Loading article…
メルセンヌ素数と完全数は、整数論において深く結びついた 2 つの自然数タイプです。修道士マリン・メルセンヌにちなんで名付けられたメルセンヌ素数は、何らかの正の整数pに対して2 p − 1と表せる素数です。たとえば、3 は素数であり、2 2 − 1と表せるため、メルセンヌ素数です。[1] [2]メルセンヌ素数に対応する数p は、それ自体が素数でなければなりませんが、大部分の素数p はメルセンヌ素数にはなりません。たとえば、2 11 − 1 = 2047 = 23 × 89です。[3]一方、完全数は、その数自体を除く約数である正の真約数の合計に等しい自然数です。したがって、6の真約数は1、 2、3であり、1 + 2 + 3 = 6であるため、 6 は完全数です。[2] [4]
メルセンヌ素数と偶数の完全数の間には一対一の対応があるが、奇数の完全数が存在するかどうかは不明である。これはユークリッドによって部分的に証明され、レオンハルト・オイラーによって完成されたユークリッド・オイラーの定理によるものである。偶数は、2 p −1 × (2 p − 1)の形式で表現できる場合にのみ完全数となる。ここで、2 p − 1はメルセンヌ素数である。言い換えれば、その式に当てはまる数はすべて完全数であり、偶数の完全数はすべてその形式に当てはまる。たとえば、p = 2の場合、2 2 − 1 = 3 は素数であり、2 2 − 1 × (2 2 − 1) = 2 × 3 = 6は完全数である。[1] [5] [6]
メルセンヌ素数や完全数が無限に存在するかどうかは、現在のところ未解決の問題である。 [2] [6]メルセンヌ素数の頻度は、レンストラ・ポメランス・ワグスタッフ予想の対象であり、与えられたx未満のメルセンヌ素数の期待数は( e γ / log 2) × log log xである、としている。ここで、eはオイラー数、γはオイラー定数、log は自然対数である。[7] [8] [9]奇数の完全数が存在するかどうかもわかっていない。奇数の完全数の可能性に関するさまざまな条件が証明されており、下限は10 1500である。[10]
以下は、現在知られているすべてのメルセンヌ素数と完全数、およびそれらの指数pの一覧です。2024 年現在[アップデート]、52 個のメルセンヌ素数（つまり完全数）が知られており、そのうち最大の 18 個は、分散コンピューティングプロジェクトGreat Internet Mersenne Prime Search（GIMPS）によって発見されました。[2]新しいメルセンヌ素数は、バイナリ コンピューターに効率的なメルセンヌ素数の素数判定であるLucas–Lehmer テスト(LLT)を使用して発見されます。[2]
表示されている順位は、2022年時点で知られている指数の中での順位です[アップデート]。可能性は低いですが、より小さな順位が発見された場合、順位が変わる可能性があります。GIMPSによると、2024年1月現在、48番目の作業指数p = 57,885,161[アップデート]未満のすべての可能性がチェックされ、検証されています。[11]発見年と発見者はメルセンヌ素数です。これは、ユークリッド・オイラーの定理の直後に完全数が続くためです。「GIMPS /名前」と表記されている発見者は、その人が使用したハードウェアによるGIMPSの発見を指します。以降のエントリは非常に長いため、各数字の最初と最後の6桁のみが表示されます。
歴史的に、知られている最大の素数はメルセンヌ素数であることが多い。
上記のメルセンヌ素数の最後の桁と対応する完全数にパターンが見られますが、これらは奇数メルセンヌ数の単純な特性であり、素数かどうかには依存しません。
2 を掛けると、長さ 4 を法として 5 のサイクル (1、2、4、3、繰り返し) が生成されます。したがって、2 4 k ±1 ≡ ±2 (mod 5) です。これはk > 0 の場合に 4 の倍数でもあるため、2 4 k ±1 ≡ ±12 (mod 20)です。したがって、すべてのメルセンヌ数M 4 k +1 は11 を法として 20 と合同であり、11、31、51、71、または 91 で終わりますが、メルセンヌ数 M 4 k −1 ≡ 7 (mod 20)であり、07、27、47、67、または 87 で終わります。
完全数については、M n が素数である場合に完全となる値をP n = 2 n −1 M nと定義します。n = 4 k +1かつk > 0のとき、2 4 k ≡ 16 (mod 20)となるため、P n ≡ 16×11 ≡ 16 (mod 20)となり、16、36、56、76、または 96 になります。
n = 4 k −1かつk > 0のとき、2 4 k −2 ≡ 4 (mod 20)となるので、P n ≡ 4×7 ≡ 28 ≡ 8 (mod 20)となる。
