優れた高合成数

数論において、上位合成数とは、厳密な意味で多くの約数を持つ自然数のことである。具体的には、ある整数が持つ約数の数と、その整数をある正のべき乗で累乗した数との比によって定義される。

任意の指数に対して、最も大きな比率を持つ整数が上位合成数となる。これは、より小さい正の整数よりも多くの約数を持つ合成数という定義よりも厳しい制約である。

最初の10個の上位合成数とその素因数分解を以下に示します。

上位合成数nに対して、すべての自然数k > 1に対して、次の式が成り立つような正の実数ε > 0が存在する。$${\displaystyle {\frac {d(n)}{n^{\varepsilon }}}\geq {\frac {d(k)}{k^{\varepsilon }}}}$$ここで、 d ( n )は除数関数であり、 nの約数の数を表します。この用語はラマヌジャン(1915)によって造語されました。^{[ 1 ]}

For example, the number with the most divisors per square root of the number itself is 12; this can be demonstrated using some highly composites near 12. $${\displaystyle {\frac {2}{2^{0.5}}}\approx 1.414,{\frac {3}{4^{0.5}}}=1.5,{\frac {4}{6^{0.5}}}\approx 1.633,{\frac {6}{12^{0.5}}}\approx 1.732,{\frac {8}{24^{0.5}}}\approx 1.633,{\frac {12}{60^{0.5}}}\approx 1.549}$$

120 is another superior highly composite number because it has the highest ratio of divisors to itself raised to the 0.4 power. $${\displaystyle {\frac {9}{36^{0.4}}}\approx 2.146,{\frac {10}{48^{0.4}}}\approx 2.126,{\frac {12}{60^{0.4}}}\approx 2.333,{\frac {16}{120^{0.4}}}\approx 2.357,{\frac {18}{180^{0.4}}}\approx 2.255,{\frac {20}{240^{0.4}}}\approx 2.233,{\frac {24}{360^{0.4}}}\approx 2.279}$$

The first 15 superior highly composite numbers, 2, 6, 12, 60, 120, 360, 2520, 5040, 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800 (sequence A002201 in the OEIS) are also the first 15 colossally abundant numbers, which meet a similar condition based on the sum-of-divisors function rather than the number of divisors. Neither set, however, is a subset of the other.

All superior highly composite numbers are highly composite. This is easy to prove: if there is some number k that has the same number of divisors as n but is less than n itself (i.e. ${\displaystyle d(k)=d(n)}$, but ${\displaystyle k<n}$), then ${\displaystyle {\frac {d(k)}{k^{\varepsilon }}}>{\frac {d(n)}{n^{\varepsilon }}}}$ for all positive ε, so if a number "n" is not highly composite, it cannot be superior highly composite. Furthermore, all superior highly numbers have the greatest possible number of divisors for the number of (not necessarily distinct) prime factors it has.^[2]

An effective construction of the set of all superior highly composite numbers is given by the following monotonic mapping from the positive real numbers.^[3] Let $${\displaystyle e_{p}(x)=\left\lfloor {\frac {1}{{\sqrt[{x}]{p}}-1}}\right\rfloor }$$ for any prime number p and positive real x. Then $${\displaystyle s(x)=\prod _{p\in \mathbb {P} }p^{e_{p}(x)}}$$ is a superior highly composite number.

Note that the product need not be computed indefinitely, because if ${\displaystyle p>2^{x}}$ then ${\displaystyle e_{p}(x)=0}$, so the product to calculate ${\displaystyle s(x)}$ can be terminated once ${\displaystyle p\geq 2^{x}}$.

Also note that in the definition of ${\displaystyle e_{p}(x)}$, ${\displaystyle 1/x}$ is analogous to ${\displaystyle \varepsilon }$ in the implicit definition of a superior highly composite number.

Moreover, for each superior highly composite number ${\displaystyle s'}$ exists a half-open interval ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} ^{+}}$ such that ${\displaystyle \forall x\in I:s(x)=s'}$.

This representation implies that there exist an infinite sequence of $\displaystyle \pi _{1},\pi _{2},\ldots \in \mathbb {P} }$ such that for the n-th superior highly composite number $s_n$ holds $$\displaystyle s_{n}=\prod _{i=1}^{n}\pi _{i}}$$

The first $\displaystyle \pi _{i}}$2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, ... ( OEISのシーケンスA000705 )です。言い換えれば、連続する 2 つの上位合成数の商は素数です。

最初のいくつかの上位合成数は、その大きさに対して高い割り切れる性質を持つため、しばしば基数として用いられてきた。例えば、次のようになる。

• 2進数（基数2）
• セナリー（6進法）
• 12進数（基数12）
• 六十進法（60を基数とする）

より大きなSHCNは、他の方法でも使用できます。120は長い百の位として、360は円の度数として表されます。

• ラマヌジャン、S. (1915). 「高度に合成された数」 .ロンドン数学会紀要.シリーズ 2. 14 : 347– 409. doi : 10.1112/plms/s2_14.1.347 . JFM 45.1248.01 . 『Collected Papers』 （ GH Hardy他編）、ニューヨーク：Chelsea、  78～129ページ、1962年 に再録。
• サンダー、ヨージェフ。ミトリノヴィッチ、ドラゴスラフ S.クリスティチ、ボリスラフ編。 (2006)。整数論ハンドブック I。ドルドレヒト: Springer-Verlag。45 ～ 46ページ。ISBN  1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300 . 

• ワイススタイン、エリック W. 「優れた高度合成数」 . MathWorld .