デジタルルート

与えられた基数における自然数のデジタル根（反復デジタル和とも呼ばれる）は、各反復で前回の反復の結果を使用して桁の合計を計算する、桁を合計する反復処理によって得られる（1桁の）値です。この処理は、1桁の数に達するまで続けられます。たとえば、基数10では、数12345のデジタル根は6です。これは、数内の桁の合計が1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15であるためです。次に、加算処理が結果の数15に対して再度繰り返され、1 + 5の合計が6に等しくなり、これがその数のデジタル根です。基数10では、これは9で割った余りを取ることに相当します（デジタル根が9の場合を除き、9で割った余りは0になります）。そのため、これを割り算の規則として使用できます。

を自然数とします。基数 に対して、桁の合計を次のように定義します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$

${\displaystyle F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}}$

ここで はを底とする数の桁数であり、 ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

は、数値の各桁の値です。自然数がの不動点である場合、その自然数はデジタル根と呼ばれます。これは、 の場合に発生します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle F_{b}}$${\displaystyle F_{b}(n)=n}$

すべての自然数は、底に関係なく、に対して前周期点となる。これは、 の 場合、${\displaystyle n}$${\displaystyle F_{b}}$${\displaystyle n\geq b}$

${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}}$

そしてそれゆえ

${\displaystyle F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}<\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}=n}$

なぜなら。 ならば、当然 ${\displaystyle b>1}$${\displaystyle n<b}$

${\displaystyle F_{b}(n)=n}$

したがって、唯一の可能なデジタル根は自然数であり、 の不動点以外のサイクルは存在しません。 ${\displaystyle 0\leq n<b}$${\displaystyle 0\leq n<b}$

12進数では、8は10進数3110の加法デジタル根であり、${\displaystyle n=3110}$

${\displaystyle d_{0}={\frac {3110{\bmod {12^{0+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{0}}{12^{0}}}={\frac {3110{\bmod {12}}-3110{\bmod {1}}}{1}}={\frac {2-0}{1}}={\frac {2}{1}}=2}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {3110{\bmod {12^{1+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{1}}{12^{1}}}={\frac {3110{\bmod {144}}-3110{\bmod {1}}2}{12}}={\frac {86-2}{12}}={\frac {84}{12}}=7}$

${\displaystyle d_{2}={\frac {3110{\bmod {12^{2+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{2}}{12^{2}}}={\frac {3110{\bmod {1728}}-3110{\bmod {1}}44}{144}}={\frac {1382-86}{144}}={\frac {1296}{144}}=9}$

${\displaystyle d_{3}={\frac {3110{\bmod {12^{3+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{3}}{12^{3}}}={\frac {3110{\bmod {20736}}-3110{\bmod {1}}728}{1728}}={\frac {3110-1382}{1728}}={\frac {1728}{1728}}=1}$

${\displaystyle F_{12}(3110)=\sum _{i=0}^{4-1}d_{i}=2+7+9+1=19}$

このプロセスは、3110が12進数では1972であることを示しています。${\displaystyle F_{12}(3110)=19}$

${\displaystyle d_{0}={\frac {19{\bmod {12^{0+1}}}-19{\bmod {1}}2^{0}}{12^{0}}}={\frac {19{\bmod {12}}-19{\bmod {1}}}{1}}={\frac {7-0}{1}}={\frac {7}{1}}=7}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {19{\bmod {12^{1+1}}}-19{\bmod {1}}2^{1}}{12^{1}}}={\frac {19{\bmod {144}}-19{\bmod {1}}2}{12}}={\frac {19-7}{12}}={\frac {12}{12}}=1}$

${\displaystyle F_{12}(19)=\sum _{i=0}^{2-1}d_{i}=1+7=8}$

19は12進数では17であることがわかります。また、8は12進数では1桁の数なので、

${\displaystyle F_{12}(8)=8}$。

次のようにして、 基数の数字ルートを直接定義できます。${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$

ベースの式は次のとおりです。 ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{if}}\ n=0,\\b-1&{\mbox{if}}\ n\neq 0,\ n\ \equiv 0{\pmod {(b-1)}},\\n{\bmod {(b-1)}}&{\mbox{if}}\ n\not \equiv 0{\pmod {(b-1)}}\end{cases}}}$

