除数関数

数学、特に数論において、除数関数とは、整数の約数に関連する算術関数です。除数関数と呼ばれる場合、整数の約数（1と整数自身を含む）の数を数えます。除数関数は、リーマンゼータ関数やモジュラー形式のアイゼンシュタイン級数に関する関係など、数多くの注目すべき恒等式に現れます。除数関数はラマヌジャンによって研究され、彼は多くの重要な合同式と恒等式を与えました。これらは「ラマヌジャンの和」という記事で別途扱われています。

関連する関数として除数総和関数があり、その名前が示すように、除数関数に関する総和です。

実数または複素数zに対する正の約数の和関数σ _z ( n ) は、 nの正の約数のz乗の和として定義されます。シグマ記号では次のように表すことができます。

${\displaystyle \sigma _{z}(n)=\sum _{d\mid n}d^{z}\,\!,}$

どこ${\displaystyle {d\mid n}}$は「 d はnを割り切る 」の略記です。表記d ( n ) 、ν ( n ) およびτ ( n ) (ドイツ語のTeiler = 約数) は、 σ ₀ ( n ) または約数の数関数^{[ 1 ] [ 2 ]} ( OEIS : A000005 ) を表すためにも使用されます。z が 1 の場合、この関数はシグマ関数または約数の和関数と呼ばれ、^{[ 1 ] [ 3 ]}添え字は省略されることが多いため、σ ( n ) はσ ₁ ( n ) ( OEIS : A000203 )と同じです。  

nのアリコート和s ( n )は、真の約数(つまり、n自身を除く約数、OEIS : A001065 )の合計であり、σ ₁ ( n ) − nに等しくなります。nのアリコート列は、アリコート和関数を繰り返し適用することによって形成されます。   

例えば、σ ₀ (12) は 12 の約数の数です。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{0}(12)&=1^{0}+2^{0}+3^{0}+4^{0}+6^{0}+12^{0}\\&=1+1+1+1+1+1=6,\end{aligned}}}$

σ ₁ (12)はすべての除数の合計です。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}+12^{1}\\&=1+2+3+4+6+12=28,\end{aligned}}}$

そして、真の約数のアリコット和 s(12) は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}s(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}\\&=1+2+3+4+6=16.\end{aligned}}}$

σ ₋₁ ( n ) は、 nの豊富度指数と呼ばれることもあり、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{-1}(12)&=1^{-1}+2^{-1}+3^{-1}+4^{-1}+6^{-1}+12^{-1}\\[6pt]&={\tfrac {1}{1}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{12}}\\[6pt]&={\tfrac {12}{12}}+{\tfrac {6}{12}}+{\tfrac {4}{12}}+{\tfrac {3}{12}}+{\tfrac {2}{12}}+{\tfrac {1}{12}}\\[6pt]&={\tfrac {12+6+4+3+2+1}{12}}={\tfrac {28}{12}}={\tfrac {7}{3}}={\tfrac {\sigma _{1}(12)}{12}}\end{aligned}}}$

x = 2 から 5 のケースはOEIS : A001157 からOEIS : A001160 に記載されており、x = 6 から 24 のケースはOEIS : A013954 からOEIS : A013972 に記載されています。

除数関数を含む2 つのディリクレ級数は次のとおりです。 ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (s-a)\quad {\text{for}}\quad \Re (s)>1+\max\{\Re (a),0\},}$

どこ${\displaystyle \zeta }$はリーマンゼータ関数です。d ( n )  = σ0 ( n )の級数は次_のようになります。^{[ 9 ]} 

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}=\zeta ^{2}(s)\quad {\text{for}}\quad \Re (s)>1,}$

そしてラマヌジャン恒等式^{[ 10 ]}

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}},}$

これはランキン・セルバーグ畳み込みの特殊なケースである。

除数関数を含むランベルト級数は次のとおりです。 ^{[ 11 ]}

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }n^{a}q^{j\,n}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {Li} _{-a}(q^{n})}$

任意の複素数| q |  ≤  1 およびa ( ${\displaystyle \operatorname {Li} }$は多対数です。この総和は、アイゼンシュタイン級数のフーリエ級数やワイエルシュトラス楕円関数の不変量としても現れます。

のために${\displaystyle k>0}$ラマヌジャン和を用いた明示的な級数表現が存在する${\displaystyle c_{m}(n)}$: ^{[ 12 ]} ​

${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\zeta (k+1)n^{k}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {c_{m}(n)}{m^{k+1}}}.}$

最初の項の計算${\displaystyle c_{m}(n)}$「平均値」を中心とした変動を示す${\displaystyle \zeta (k+1)n^{k}}$:

