調和約数

数学において、調和約数またはオア数とは、約数の調和平均が整数である正の整数のことです。最初のいくつかの調和約数は次のとおりです。

1、6、28、140、270、496、672、1638、2970、6200、8128、8190 （ OEISのシーケンスA001599 ）。​​​​​​​​​​​​

調和約数は、オイスタイン・オレによって導入されたもので、彼はすべての完全数が調和約数であることを示し、1以外の奇数の調和約数は存在しないと推測した。

数6には1、2、3、6の4つの約数があります。これらの約数の調和平均は整数です。 $${\displaystyle {\frac {4}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}}=2.}$$ したがって、6 は調和約数です。同様に、140 の約数は 1、2、4、5、7、10、14、20、28、35、70、140 です。これらの調和平均は $${\displaystyle {\frac {12}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{28}}+{\frac {1}{35}}+{\frac {1}{70}}+{\frac {1}{140}}}}=5.}$$ 5は整数なので、140は調和約数である。

任意の数nの約数の調和平均H ( n )は、次の式で表すことができます。 $${\displaystyle H(n)={\frac {n\sigma _{0}(n)}{\sigma _{1}(n)}}}$$ ここで、σ _i ( n )はnの約数のi乗の合計です。σ 0_は約数の数、σ ₁は約数の合計です( Cohen 1997 )。この式の項はすべて乗法なので、調和平均H ( n )も乗法です。したがって、任意の正の整数nに対して、調和平均H ( n ) は、 nの因数分解における素数の乗の調和平均の積として表すことができます。

例えば、 $${\displaystyle H(4)={\frac {3}{1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}}}={\frac {12}{7}},}$$$${\displaystyle H(5)={\frac {2}{1+{\frac {1}{5}}}}={\frac {5}{3}},}$$$${\displaystyle H(7)={\frac {2}{1+{\frac {1}{7}}}}={\frac {7}{4}},}$$ そして $${\displaystyle H(140)=H(4\cdot 5\cdot 7)=H(4)\cdot H(5)\cdot H(7)={\frac {12}{7}}\cdot {\frac {5}{3}}\cdot {\frac {7}{4}}=5.}$$

オレが指摘したように、任意の整数Mに対して、その約数の調和平均と算術平均の積は、定義からわかるように、M自身に等しくなります。したがって、 Mが調和数であり、約数の調和平均がk であるのは、その約数の平均がMと単位分数1/ kの積である場合のみです。

オレは、すべての完全数が調和的であることを示した。これを確認するには、完全数Mの約数の和がちょうど2 Mであることに注目する。したがって、約数の平均はM (2/ τ ( M ))であり、τ ( M )はMの約数の数を表す。任意のMに対して、τ ( M )が奇数となるのは、 Mが平方数である場合のみである。そうでなければ、 Mの各約数d は、異なる約数M / dとペアにすることができるからである。しかし、完全数は平方数にはなり得ない。これは、偶数の完全数の既知の形式と、奇数の完全数 (存在する場合) はq ^αの形の因数を持つ必要があるという事実から導かれる。ここでα ≡ 1 (mod 4)である。したがって、完全数Mに対して、τ ( M )は偶数であり、約数の平均はMと単位分数2/ τ ( M )の積である。したがって、Mは調和約数である。

オレは、1以外の奇数の調和約数は存在しないと推測した。この推測が正しければ、奇数の完全数は存在しないことになる。

^{WH Mills (未発表; Muskat を参照) は、1 より大きい奇数の調和約数は 10 7}より大きい素因数を持つ必要があることを示し、 Cohenは、そのような数は少なくとも 3 つの異なる素因数を持つ必要があることを示した。CohenとSorli (2010)は、10 ²⁴より小さい奇数の調和約数は存在しないことを示した。

^{コーエン、後藤、そしてオレ自身をはじめとする研究者たちは、}コンピュータを用いて小さな調和約数をすべて列挙する検索を行ってきた。その結果、2  × 10⁹までのすべての調和約数、および約数の調和平均が 300 以下であるすべての調和約数のリストが知られている。

• ボゴモルニー、アレクサンダー。「与えられた整数の約数の平均に関する恒等式」 。 2006年9月10日取得。
• Cohen, Graeme L. (1997). "正の約数が小さな整数調和平均を持つ数" (PDF) . Mathematics of Computation . 66 (218): 883– 891. doi : 10.1090/S0025-5718-97-00819-3 .
• Cohen, Graeme L.; Sorli, Ronald M. (2010). "奇数の調和数は 10 ²⁴を超える" . Mathematics of Computation . 79 (272): 2451. doi : 10.1090/S0025-5718-10-02337-9 . hdl : 10453/13014 . ISSN 0025-5718 . 
• 後藤健。「（鉱石の）調和数」 。 2006年1月6日時点のオリジナルよりアーカイブ。2006年9月10日閲覧。
• ガイ、リチャード・K. (2004).数論における未解決問題（第3 版）.シュプリンガー・フェルラーク. B2. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001 . 
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