または、

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{if}}\ n=0,\\1\ +\ ((n-1){\bmod {(b-1)}})&{\mbox{if}}\ n\neq 0.\end{cases}}}$

10 進数では、対応する配列は ( OEISの配列A010888 ) です。

デジタルルートは を法とする値です。なぜならであり、したがって であるため、数字 の位置に関係なく となり、これが数字を意味のある形で追加できる理由を説明しています。具体的には、3桁の数字 の場合、 ${\displaystyle (b-1)}$${\displaystyle b\equiv 1{\pmod {(b-1)}},}$${\displaystyle b^{i}\equiv 1^{i}\equiv 1{\pmod {(b-1)}}.}$${\displaystyle i}$${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle d_{i}b^{i}\equiv d_{i}{\pmod {(b-1)}}}$${\displaystyle n=d_{2}b^{2}+d_{1}b^{1}+d_{0}b^{0}}$

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(n)\equiv d_{2}b^{2}+d_{1}b^{1}+d_{0}b^{0}\equiv d_{2}(1)+d_{1}(1)+d_{0}(1)\equiv d_{2}+d_{1}+d_{0}{\pmod {(b-1)}}.}$

他の数 に関するモジュラー値を取得するには、重み付き和を取ることができます。ここで、 - 番目の桁の重みはの値に対応します。 10 を基数とすると、これは に対して最も簡単です。ここで、1 桁目以外の上位桁は消えます (2 と 5 は 10 の累乗を割り切れるため)。これは、10 進数が 2、5、10 について割り切れるかどうかは最後の桁で確認できるというよく知られた事実に対応します。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle i}$${\displaystyle b^{i}{\bmod {m}}}$${\displaystyle m=2,5,{\text{ and }}10}$

また、法 にも注目してください。および であるため、桁を交互に合計すると を法とする値が得られます。 ${\displaystyle m=b+1}$${\displaystyle b\equiv -1{\pmod {(b+1)}},}$${\displaystyle b^{2}\equiv (-1)^{2}\equiv 1{\pmod {(b+1)}},}$${\displaystyle (b+1)}$

正の整数のデジタル根を、その数より小さい の最大倍数に対する位置として考えると分かりやすくなります。たとえば、基数 6では11 のデジタル根は 2 であり、これは 11 が の次の 2 番目の数であることを意味します。同様に、基数 10 では 2035 のデジタル根は 1 であり、これは であることを意味します。ある数が のデジタル根を正確に生成する場合、その数は の倍数です。 ${\displaystyle b-1}$${\displaystyle 6-1=5}$${\displaystyle 2035-1=2034|9}$${\displaystyle b-1}$${\displaystyle b-1}$

これを念頭に置くと、正の整数のデジタル根は床関数を使って次のように定義できる。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(n)=n-(b-1)\left\lfloor {\frac {n-1}{b-1}}\right\rfloor .}$

• 基数 ののデジタル根は、 のデジタル根と のデジタル根を加算したデジタル根です。この特性は、合計が正しく実行されたかどうかを確認するための一種のチェックサムとして使用できます。${\displaystyle a_{1}+a_{2}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{2}}$$${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(a_{1}+a_{2})=\operatorname {dr} _{b}(\operatorname {dr} _{b}(a_{1})+\operatorname {dr} _{b}(a_{2})).}$$

• のデジタル根は、のデジタル根と を法としたのデジタル根の差に一致します。${\displaystyle a_{1}-a_{2}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{2}}$${\displaystyle (b-1)}$$${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(a_{1}-a_{2})\equiv (\operatorname {dr} _{b}(a_{1})-\operatorname {dr} _{b}(a_{2})){\pmod {(b-1)}}.}$$

• のデジタルルートは${\displaystyle -n}$${\displaystyle b}$$${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(-n)\equiv -\operatorname {dr} _{b}(n){\bmod {b-1}}.}$$

• 基数 の非ゼロの 1 桁の数の積のデジタル根は、基数 のヴェーダの平方根によって与えられます。${\displaystyle a_{1}\cdot a_{2}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$