ただし、この場合、 P nの 2 つの因数が 25 を法として偶然に相殺され、P 4 k −1 ≡ 3 (mod 25)となります。k > 1の場合は常にP 4 k −1が 8 の倍数であるという事実と組み合わせると、 P 4 k −1 ≡ 128 (mod 200)となり、128、328、528、728、または 928 で終わります。 ( P 3 = 28は 4 の倍数であり、8 の倍数ではないため、100 を法として他の倍数とのみ等しくなります。)
注記
- ^ 最初の4つの完全数はニコマコスによって100年頃に記録されており、その概念は（対応するメルセンヌ素数とともに）ユークリッドの『原論』の時点では知られていた。発見の記録はない。
- ^ abイスマイール・イブン・イブラーヒーム ・イブン・ファルス（1194-1239）などのイスラムの数学者は、ヨーロッパの記録よりも前に5番目から7番目の完全数を知っていた可能性がある。[16]
- ^ 1456年と1461年に書かれた匿名の写本Clm 14908に発見された。13世紀のイブン・ファルスの初期の著作にもこの素数について言及されていたが、広く流通していなかった[14] [17]
- ^ M 42,643,801 は2009 年 4 月 12 日に GIMPS に初めて報告されましたが、サーバー エラーのため 2009 年 6 月 4 日まで人間には気づかれませんでした。
- ^ ab 2024年12月1日現在[アップデート]。[11]未検証の最低マイルストーン以下の指数はすべて複数回チェックされています。テストされていない最低マイルストーン以下の指数はすべて少なくとも1回はチェックされています。
- ^ abcdこの表の48番目（ M 57,885,161）から52番目（M 136,279,841 ）の間に未発見のメルセンヌ素数が存在するかどうかは検証されていないため、順位は暫定的なものである。
- ^ M 74,207,281 は2015 年 9 月 17 日に GIMPS に初めて報告されましたが、サーバー エラーのため 2016 年 1 月 7 日まで人間には気づかれませんでした。
- ^ 2024年10月11日にNvidia A100 GPUでフェルマー素数判定テストを使用して素数である可能性があるとして初めて検出された。
参考文献
- ^ ab スティルウェル、ジョン(2010)。数学とその歴史。学部生向け数学テキスト。シュプリンガーサイエンス+ビジネスメディア。p. 40。ISBN 978-1-4419-6052-8. 2021年10月13日時点のオリジナルよりアーカイブ。2021年10月13日閲覧。
- ^ abcdefg Caldwell, Chris K. 「メルセンヌ素数：歴史、定理、リスト」。PrimePages。2021年10月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2021年10月4日閲覧。
- ^ Caldwell, Chris K. 「2n-1が素数なら、nも素数である」。PrimePages。2021年10月5日時点のオリジナルよりアーカイブ。2021年10月12日閲覧。
- ^ Prielipp, Robert W. (1970). 「完全数、過剰数、不足数」.数学教師. 63 (8): 692–96. doi :10.5951/MT.63.8.0692. JSTOR 27958492. 2021年10月5日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2021年10月13日閲覧– JSTOR経由。
- ^ Caldwell, Chris K. 「Characterizing all even perfect numbers」. PrimePages . 2014年10月8日時点のオリジナルよりアーカイブ。2021年10月12日閲覧。
- ^ ab Crilly, Tony (2007). 「完全数」. 本当に知っておくべき 50 の数学的なアイデア. Quercus Publishing. ISBN 978-1-84724-008-8. 2021年10月13日時点のオリジナルよりアーカイブ。2021年10月13日閲覧。
- ^ Caldwell, Chris K.「メルセンヌ分布のヒューリスティックモデル」。PrimePages。2021年10月5日時点のオリジナルよりアーカイブ。2021年10月13日閲覧。
- ^ Wagstaff, Samuel S. (1983年1月). 「メルセンヌ数の約数」.計算数学. 40 (161): 385–397. doi : 10.1090/S0025-5718-1983-0679454-X . ISSN 0025-5718.
