有害な数字

数論では、有害数とは、2進数表現のハミング重みが素数となる正の整数、つまり、2進数で表したときに1が素数となる数である数である。^[1]

最初の有害な数字は3です。3 = 11 ₂であり、1 + 1 = 2で素数です。次の有害な数字は5です。5 = 101 ₂であり、続いて6 (110 ₂ )、7 (111 ₂ )、9 (1001 ₂ )です。^[2]有害な数字のシーケンスは

2 のべき乗はどれも有害な数ではありません。これは自明なことです。なぜなら、2 のべき乗は 1 の後に 0 が続く数として表されるからです。したがって、2 のべき乗のハミング重みはそれぞれ 1 であり、1は素数とは見なされません。^[2]一方、 の形式の数はすべて、フェルマー数すべてを含め、有害な数です。これは、2 のべき乗の数字の合計が 2 であり、これが素数であるためです。^[2]${\displaystyle 2^{n}+1}$${\displaystyle n>1}$

メルセンヌ数は 1からなる 2 進表現を持ち、 が素数の場合に有害である。すべてのメルセンヌ素数は素数 のメルセンヌ数であり、したがって有害で​​ある。ユークリッド・オイラーの定理により、偶数の完全数はメルセンヌ素数 の形を取り、そのような数の 2 進表現は素数の 1 とそれに続く0 から構成される。したがって、すべての偶数の完全数は有害である。^{[3] [4]}${\displaystyle 2^{n}-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$${\displaystyle 2^{n}-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n-1}$

• 奇数とは、 2 進展開で 1 が奇数個ある数です ( OEIS : A000069 )。
• 邪悪な数とは、2 進展開で 1 が偶数個ある数です ( OEIS : A001969 )。