中心九角数

中心九角数（または中心九角数）は、中心に点があり、他のすべての点は連続する九角形の層で中心点を囲む九角形を表す中心 図形数である。n層の中心九角数は、式^[1]で与えられる。

${\displaystyle Nc(n)={\frac {(3n-2)(3n-1)}{2}}.}$

( n -1)番目の三角数に9を掛けて1を加えるとn番目の中心九角数が得られますが、中心九角数は三角数とさらに単純な関係にあります。つまり、3つおきの三角数（1番目、4番目、7番目など）も中心九角数です。^[1]

したがって、最初のいくつかの中心九角数は^[1]

1、10、28、55、91、136、190、253、325、406、496、595、703、820、946。​​​​​​​​​​​​​​

上記のリストには、完全数28 と 496 が含まれています。すべての偶数完全数は、指数が奇数のメルセンヌ素数である三角数です。^[2] 3 より大きいすべてのメルセンヌ素数は 3 を法として 1 と合同であるため 、  6 より大きいすべての偶数完全数は中心九角数になります。

1850年、フレデリック・ポロック卿は、あらゆる自然数は最大11個の中心九角数の和であると予想しました。^[3]ポロックの予想は2023年に正しいことが確認されました。^[4]

• すべての中心九角数は 1 mod 3 と合同です。
  • したがって、任意の 3 つの中心九角数の和と任意の 2 つの中心九角数の差は 3 で割り切れます。

• 九角数