- ^ ポメランス、カール（1981年9月）。「素数判定の最近の進展」（PDF）。数学インテリジェンサー。3（3）：97–105。doi ： 10.1007 /BF03022861。ISSN 0343-6993。S2CID 121750836 。
- ^ Ochem, Pascal; Rao, Michaël (2012年1月30日). 「奇数の完全数は101500より大きい」.計算数学. 81 (279): 1869–1877. doi : 10.1090/S0025-5718-2012-02563-4 . ISSN 0025-5718.
- ^ ab 「GIMPS Milestones Report」。Great Internet Mersenne Prime Search。2021年10月13日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2024年1月31日閲覧。
- ^ ほぼすべてのエントリに適用されるソース:
- 「既知のメルセンヌ素数のリスト」。Great Internet Mersenne Prime Search。2020年6月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2021年10月4日閲覧。
- Caldwell, Chris K.「メルセンヌ素数：歴史、定理、リスト」。PrimePages。2021年10月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2021年10月4日閲覧。
- Caldwell, Chris K. 「年別最大素数: 簡単な歴史」。PrimePages。2021年10月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。2021年10月13日閲覧。
- Haworth, Guy M. (1987). メルセンヌ数(PDF) (レポート). 2021年10月13日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) 。 2021年10月13日閲覧。
- Noll, Landon Curt (2018年12月21日). 「既知のメルセンヌ素数」。2021年7月27日時点のオリジナルよりアーカイブ。2021年10月13日閲覧。
- タッタソール、ジェームズ・J. (1999)。『9章からなる初等数論』ケンブリッジ大学出版局。pp. 131–134。ISBN 978-0-521-58531-6. 2021年10月13日時点のオリジナルよりアーカイブ。2021年10月13日閲覧。
- ^ abcd Joyce, David E. 「ユークリッド原論、第9巻、命題36」。mathcs.clarku.edu 。 2021年6月17日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2021年10月13日閲覧。
- ^ abcdef Dickson, Leonard Eugene (1919). History of the Theory of Numbers, Vol. I. Carnegie Institution of Washington. pp. 4–6. 2023-04-08時点のオリジナルよりアーカイブ。2023-03-19に閲覧。
- ^ abcde スミス、デイヴィッド・ユージン（ 1925年）。数学史：第2巻。ドーバー。p.21。ISBN 978-0-486-20430-7。
- ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F.「完全数」。MacTutor History of Mathematics アーカイブ。2021年10月5日時点のオリジナルよりアーカイブ。2021年10月13日閲覧。
- ^ 「『Calendarium ecclesiasticum – BSB Clm 14908』」。バイエルン州立図書館。2021年10月13日時点のオリジナルよりアーカイブ。2021年10月13日閲覧。
- ^ ab Cataldi、ピエトロ・アントニオ(1603)。 Trattato de' numeri perfetti di Pietro Antonio Cataldo [完全数に関するピエトロ アントニオ カタルディの論文] (イタリア語)。プレッソ ディ ヘレディ ディ ジョアンニ ロッシ。 2023-04-05 のオリジナルからアーカイブされました。2023-03-19に取得。
- ^ Caldwell, Chris K. 「メルセンヌ因子に対するモジュラー制限」。PrimePages。2021年11月11日時点のオリジナルよりアーカイブ。2021年11月22日閲覧。
