不足数

数論において、不足数または欠陥数とは、正の整数 n の約数の和が 2n 未満である数のことです。言い換えれば、真の約数の和（またはアリコット和）がn未満である数のことです。例えば、8 の真の約数は1、2、4であり、それらの和は 8 未満なので、8 は不足数です。

最初のいくつかの不足数は

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, ... ( OEISのシーケンスA005100 )

例として、21という数を考えてみましょう。21の約数は1、3、7で、それらの合計は11です。11は21より小さいので、21は不足数です。不足数は21 − 11 = 10です。

素数のアリコット和は 1 に等しいので、すべての素数は不足数です。^{[ 1 ]}より一般的には、1 個または 2 個の異なる素因数を持つすべての奇数は不足数です。したがって、不足する奇数は無限に存在します。また、2 のすべてのべき乗の和は ( 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2x ^{− 1} = ^2x − 1 ) であるため、不足する偶数も無限に存在します。m > 0 でpが2n − 1より大きい素数である形式の^{2n − 1} × p ^mの無限の族も不足数です^。

より一般的に言えば、すべての主要な権力${\displaystyle p^{k}}$は不足している。なぜなら、それらの唯一の真の約数は${\displaystyle 1,p,p^{2},\dots ,p^{k-1}}$合計すると${\displaystyle {\frac {p^{k}-1}{p-1}}}$最大で${\displaystyle p^{k}-1}$[ ^{2 ]​}

不足数の真の約数はすべて不足数である。^{[ 3 ]} さらに、完全数の真の約数はすべて不足数である。^{[ 4 ]}

区間内に少なくとも１つの不足数が存在する${\displaystyle [n,n+(\log n)^{2}]}$十分大きなnに対して。^{[ 5 ]}

不足数と密接に関連しているのは、σ ( n ) = 2nの完全数と、σ ( n ) > 2nの過剰数です。    

ニコマコスは、著書『算術入門』（紀元100年頃）の中で、数を不足数、完全数、過剰数に分類した最初の人物である。しかし、彼はこの分類を偶数にのみ適用した。^{[ 6 ]}

• ほぼ完璧な数字
• 友好的な数字
• 社交的な数字
• 超過剰数

• ディクソン、レナード・ユージン（1919）。数論の歴史、第1巻：可除性と素数性。カーネギー研究所。
• Prielipp, Robert W. (1970). 「完全数、過剰数、不足数」。The Mathematics Teacher . 63 (8): 692–696 . doi : 10.5951/MT.63.8.0692 . JSTOR 27958492 . 
• サンダー、ヨージェフ。ミトリノヴィッチ、ドラゴスラフ S.クリスティチ、ボリスラフ編。 (2006)。整数論ハンドブック I。ドルドレヒト: Springer-Verlag。ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300 . 

• 素数用語集：不足数
• ワイスタイン、エリック・W. 「欠乏数」。マスワールド。
• PlanetMathで不足している数値。