• 底ののデジタル根は、のデジタル根と のデジタル根の積のデジタル根です。${\displaystyle a_{1}\cdot a_{2}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{2}}$$${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(a_{1}a_{2})=\operatorname {dr} _{b}(\operatorname {dr} _{b}(a_{1})\cdot \operatorname {dr} _{b}(a_{2})).}$$

加法的な持続性は、デジタル根に到達するまでに その桁を何回加算する必要があるかをカウントします。

たとえば、10 進数での 2718 の加法持続性は 2 です。まず、2 + 7 + 1 + 8 = 18 であることがわかり、次に 1 + 8 = 9 であることがわかりま す。

数を基数とする数の加法的な持続性には制限がありません。証明: 与えられた数 について、数字 1 の繰り返しからなる数の持続性はのものより 1 高くなります。基数 10 における加法的な持続性の最小の数 0、1、... は次のとおりです。 ${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

0、10、19、199、19 999 999 999 999 999 999、...（OEISのシーケンスA006050）

数列の次の数（加法持続性 5 の最小数）は 2 × 10 ^{2×(10 22  − 1)/9}  − 1 （つまり、1 の後に 2 222 222 222 222 222 222 222 個の 9 が続く）である。任意の固定基数について、数の桁の合計はその対数に比例するため、加法持続性は反復対数に比例する。^[1]

以下の例では、上記の定義で説明した数字の合計を実装して、Pythonでデジタル根と加法持続性を検索します。

def  digit_sum ( x :  int ,  b :  int )  ->  int : 
    total  =  0 
    while  x  >  0 : 
        total  =  total  +  ( x  %  b ) 
        x  =  x  //  b
    合計を返す 

def  digital_root ( x :  int ,  b :  int )  ->  int : 
    seen  =  set () 
    while  x  not  in  seen : 
        seen . add ( x ) 
        x  =  digit_sum ( x ,  b ) 
    return  x

def  additional_persistence ( x :  int ,  b :  int )  ->  int : 
    seen  =  set () 
    while  x  not  in  seen : 
        seen . add ( x ) 
        x  =  digit_sum ( x ,  b ) 
    return  len ( seen )  -  1

西洋の数秘術では数字のルートが使われますが、神秘的な意味を持つとされる特定の数字（11 や 22 など）は必ずしも 1 桁に完全に減算されるわけではありません。

デジタル ルーツは、ビジュアル ノベル アドベンチャー ゲーム「Nine Hours, Nine Persons, Nine Doors」において重要なメカニズムを形成します。

• アバーバッハ、ボニー、チェイン、オリン（1999年5月27日）、レクリエーション数学による問題解決、ドーバー数学ブックス（再版）、ミネオラ、ニューヨーク：クーリエドーバー出版、pp. 125–127、ISBN 0-486-40917-1（オンライン版、125ページ、Googleブックス）
• ガンナム、タラル（2011年1月4日）「数字の謎：デジタルルートを通して明らかに」CreateSpace Publications、68～73ページ、ISBN 978-1-4776-7841-1、2016年3月29日時点のオリジナルよりアーカイブ。2016年2月11日閲覧。（オンライン版、68ページ、Googleブックス）
• Hall, FM (1980)、「抽象代数入門」第1巻（第2版）、ケンブリッジ、英国：CUPアーカイブ、p. 101、ISBN 978-0-521-29861-2（オンライン版、101ページ、Googleブックス）
• O'Beirne, TH (1961 年 3 月 13 日)、「パズルとパラドックス」、New Scientist、10 (230)、Reed Business Information: 53–54、ISSN  0262-4079（オンライン版、53ページ、Googleブックス）
• ラウズ・ボール、WW ;コクセター、HSM（2010年5月6日）、数学レクリエーションとエッセイ、ドーバーレクリエーション数学（第13版）、ニューヨーク：ドーバー出版、ISBN 978-0-486-25357-2（Google ブックスのオンラインコピー）

• MS Excel を使用したデジタルルートのパターン
• Weisstein、Eric W.「デジタルルート」。MathWorld。