- ^ オイラー、レオンハルト(1772)。 「Extrait d'un lettre de M. Euler le pere à M. Bernoulli concerant le Mémoire imprimé parmi ceux de 1771, p 318」 [1771 年に出版された回想録に関するオイラー氏からベルヌーイ氏への手紙の抜粋]。Nouveau Mémoires de l'académie Royale des Sciences de Berlin (フランス語)。1772 : 35–36。 2020年8月15日のオリジナルからアーカイブ。2021 年10 月 13 日に取得– オイラー アーカイブ経由。
- ^ “Sur un nouveau nombre premier, annonce par le père Pervouchine” [ペルヴーシーヌが発表した新しい素数について]。サンクトペテルブール科学アカデミー紀要(フランス語)。31 : 532–533。 1887年1月27日。2021年10月13日のオリジナルからアーカイブ。2021 年10 月 13 日に取得–生物多様性遺産ライブラリー経由。
- ^ Powers, RE (1911年11月). 「第10の完全数」.アメリカ数学月刊誌. 18 (11): 195–197. doi :10.2307/2972574. JSTOR 2972574.
- ^ 「会議議事録」。ロンドン数学会の議事録。s2-13 (1): iv–xl。1914年。doi :10.1112/plms/s2-13.1.1-s。
- ^ ルーカス、エドゥアール(1876)。 「Note sur l'application des séries récurrentes à la recherche de la loi de distribution des nombres premiers」[素数分布の法則の研究への漸化級数の適用に関するメモ]。Comptes rendus de l'Académie des Sciences (フランス語)。82：165-167。 2021年10月13日のオリジナルからアーカイブ。2021 年10 月 13 日に取得。
- ^ ab "Notes". Mathematics of Computation . 6 (37): 58–61. 1952年1月. doi : 10.1090/S0025-5718-52-99405-2 . ISSN 0025-5718. 2021年10月13日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2021年10月13日閲覧。
- ^ 「ノート」。計算数学。6 (39): 204–205。1952年7月 。doi : 10.1090 /S0025-5718-52-99389-7。ISSN 0025-5718。
- ^ ab "Notes".計算数学. 7 (41): 67–72. 1953年1月. doi : 10.1090/S0025-5718-53-99372-7 . ISSN 0025-5718.
- ^ Riesel, Hans (1958年1月). 「新しいメルセンヌ素数」.計算数学. 12 (61): 60. doi : 10.1090/S0025-5718-58-99282-2 . 2021年10月28日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2021年10月13日閲覧。
- ^ abハーウィッツ、アレクサンダー（1962 年4月）。「新しいメルセンヌ素数」。計算数学。16 （ 78 ）：249–251。doi ：10.1090 / S0025-5718-1962-0146162- X。ISSN 0025-5718。
- ^ abc Gillies, Donald B. (1964年1月). 「3つの新しいメルセンヌ素数と統計理論」.計算数学. 18 (85): 93–97. doi : 10.1090/S0025-5718-1964-0159774-6 . JSTOR 2003409.
- ^ Tuckerman, Bryant (1971年10月). 「第24のメルセンヌ素数」.米国科学アカデミー紀要. 68 (10): 2319–2320. Bibcode :1971PNAS...68.2319T. doi : 10.1073 /pnas.68.10.2319 . PMC 389411. PMID 16591945.
- ^ ab Noll, Landon Curt ; Nickel, Laura (1980 年 10 月). 「25 番目と 26 番目のメルセンヌ素数」.計算数学. 35 (152): 1387. doi : 10.1090/S0025-5718-1980-0583517-4 . JSTOR 2006405.
