半完全数

数論において、半完全数または擬完全数とは、自然数nの約数すべてまたは一部の和に等しい数のことである。すべての約数の和に等しい半完全数は完全数である。

最初のいくつかの半完全数は、6、12、18、20、24、28、30、36、40、...（OEISのシーケンスA005835）です。​​​

• 半完全数のすべての倍数は半完全数である。 ^{[ 1 ]}より小さい半完全数で割り切れ ない半完全数を原始数と呼ぶ。
• 自然数mと奇素数pに対してp < 2 ^{m +1}となるような2 ^m pの形のすべての数は半完全数でもある。
  • 特に、2 ^m (2 ^{m +1}  −  1) の形のすべての数は半完全数であり、2 ^{m +1}  −  1 がメルセンヌ素数であれば、実際に完全数となります。
• 最小の奇数の半完全数は945です。
• 半完全数は必ず完全数か過剰数のいずれかである。半完全数ではない過剰数は奇数と呼ばれる。
• 2を除いて、すべての基本擬完全数は半完全数である。
• 2のべき乗ではない実用的な数はすべて半完全数である。
• 半完全数の集合には自然な密度が存在する。^{[ 2 ]}

原始半完全数（原始擬完全数、既約半完全数、既約擬完全数とも呼ばれる）は、真の半完全約数を持たない半完全数である。^{[ 2 ]}

最初のいくつかの原始的な半完全数は、6、20、28、88、104、272、304、350、...です（OEISのシーケンスA006036 ）。

このような数は無限に存在します。 2 ^mと 2 ^{m +1}の間の素数pを持つ2 ^m pの形のすべての数は原始半完全数ですが、すべての原始半完全数がこの形に従うわけではありません。たとえば、770です。^{[ 1 ] [ 2 ]} 奇数の原始半完全数は無限に存在し、最小のものは945です。調和約数ではない原始半完全数は無限に存在します。^{[ 1 ]}

すべての半完全数は、原始半完全数の倍数である。

• 半完全数
• エルデシュ・ニコラス数

• フリードマン、チャールズ N. (1993). 「約数の和とエジプト分数」 .数論ジャーナル. 44 (3): 328–339 . doi : 10.1006/jnth.1993.1057 . MR 1233293 . Zbl 0781.11015 .  
• ガイ、リチャード・K. (2004).数論における未解決問題.シュプリンガー・フェルラーク. ISBN 0-387-20860-7。OCLC 54611248。Zbl 1058.11001。  セクションB2。
• シェルピンスキー、ワツワフ（1965年）。 「シュール・レ・ノンブル・疑似パフェ」。マット。ヴェスン。ヌーベル セリエ (フランス語)。2 (17): 212–213 . MR 0199147。Zbl 0161.04402。  
• ザカリオウ、アンドレアス。ザカリオウ、エレニ (1972)。 「完全、半完全、鉱石数」。ブル。社会数学。ギリシャ。ヌーベルシリーズ。13 : 12–22。MR 0360455。​​ Zbl 0266.10012。  

• ワイススタイン、エリック W. 「擬似完全数」 . MathWorld .
• ワイススタイン、エリック W. 「原始擬完全数」 . MathWorld .