単位完全数

単位完全数は、その数自身を除いた、その正の真単位約数の合計である整数です。(数nの約数d は、 dとn / dに共通因数がない場合は単位完全数です)。6 は、完全数であり、単位完全数でもある唯一の数です。

60は単位完全数です。1、3、4、5、12、15、20 が 60 の真の約数であり、1 + 3 + 4 + 5 + 12 + 15 + 20 = 60 です。最初の 5 つの、そして唯一知られている単位完全数は次のとおりです。

• ${\displaystyle 6=2\times 3}$
• ${\displaystyle 60=2^{2}\times 3\times 5}$
• ${\displaystyle 90=2\times 3^{2}\times 5}$
• ${\displaystyle 87360=2^{6}\times 3\times 5\times 7\times 13}$、 そして
• ${\displaystyle 146361946186458562560000=2^{18}\times 3\times 5^{4}\times 7\times 11\times 13\times 19\times 37\times 79\times 109\times 157\times 313}$（OEISの配列A002827）。

それぞれの真約数の和は次のようになります。

• 6 = 1 + 2 + 3
• 60 = 1 + 3 + 4 + 5 + 12 + 15 + 20
• 90 = 1 + 2 + 5 + 9 + 10 + 18 + 45
• 87360 = 1 + 3 + 5 + 7 + 13 + 15 + 21 + 35 + 39 + 64 + 65 + 91 + 105 + 192 + 195 + 273 + 320 + 448 + 455 + 832 + 960 + 1344 + 1365 + 2240 + 2496 + 4160 + 5824 + 6720 + 12480 + 17472 + 29120
• 146361946186458562560000 = 1 + 3 + 7 + 11 + ... + 13305631471496232960000 + 20908849455208366080000 + 48787315395486187520000 (合計には 4095 個の約数があります)

奇数のユニタリ完全数は存在しません。これは、 d *( n ) が n の異なる素因数の個数であるとき、 2 ^{d *( n )が奇数}nのユニタリ約数の合計を割り切ることから導かれます。これは、すべてのユニタリ約数の合計が乗法関数であり、素数累乗p a^のユニタリ約数の合計がp ^a  + 1であり、すべての奇数素数pに対して偶数であるために得られます。したがって、奇数のユニタリ完全数は、異なる素因数を 1 つだけ持つ必要があり、十分な約数がないため、素数の累乗はユニタリ完全数にはなり得ないことを示すのは難しくありません。

単位完全数が無限に存在するかどうか、あるいはすでに知られている5つの数以外にさらに例があるかどうかはわかっていません。6番目の数には少なくとも9つの異なる奇数の素因数があります。^[1]

• リチャード・K・ガイ（2004年）。数論における未解決問題。シュプリンガー・フェアラーク。pp.84-86。ISBN  0-387-20860-7。 セクションB3。
• パウロ・リーベンボイム(2000)。『My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory』、シュプリンガー・フェアラーク、p. 352、ISBN 0-387-98911-0。
• サンダー、ヨージェフ。ミトリノヴィッチ、ドラゴスラフ S.クリスティチ、ボリスラフ編。 (2006)。整数論ハンドブック I。ドルドレヒト: Springer-Verlag。ISBN 1-4020-4215-9.ZBL1151.11300  。​
• サンダー、ジョセフ。クリスティチ、ボリスラフ (2004)。整数論ハンドブック II．ドルドレヒト: クルーワー学者。ISBN 1-4020-2546-7.ZBL1079.11001  。​