- ^ スロウィンスキー、デイヴィッド（1978年）。「27番目のメルセンヌ素数の探索」レクリエーション数学ジャーナル。11 （4）：258-261。
- ^ 「サイエンスウォッチ：新たな素数」。ニューヨークタイムズ。1979年6月5日。2021年11月2日時点のオリジナルよりアーカイブ。2021年10月13日閲覧。
- ^ 「お知らせ」. The Mathematical Intelligencer . 5 (1): 60. 1983年3月. doi :10.1007/BF03023507. ISSN 0343-6993.
- ^ Peterson, I. (1988年2月6日). 「幸運な一撃に備える」. Science News . 133 (6): 85. doi :10.2307/3972461. JSTOR 3972461.
- ^ Colquitt, WN; Welsh, L. (1991 年 4 月). 「新しいメルセンヌ素数」.計算数学. 56 (194): 867. Bibcode :1991MaCom..56..867C. doi : 10.1090/S0025-5718-1991-1068823-9 . JSTOR 2008415.
- ^ 「これまでに見つかった最大の素数」。グローブ・アンド・メール。1983年9月24日。ProQuest 386439660。2021年11月2日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年1月7日閲覧。ProQuest経由。
- ^ Peterson, I. (1985 年 9 月 28 日). 「スーパーコンピュータの黄金時代」. Science News . 128 (13): 199. doi :10.2307/3970245. JSTOR 3970245.
- ^ デンバート・リー（1985年9月17日）。「スーパーコンピューターが驚異的な素数を発見」ロサンゼルス・タイムズ。2021年11月2日時点のオリジナルよりアーカイブ。2021年10月13日閲覧。
- ^マドックス、ジョン（1992 年3月26日）。「素数の終わりなき探求」。ネイチャー。356（6367）：283。Bibcode：1992Natur.356..283M。doi ： 10.1038 / 356283a0。ISSN 1476-4687。S2CID 4327045 。
- ^ 「クレイ・リサーチ・スーパーコンピューターで発見された最大の素数」。PR Newswire。1994年1月10日。2021年11月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。2023年8月21日閲覧。Gale経由。
- ^ Caldwell, Chris K. 「記録的なサイズの素数! 21257787-1」。PrimePages。2021年10月5日時点のオリジナルよりアーカイブ。2021年10月13日閲覧。
- ^ ギルモア、ダン（1996年9月3日）。「数値計算：研究者が素数数学の発見」ナイト・リッダー– Gale経由。
- ^ 「GIMPSが35番目のメルセンヌ素数を発見、21,398,269-1が現在最も大きな素数に」。Great Internet Mersenne Prime Search。1996年11月12日。2020年6月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2021年10月13日閲覧。
- ^ 「GIMPSが36番目のメルセンヌ素数を発見、22,976,221-1が現在最も大きな素数に」。Great Internet Mersenne Prime Search。1997年9月1日。2020年6月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2021年10月13日閲覧。
- ^ 「GIMPSが37番目のメルセンヌ素数を発見、23,021,377-1が現在最も大きな素数に」。Great Internet Mersenne Prime Search。1998年2月2日。2020年6月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2021年10月13日閲覧。
- ^ 「GIMPSが38番目のメルセンヌ素数26,972,593-1を発見、現在最も大きな素数」。Great Internet Mersenne Prime Search。1999年6月30日。2020年6月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2021年10月13日閲覧。
- ^ 「GIMPSが39番目のメルセンヌ素数を発見、213,466,917-1が現在最も大きな素数に」。Great Internet Mersenne Prime Search 2001年12月6日。2020年6月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2021年10月13日閲覧。
- ^ 「GIMPSが40番目のメルセンヌ素数を発見、220,996,011-1が現在最も大きな既知の素数に」。Great Internet Mersenne Prime Search。2003年2月2日。2020年6月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2021年10月13日閲覧。
- ^ 「GIMPSが41番目のメルセンヌ素数を発見、224,036,583-1が現在最も大きな素数に」。Great Internet Mersenne Prime Search。2004年5月28日。2021年1月29日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2021年10月13日閲覧。
