デカルト数

数論において、デカルト数とは、その合成因数の 1 つが素数であれば奇数の完全数となる奇数である。これらは、ルネ・デカルトにちなんで名付けられている。彼は、数 D = 3 ² ⋅7 ² ⋅11 ² ⋅13 ² ⋅22021 = (3⋅1001) ²  ⋅ (22⋅1001 − 1) = 198585576189は、 22021が素数であれば奇数の完全数となることを観察した。これは、22021 が素数であれば、 Dの約数の和関数が次式を満たすからである。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (D)&=(3^{2}+3+1)\cdot (7^{2}+7+1)\cdot (11^{2}+11+1)\cdot (13^{2}+13+1)\cdot (22021+1)\\&=(13)\cdot (3\cdot 19)\cdot (7\cdot 19)\cdot (3\cdot 61)\cdot (22\cdot 1001)\\&=3^{2}\cdot 7\cdot 13\cdot 19^{2}\cdot 61\cdot (22\cdot 7\cdot 11\cdot 13)\\&=2\cdot (3^{2}\cdot 7^{2}\cdot 11^{2}\cdot 13^{2})\cdot (19^{2}\cdot 61)\\&=2\cdot (3^{2}\cdot 7^{2}\cdot 11^{2}\cdot 13^{2})\cdot 22021=2D,\end{aligned}}}$

ここで、22021が合成数（ 22021 = 19 ²  ⋅ 61） であるという事実は無視します。

デカルト数は奇数n = m  ⋅  pとして定義されます。ここでmとp は互いに素であり、2 n = σ( m ) ⋅ ( p + 1)であるため、pは「偽の」素数として扱われます。示されている例は、現在知られている唯一の例です。

m が奇数のほぼ完全数である場合^[1]、つまりσ( m ) = 2 m − 1であり、2 m − 1 が「偽の」素数とみなされる場合、 σ ( n ) = σ( m ⋅  (2 m − 1)) = σ( m ) ⋅ 2 m = (2  m − 1) ⋅ 2 m = 2 nであるため、 n = m ⋅ (2 m − 1)はデカルト数になります。 2 m − 1が素数である場合、n は奇数の完全数になります。

バンクスらは2008年に、 nがで割り切れない立方体のないデカルト数である場合、nには100万を超える異なる素因数が存在することを示した。 ^[2]${\displaystyle 3}$

トートは2021年に、 がデカルト数（デカルトの例以外）を表し、擬素因数 である場合、 となることを示しました。 ${\displaystyle D=pq}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q>10^{12}}$

ジョン・ボイトはデカルト数を一般化して負の基数を許容した。彼は例を発見した。^[3]ブリガムヤング大学 のグループによるその後の研究では、ボイトの例に類似した例がさらに発見され、^[3]また、因数分解において素数が別の素数と同じであることに気付かないという新しい種類の偽装も可能になった。^[4]${\displaystyle 3^{4}7^{2}11^{2}19^{2}(-127)^{1}}$

• エルデシュ・ニコラ数、ほぼ完全な数の別の種類

• Banks, William D.; Güloğlu, Ahmet M.; Nevans, C. Wesley; Saidak, Filip (2008)。「デカルト数」。De Koninck, Jean-Marie、Granville, Andrew、Luca, Florian (編)。整数の解剖。2006 年 3 月 13 ～ 17 日にカナダのモントリオールで開催された CRM ワークショップに基づく。CRM Proceedings and Lecture Notes。第 46 巻。プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会。pp. 167 ～ 173。ISBN 978-0-8218-4406-9.ZBL1186.11004  。​
• クリー、ビクター、ワゴン、スタン(1991)。平面幾何学と数論における古くて新しい未解決問題。ドルチアーニ数学解説集。第 11 巻。ワシントン DC:アメリカ数学協会。ISBN 0-88385-315-9.ZBL0784.51002  .​
• Tóth, László (2021). 「偽の奇完全数の密度について」(PDF) . Comput. Methods Sci. Technol . 27 (1). arXiv : 2101.09718 .。