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数論では、正の整数nの約数和 s ( n )は、 nのすべての真約数、つまりn自身以外のnのすべての約数の合計です。つまり、
これは、素数、完全数、可算数、不足数、過剰数、不可触数を特徴付け、数の 因数列を定義するために使用できます。
例
たとえば、12 の真約数 (つまり、12 と等しくない 12 の正の約数) は1、2、3、4、6なので、12 の約数の合計は 16、つまり ( 1 + 2 + 3 + 4 + 6 ) になります。
n = 1、2、3、...の場合のs ( n )の値は次のとおりです。
- 0、1、1、3、1、6、1、7、4、8、1、16、1、10、9、15、1、21、1、22、11、14、1、36、6、16、13、28、1、42、1、31、15、20、13、55、1、22、17、50、1、54、1、40、33、26、1、76、8、43 、...（OEIS のシーケンスA001065 ）
数のクラスの特徴
アリコート合計関数は、いくつかの注目すべき数値クラスを特徴付けるために使用できます。
- 1 は、因数の合計が 0 になる唯一の数です。
- ある数が素数となるのは、その数の因数分解の合計が1である場合に限ります。 [1]
- 完全数、不足数、過剰数の因数和は、それぞれその数自体と等しい、その数より小さい、その数自体より大きい。[1]準完全数（もし存在するなら）は、因数和がn + 1となる数nである。ほぼ完全数（2 の累乗を含み、今のところ唯一知られている数）は、因数和がn – 1となる数n である。
- 不可算数とは、他の数の約数和ではない数のことである。不可算数の研究は少なくともアブ・マンスール・アル・バグダディ（紀元1000年頃）まで遡り、彼は2と5は両方とも不可算数であると観察した。[1] [2] ポール・エルデシュは、その数が無限であることを証明した。[3] 5が唯一の奇数の不可算数であるという予想は未証明のままであるが、半素数pqの場合、約数和はp + q + 1であるという観察と合わせて、ゴールドバッハの予想の一種から導かれる。[1]
数学者のポラックとポメランス（2016）は、エルデシュの「お気に入りの研究テーマ」の 1 つが因数和関数であったと指摘しました。
反復
アリコート合計関数を反復すると、非負整数nのアリコートシーケンス n、s ( n )、s ( s ( n ))、…が生成されます(このシーケンスでは、s (0) = 0と定義します)。
社交的数とは、その約数列が周期的な数列である数です。友好的数とは、その約数列の周期が 2 である社交的数です。
これらの数列が常に素数、完全数、または周期的な数列で終わるかどうかは不明である。 [4]
参照
- 正の約数の合計関数、ある数の（x乗）正の約数の合計
- ウィリアム・オブ・オーブリーヴ、等分和に興味を持つ中世の数秘術師
参考文献
- ^ abcd ポール・ポラック、カール・ポメランス(2016)、「エルデシュの約数和関数に関するいくつかの問題」、アメリカ数学会誌、シリーズ B、3 : 1–26、doi : 10.1090/btran/10、MR 3481968
- ^ Sesiano, J. (1991)、「イスラム時代の数論の2つの問題」、Archive for History of Exact Sciences、41 (3): 235–238、doi :10.1007/BF00348408、JSTOR 41133889、MR 1107382、S2CID 115235810
- ^ Erdős, P. (1973)、「Über die Zahlen der Form σ ( n ) − n {\displaystyle \sigma (n)-n} und n − ϕ ( n ) {\displaystyle n-\phi (n)} " (PDF)、Elemente der Mathematik、28 : 83–86、MR 0337733
- ^ Weisstein, Eric W.「カタランのアリコート列予想」。MathWorld。
外部リンク
- Weisstein、Eric W.「制限付き除数関数」。MathWorld。