- ^ 「GIMPSが42番目のメルセンヌ素数を発見、225,964,951-1が現在最も大きな素数に」。Great Internet Mersenne Prime Search。2005年2月27日。2021年3月14日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2021年10月13日閲覧。
- ^ 「GIMPSが43番目のメルセンヌ素数を発見、230,402,457-1が現在最も大きな素数」。Great Internet Mersenne Prime Search。2005年12月24日。2021年3月14日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2021年10月13日閲覧。
- ^ 「GIMPSが44番目のメルセンヌ素数を発見、232,582,657-1が現在最も大きな素数に」。Great Internet Mersenne Prime Search。2006年9月11日。2021年1月26日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2021年10月13日閲覧。
- ^ ab 「GIMPSが45番目と46番目のメルセンヌ素数を発見、243,112,609-1が現在最大の素数に」。Great Internet Mersenne Prime Search。2008年9月15日。2021年10月5日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2021年10月13日閲覧。
- ^ 「GIMPSが47番目のメルセンヌ素数を発見」。Great Internet Mersenne Prime Search。2009年4月12日。2021年2月19日時点のオリジナルよりアーカイブ。2021年10月13日閲覧。
- ^ Maugh, Thomas H. (2008年9月27日). 「珍しい素数発見」ロサンゼルス・タイムズ. 2021年7月27日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2021年10月13日閲覧。
- ^ スミス、エドソン。「UCLAメルセンヌ素数」。UCLA数学。2021年11月22日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2021年11月22日閲覧。
- ^ 「GIMPSが48番目のメルセンヌ素数を発見、257,885,161-1が現在最も大きな既知の素数に」。Great Internet Mersenne Prime Search。2013年2月5日。2021年1月26日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2021年10月13日閲覧。
- ^ Yirka, Bob (2013年2月6日). 「大学教授がこれまでで最大の素数を発見」. phys.org . 2021年1月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。2021年10月13日閲覧。
- ^ 「GIMPSプロジェクトが最大の素数を発見：274,207,281-1」。Great Internet Mersenne Prime Search。2016年1月19日。2018年1月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。2021年10月13日閲覧。
- ^ 「ミズーリ州で発見された最大規模の素数」BBCニュース。2016年1月20日。2021年8月21日時点のオリジナルよりアーカイブ。2021年10月13日閲覧。
- ^ 「GIMPSプロジェクトが最大の素数277,232,917-1を発見」。Great Internet Mersenne Prime Search。2018年1月3日。2018年1月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。2021年10月13日閲覧。
- ^ ラム、エブリン（2018年1月4日）。「23,249,425桁の素数を気にする必要がある理由」スレートマガジン。2021年10月9日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2021年10月13日閲覧。
- ^ 「GIMPSが最大の既知素数282,589,933-1を発見」。Great Internet Mersenne Prime Search 2018年12月21日。2018年12月22日時点のオリジナルよりアーカイブ。2021年10月13日閲覧。
- ^ Palca, Joe (2018年12月21日). 「世界に新たな最大規模の素数が存在する」. NPR . 2021年7月30日時点のオリジナルよりアーカイブ。2021年10月13日閲覧。
- ^ 「GIMPSが最大の素数2136,279,841-1を発見」。Great Internet Mersenne Prime Search。2024年10月21日。 2024年10月21日閲覧。
外部リンク
- OEISシーケンスA000043（対応する指数p）
- OEISシーケンス A000396 (完全数)
- OEIS配列 A000668 (メルセンヌ素数)
- GIMPS のリスト（大きな数値の完全な値を含む） 2020-06-07 にWayback Machineでアーカイブされました
- メルセンヌ数の歴史に関する技術レポート、ガイ・ハワース著 2021-10-13ウェイバックマシンにアーカイブ