${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\zeta (k+1)n^{k}\left[1+{\frac {(-1)^{n}}{2^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {2\pi n}{3}}}{3^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {\pi n}{2}}}{4^{k+1}}}+\cdots \right]}$

リトルオー記法では、除数関数は次の不等式を満たします。^{[ 13 ] [ 14 ]}

${\displaystyle {\mbox{for all }}\varepsilon >0,\quad d(n)=o(n^{\varepsilon }).}$

より正確には、セヴェリン・ヴィゲルトは次のように示しました。^{[ 14 ]}

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\log d(n)}{\log n/\log \log n}}=\log 2,}$

アプローチしてきた${\displaystyle n}$原始的なものを取って

${\displaystyle p_{k}\#=e^{(1+o(1))k\log k}.}$^{[ 15 ]}

一方、素数は無限に存在するので、^{[ 14 ]}

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }d(n)=2.}$

ビッグオー記法では、ピーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレは、除数関数の平均次数が次の不等式を満たすことを示した。 ^{[ 16 ] [ 17 ]}

${\displaystyle {\mbox{for all }}x\geq 1,\sum _{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}}),}$

どこ${\displaystyle \gamma }$はオイラーのガンマ定数です。境界を改善する${\displaystyle O({\sqrt {x}})}$この式はディリクレの除数問題として知られています。

シグマ関数の挙動は不規則です。シグマ関数の漸近的成長率は次のように表すことができます。^{[ 18 ]}

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\,\log \log n}}=e^{\gamma },}$

ここで lim sup は上極限です。この結果は、1913 年に発表されたグロンウォールの定理です( Grönwall 1913 )。彼の証明は、メルテンスの第 3 定理を使用しています。その定理は次のとおりです。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\log n}}\prod _{p\leq n}{\frac {p}{p-1}}=e^{\gamma },}$

ここでpは素数を表す。グロンウォールはまた、

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{a}}}=\zeta (a),\quad a>1,}$

どこ${\displaystyle \zeta }$はリーマンゼータ関数です。

1915年、ラマヌジャンはリーマン予想の仮定の下でロビンの不等式が成り立つことを証明した。

${\displaystyle \ \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n}$（γはオイラー・マスケローニ定数）

十分大きなnに対しては、この不等式が成り立つ( Ramanujan 1997 )。この不等式に違反する既知の最大値はn = 5040である。^{[ 19 ]} 1984 年、Guy Robin は、この不等式がすべてのn > 5040に対して真であるのは、リーマン予想が真である場合のみであることを証明した( Robin 1984 )。これはRobin の定理であり、この不等式は彼の後に知られるようになった。Robin はさらに、リーマン予想が偽である場合、この不等式に違反するnの値は無限に存在することを示し、そのような最小のn > 5040 は超過剰でなければならないことが知られている( Akbary & Friggstad 2009 )。この不等式は大きな奇数と平方因子を持たない整数に対して成り立つことが示されており、リーマン予想はnが素数の5乗で割り切れる場合にのみこの不等式と同等であることが示されています（Choie et al. 2007 ）。

ロビンはまた、次の不等式が無条件に成り立つことを証明した。

${\displaystyle \ \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n+{\frac {0.6483\ n}{\log \log n}}}$

n ≥ 3の場合すべてに当てはまります。

関連する境界は、 2002年にジェフリー・ラガリアスによって与えられ、彼はリーマン予想が次の命題と同等であることを証明した。

${\displaystyle \sigma (n)<H_{n}+e^{H_{n}}\log(H_{n})}$

すべての自然数n > 1に対して、${\displaystyle H_{n}}$はn番目の高調波数である( Lagarias 2002 )。

• 除数和畳み込みでは、除数関数を含むいくつかの恒等式がリストされています。
• オイラーのトーシェント関数、オイラーのファイ関数
• リファクタリング可能な番号
• 約数表
• 単位因子

• Akbary, Amir; Friggstad, Zachary (2009)、「超過剰数とリーマン予想」（PDF）、American Mathematical Monthly、116（3）：273–275、doi：10.4169/193009709X470128、2014年4月11日にオリジナル（PDF）からアーカイブ済み。
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• ワイススタイン、エリック W. 「除数関数」 . MathWorld .
• ワイススタイン、エリック・W. 「ロビンの定理」 . MathWorld .
• 除数関数を含む特定の畳み込み和の初等的評価Huard、Ou、Spearman、および Williams による論文の PDF 版。除数和畳み込みの初等的（つまり、モジュラー形式の理論に依存しない）証明、数を三角数の和として表現する方法の数の公式、および関連する結果が含まれています。