって、非常に多い数は、いくつかの ε > 0 に対して}関数 の値を最大化することを要求することで、多くの約数があるという概念を捉えています。

${\displaystyle {\frac {\sigma (n)}{n^{1+\epsilon }}}}$

全てのnの値において。バッハマンとグロンウォールの結果は、すべてのε > 0に対してこの関数は最大値を持ち、εがゼロに近づくにつれてこれらの最大値が増加することを保証している。したがって、非常に豊富な数は無限に存在するが、それらはむしろまばらであり、10 ¹⁸未満のものは22個しかない。^[7]

優れた高合成数の場合と同様に、すべての超多元数の集合の効果的な構成は、正の実数からの次の単調なマッピングによって与えられます。

${\displaystyle e_{p}(\varepsilon )=\left\lfloor {\frac {\ln \left(1+\displaystyle {\frac {p-1}{p^{1+\varepsilon }-p}}\right)}{\ln p}}\right\rfloor \quad }$

任意の素数 pと正の実数に対して、 ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle \quad s(\varepsilon )=\prod _{p\in \mathbb {P} }p^{e_{p}(\varepsilon )}\ }$非常に豊富な数です。

あらゆる ε に対して上記の関数は最大値を持ちますが、あらゆる ε に対してこの最大値が一意であるかどうかは明らかではなく、実際そうではありません。Alaoglu と Erdős は、与えられた ε の値に対して、上記の関数の同じ最大値を与えるnの異なる値がいくつあるかを研究しました。彼らは、ほとんどの ε の値に対して、関数を最大化する単一の整数nが存在することを示しまし た。しかし、後に Erdős と Jean-Louis Nicolas は、特定の離散的な ε の値の集合に対して、同じ最大値を与えるnの異なる値が 2 つまたは 4 つある可能性があることを示しました。^[8]

1944年の論文で、アラオグルとエルデシュは、2つの連続する非常に多い数の比は常に素数であると予想した。彼らは、これが超越数論における4つの指数関数予想の特殊なケース、具体的には、任意の2つの異なる素数pとqに対して、 p ^tとq ^tが両方とも有理数となる唯一の実数t は正の整数であるということを示した。シーゲルが彼らに真であると保証した3つの素数に対する対応する結果^{[9] —} 1960年代にセルジュ・ラングとK・ラマチャンドラによって証明された6つの指数関数定理の特殊なケース—を使用して、彼らは、2つの連続する非常に多い数の商は常に素数または半素数（つまり、素因数が2つだけである数）のいずれかであることを示した。商が素数の 平方になることはない。

アローグルとエルデシュの予想は、少なくとも10 ⁷まで検証されているものの、未解決のままである。^[11] もしこれが真実なら、異なる素数列p ₁、p ₂、p ₃、…が存在し、n番目の超多量数は、

${\displaystyle c_{n}=\prod _{i=1}^{n}p_{i}}$

予想が成り立つと仮定すると、この素数列は 2、3、2、5、2、3、7、2 で始まります ( OEISの列A073751 )。アラオグルとエルデシュの予想は、 ε のどの値も、上記の関数の最大値として 4 つの異なる整数n を与えないことを意味します。

過剰数と同様に、超過剰数は過剰数の一般化である。また過剰数と同様に、厳密な一般化ではない。数は過剰でなくても超過剰になり得る。これは6の場合に当てはまる。6の約数は1、2、3、6であるが、過剰数は、その数自身を除く約数の合計がその数自身よりも大きい数と定義される。1+2+3=6であるため、この条件は満たされない（そして6は完全数である）。しかし、超過剰数はすべて過剰数でもある。^[12]

1980年代にガイ・ロビンは、リーマン予想は、 n > 5040の全ての場合に次の不等式が成り立つという主張と同等であることを示した^[13]  。（ここでγはオイラー・マスケローニ定数）

${\displaystyle \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n\approx 1.781072418n\log \log n\,}$

この不等式は、27 個の数値 ( OEISのシーケンスA067698 ) では成立しないことが知られています。

2、3、4、5、6、8、9、10、12、16、18、20、24、30、36、48、60、72、84、120、180、240、360、720、840、 2520、5040

ロビンは、リーマン予想が正しい場合、n  = 5040 は予想が成り立たない最後の整数であることを示した。彼の研究にちなんで、この不等式は現在ロビンの不等式として知られている。ロビンの不等式が成り立たない場合、それは非常に大きな数nに対しては成り立たないことが知られている。したがって、リーマン予想は、実際には、 n > 5040のすべての非常に大きな数に対してロビンの不等式が成り立つことと同等である 。

2001年から2002年にかけて、ラガリアス^[7]は、対数の代わりに 調和数を使用して、例外を必要としないロビンの主張の別の形式を実証しました。

${\displaystyle \sigma (n)<H_{n}+\exp(H_{n})\log(H_{n})}$

または、 n = 1、2、3、4、6、12、24、60 の 8 つの例外を除く:

${\displaystyle \sigma (n)<\exp(H_{n})\log(H_{n})}$

• キース・ブリッグスによる超多元数とリーマン予想
• MathWorldエントリー
• リーマン予想と過剰数に関する注釈
• ロビンのRHの定式化について